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1、江门市2018年普通高中高二调研测试（一）数学（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.“”是“”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 非充分非必要条件 D. 充要条件【答案】B【解析】求解指数不等式有：，则，据此可得：“”是“”的必要非充分条件本题选择B选项.2.与向量平行的一个向量是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得：，即，满足向量平行的充要条件.本题选择C选项.3.在中，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意结合正弦定理有：，不妨设，由余弦定理有：.本题选择C选项.
2、4.若，则的（ ）A. 最大值是9 B. 最小值是9 C. 最大值是18 D. 最小值是18【答案】D【解析】由题意结合对数的运算法则有：，由均值不等式的结论有：，当且仅当时等号成立，据此可得：的最小值是18.本题选择D选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误5.设是数列的前项和，若，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题可以先通过写出的解析式，两式相减可以得出的解析式，最后得出的值。【详解】，【点睛】在计算有关数列的相关习题的时候，有。6.下列命题中，真命题
3、是A. ，函数（）都是奇函数B. ，使函数（）是奇函数C. ，函数（）都是偶函数D. ，使函数（）是偶函数【答案】D【解析】【分析】本题是想要判断当何值时，函数是奇函数还是偶函数，可以通过奇偶函数的性质来判断。【详解】当且仅当时，所以，使函数（）是偶函数。【点睛】奇函数：，偶函数：。7.预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是（），为预测人口数，为初期人口数，为预测期内年增长率，为预测期间隔年数。如果在某一时期有，那么在这期间人口数A. 呈下降趋势 B. 呈上升趋势 C. 摆动变化 D. 不变【答案】A【解析】【分析】可以通过与之间的大小关系进行判断。【详解】当时，所以，呈下降
4、趋势。【点睛】判断变化率可以通过比较初始值与变化之后的数值之间的大小来判断。8.若抛物线的准线与椭圆相切，则正常数（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】由抛物线的标准方程可得其准线为：，直线与椭圆相切，则椭圆过点，即：，据此可知：正常数 2.本题选择B选项.9.若的三边互不相等且边长成等差数列，则它的最小边与最大边比值的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设三角形的三边长度为：，三角形满足两边之和大于第三边，则：，恒成立，恒成立，最小边与最大边的比值：，很明显，据此可得：最小边与最大边比值的取值范围是.本题选择B选项.10.若，均有，则常数的取值范
5、围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得：对于恒成立，则，由一次函数的性质可得，当时，据此可得，常数的取值范围是 .本题选择A选项.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.11.若圆锥曲线的焦点在圆上，则常数（ ）A. 4 B. -6 C. 4或-6 D. 或【答案】D【解析】若，则圆锥曲线为双曲线，其标准方程为：，则，其焦点坐标为，由题意可得：，利用排除法可知选项ABC错误，本题选择D选项.12.如图，空间四边形的每条边和、的长都等于，点、分别是、的中点，则（ ）A. B. C. D. 【
6、答案】C【解析】如图所示，将正四面体补形为正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知，正方体的棱长为，则：，结合中点坐标公式有：，则.本题选择C选项.点睛：1用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想2两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题二、填空题：本题共4小题，每小题5分13.命题“奇函数的图像关于原点对称
7、”的否命题是_【答案】若一个函数不是奇函数，则它的图像不关于原点对称【解析】要得到一个命题的否命题，需要同时否定条件和结论，据此可得：命题“奇函数的图像关于原点对称”的否命题是：“若一个函数不是奇函数，则它的图像不关于原点对称”.14.若、满足约束条件则的最大值_【答案】5【解析】【分析】本题需要计算的最大值，可以通过与通过相关运算，得出的取值范围，最后得出结果。【详解】由可知，再有由两式相加可得即。【点睛】在计算最值或者取值范围的时候，可以通过观察题目所给条件的关系，通过相应的运算得出所需要求得式子的取值范围，然后得出最值。15.以椭圆焦点为双曲线的顶点，以椭圆的顶点为双曲线的焦点，则该双曲
8、线的方程是_ 【答案】【解析】由题中椭圆的标准方程可得双曲线的顶点坐标为，顶点在轴上，则其焦点坐标为，即双曲线的焦点位于轴，且：，则该双曲线的方程是.16.数列满足，（），则_【答案】【解析】【分析】通过计算出等的值可以发现数列是一个三个一循环的循环数列，然后通过计算，得出的值。【详解】由以上可知，数列是一个循环数列，每三个一循环，所以【点睛】在计算数列中的某一项的时候，可以先通过观察发现数列的规律，在进行计算。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知是等差数列，。（1）求数列的通项公式；（2）若单调递增，且的前项和，求的最小值。【答案】（1）见解析；（2）11【解析】【分
9、析】（1）可先通过求出所对应的解析式，在通过等差中项得出答案。（2）可先通过解析式得出其前项和的解析式，在通过计算得出结果。【详解】（1）设公差为，因为，得，解得或，当时，,，当时，,，（2）若单调递增, 则，, ，由不等式解得 （且），所以的最小值为11。【点睛】在解决关于等差数列时，要对数列的相关性质有着足够的了解，比如说等差中项。18.的角、的对边分别是、。（1）求边上的中线的长；（2）求的面积。【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理得可以求出的值，再通过求出的值。（2）通过计算出的值，再通过计算出的面积。【详解】（1）在中，由余弦定理得 ， ，由是边上的中点知, 在中，
10、由余弦定理知，所以 ，（2）由（1）知，三角形中 ， ， ，所以的面积是。【点睛】本题考察的是解三角形，要对解三角形的正弦定义、余弦定理、三角形面积公式有着足够的了解。19.一种设备的单价为元，设备维修和消耗费用第一年为元，以后每年增加元（、是常数）。用表示设备使用的年数，记设备年平均费用为，即（设备单价设备维修和消耗费用）设备使用的年数。（1）求关于的函数关系式；（2）当，时，求这种设备的最佳更新年限。【答案】（1）；（2）15【解析】试题分析：()由题意可知设备维修和消耗费用构成以为首项，为公差的等差数列，结合等差数列前n项和公式可得()由题意结合均值不等式的结论有，则，当且仅当时，年平均
11、消耗费用取得最小值，即设备的最佳更新年限是15年.试题解析：（）由题意，设备维修和消耗费用构成以为首项，为公差的等差数列，因此年维修消耗费用为于是（），所以，当且仅当，即，时，年平均消耗费用取得最小值所以设备的最佳更新年限是15年点睛：(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解20.如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，分别是的中点（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试
12、题分析：()由题意可证得，则平面，由线面垂直的性质有，由三角形中位线的性质可得，则()（方法一）为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，计算可得平面的一个法向量，则直线与平面所成角的正弦值为.（方法二）由等体积法可得点到平面的距离，据此可得与平面所成角的正弦值为.试题解析：（）因为底面，平面，所以又因为正方形中，所以平面又因为平面，所以因为分别是、的中点，所以所以（）（方法一）由（）可知，两两垂直，以为轴，以为轴，以为轴，设，设平面的一个法向量，解得设直线与平面所成角为，则（方法二）设点到平面的距离为等体积法求出设直线与平面所成角为，21.已知为椭圆（）的一个焦点，过原点的直线与椭圆交于、两
13、点，且，的面积为。（1）求椭圆的离心率；（2）若，过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围。【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）可通过椭圆上的点到两焦点的距离之和为、三式联立求得，再与解得椭圆离心率。（ 2）首先可以通过第一小题得出椭圆方程，再设出直线的方程,与椭圆联立解得的值，再设出线段中点坐标为，最后求得点横坐标的取值范围。【详解】（1）设椭圆的焦半距为，左焦点为，因为所以 由椭圆的对称性可知四边形为矩形， ，所以 ，得，由消去上式的得，即，椭圆C的离心率 ，（2）因为的坐标为，由（1）中，所以，椭圆的方程为，设直线的斜率为，直线不与坐标轴垂直故，直线的方程为 ，将方程与椭圆方程联立得： 消得：， 由韦达定理得：，设线段中点坐标为，则， 则垂直平分线的方程为。令，点横坐标为：，因为，所以，故点横坐标的取值范围为：。【点睛】本题考察的是椭圆的综合运用，要能够对椭圆的相关性质有着足够的了解，并且能够将题目所给出的信息通过算式表达出来。22.设命题：；命题：关于的不等式对一切均成立。（1）若命题为真命题，求实数的取值范围（用集合表示）；（2）若命题为真命题，且命题为假命题，求实数的取值范围。【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（ 1），即，即大于的最大值。（2）可通过分别计算真假、假真两种情况的解集并取并集得出结果。【详解
