《吉林省高中2019届高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《吉林省高中2019届高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高三数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意，根据复数的乘法运算，化简、运算，即可求解。【详解】由题意，根据复数的运算，故选A。【点睛】本题考查复数的四则运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查运算求解能力.2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合，利用一次不等式的解法化简集合，由并集的定义可得结果.【详解】因为集合 ， ，所以，故选B.【点睛】研究集合问题
2、，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.3. （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用二倍角的余弦公式结合诱导公式与特殊角的三角函数求解即可.【详解】,故选C.【点睛】本题主要考查诱导公式、特殊角的三角函数以及二倍角的余弦公式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题.4.双曲线的左焦点为，且的离心率为，则的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的几何性质，以及，求得的值，即可得到答案。【详解】由题意，可得，又由，又，故的方
3、程为，故选C。【点睛】本题考查双曲线的方程及其几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用是解答的关键，着重考查运算求解能力.5.曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】【分析】求出导函数，令可得切线斜率，由点斜式可得切线方程，求得切线在坐标轴上的截距，利用三角形面积公式可得结果.【详解】因为，所以，所以在点处的切线斜率，切线的方程为，即，在，轴上的截距分别为和-5，所以与坐标轴围成的三角形面积,故选A.【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即
4、在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.6.设满足约束条件，则的最小值为（ ）A. 3 B. -3 C. -6 D. 6【答案】B【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出表示的可行域，如图，由可得，将变形为，平移直线，由图可知当直经过点时，直线在轴上的截距最小，取得最小值，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作
5、出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7.函数的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊的函数值，利用排除法，即可求解，得到答案。【详解】由题意，因为，不是偶函数，从而排除，.又由（或方程无解），从而排除，故选.【点睛】本题考查函数的图像的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和特殊点的函数值，利用排除法求解是解答的关键，着重考查推理论证能力以及数形结合的数学思想.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何
6、体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三视图可知，该几何体由半个圆柱与一个棱柱组成，根据三视图中数据，求出每个表面的面积，求和即可得结果.【详解】由三视图可知，该几何体由半个圆柱与一个棱柱组成，棱柱的长宽高分别为6、1、1.5，圆柱的底面半径为3，高为1.5，几何体的直观图如图所示，其表面积为 ,故选D.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚
7、线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9.中国古代数学名著九章算术中记载：“圆周与其直径之比被定为3，圆中弓形面积为（为弦长，为半径长与圆心到弦的距离之差）.”据此计算，已知一个圆中弓形所对应的弦长，质点随机投入此圆中，则质点落在该弓形内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用圆中弓形面积为,可求得弓形的面积，根据勾股定理求得圆的半径，可得圆的面积，由勾股定理可得结果.【详解】由圆中弓形面积为可知：弓形的面积.设圆的半径为，则，解得，所以圆的面积，所以质点落在弓形内的概率
8、为,故选C.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.10.已知在中，角，的对边分别是，若，且，则面积的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，利用余弦定理可得，再由余弦定理结合基本不等式求得，根据三角形
9、面积公式可得结果.【详解】因为所以 ，故，由余弦定理，得 所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号,面积的最大值是,故选C.【点睛】本题主要考查余弦定理、基本不等式以及三角形面积公式的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.11.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，可得，利用换底公式化为以2 为底的对数，利用对数的运算法则化简即可得结果.【详解】由，可得，则 ,故选A.【点睛】本题主要考查对数的运算法则
10、以及换底公式的应用，意在考查对基本运算法则的掌握与应用，属于中档题.12.已知函数 的图像经过点和.若函数在区间上有唯一零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由图象经过点和可得，结合，可得，由可得，令，在区间上有唯一零点，等价于在上有唯一解，的图象时有一个交点，利用数形结合可得结果.【详解】函数 的图象经过点和.所以，得，故，因为，所以.由，得，因为，故，所以，从而当时，令，在区间上有唯一零点，等价于在上有唯一解，的图象时有一个交点，故由正弦函数图象可得或，解得,故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，以及三角函数的解析式，函数零点与方程的根的关
11、系，属于难题.求三角函数的解析式时，利用最值求出 ,先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，的夹角为，且，则_【答案】或【解析】【分析】由题意，利用向量的夹角公式，得，进而求解向量的夹角，得到答案。【详解】由题意，利用向量的夹角公式，得，又由， .【点睛】本题考查平面向量的夹角，其中解答中熟记向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查运算求解能力.14.在空间直角坐标系中，则异面直线与所成角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】先求出 ，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】因为，所以 ，异面直
12、线与所成角的余弦值为.，故答案为.【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算、异面直线所成的角以及空间向量夹角余弦公式的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.15.已知体育器材室有4个篮球、2个足球和1个排球，某班上体育课要从中选4个球，规定每种球至少选1个，则不同的选法共有_（请用数字作答）【答案】16【解析】【分析】分取2个篮球与2个足球两种情况讨论，分别利用组合知识与分步计数乘法原理求出两种情况的不同的选法，然后求和即可.【详解】选1个排球、1个足球、2个篮球有种选法；选1个排球、2个足球、1个篮球有种选法，一共有16种选法,故答案为16.【点睛】本题主要考查分类计数原理
13、与分步计数原理及排列组合的应用，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.16.已知椭圆，设过点的直线与椭圆交于，两点，且为钝角（其中为坐标原点），则直线斜率的取值范围是_【答案】【解析】【分析】直线与椭圆方程联立，由判别式求得且，再根据为钝角，即，利用韦达定理列关于的不等式，综合可得结果.【详解】设直线,代入，得，因为直线与交于不同的两点，所以，解得且.
14、设，则， ，因为为钝角，所以，解得，.故答案为.【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及平面向量数量积公式的应用，属于难题. 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程或不等式，解决相关问题三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.在递增的等比数列中，且.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设公比为，由，得，结合数列的增减性可得公比，从而可得，进而可得结果；（2）由（1）得，利用分组求和，结合等差数列与等比数列的求和公式，即可得结果.【详解】（1）设公比为，由，得，化简得，解得或，因为等比数列是递增的，所以，所以.（2）由（1）得，所以 ，则，所以.【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列求和公式，以及利用“分组求和法
