材料力学-第4章例题解析

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1、材料力学材料力学 (4)(4) * * HUAZHONG UNIVERSITY OF SCI & TEC 例例 题题 第四章第四章 弯曲强度弯曲强度 HUAZHONG UNIVERSITY OF SCI & TEC B A 简支梁受力的大小和方向如图简支梁受力的大小和方向如图 示。示。 例题例题1 1 1kN.m1kN.m 2kN2kN 1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 试画出：试画出：其剪力图和弯矩图其剪力图和弯矩图, ,并确定剪力和弯矩绝对值并确定剪力和弯矩绝对值 的最大值。的最大值。 解解：1 1确定约束力确定约束力 求得求得A A、F F

2、二处的约束力二处的约束力 F FAy Ay 0.89 0.89 kNkN , , F FFy Fy 1.11 1.11 kNkN F F R RA A F F R RB B 根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程 内力图内力图 HUAZHONG UNIVERSITY OF SCI & TEC 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图例题例题 1 1 B A 1kN.m1kN.m 2kN2kN 1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m F F R RA A F F R RB B 解解：2 2确定控制面确定控制面 在集中力和集中力偶作在集中力和集中力偶作 用处的两侧截面以及支座用处的两侧截面以及支座 反力内

3、侧截面均为控制面反力内侧截面均为控制面 ，即，即A A、 B B 、 C C 、 D D 、 E E 、F F各各 截面均为控制面。截面均为控制面。 3 3建立坐标系建立坐标系 建立建立F F Q Q x x和和MMx x坐标系坐标系 x x F FQ Q / /kNkN O x x MM/ /kN.mkN.m O B B C C D D E E 内力图内力图 HUAZHONG UNIVERSITY OF SCI & TEC 5 5根据微分关系连图线根据微分关系连图线 因为梁上无分布载荷因为梁上无分布载荷 作用，所以剪力作用，所以剪力F F Q Q 图形均图形均 为平行于为平行于x x轴的直线

4、；弯矩轴的直线；弯矩 MM图形均为斜直线。于是，图形均为斜直线。于是， 顺序连接顺序连接F F Q Q x x和和MMx x坐标坐标 系中的系中的a a、 b b 、 c c 、 d d 、 e e 、f f各各 点，便得到梁的剪力图与点，便得到梁的剪力图与 弯矩图。弯矩图。 x x F FQ Q / /kNkN O x x MM/ /kN.mkN.m O 解解：4 4应用截面法确定应用截面法确定 控制面上的剪力和弯矩值控制面上的剪力和弯矩值 ，并将其标在，并将其标在F F Q Q x x和和MM x x 坐标系中。坐标系中。 B A 1kN.m1kN.m 2kN2kN 1.5m1.5m1.5

5、m1.5m1.5m1.5m F F R RA A F F R RB B B B C C D D E E 1.111.11 f f 0.890.89 d d d,ed,e 1.6651.665 f f 0 0 c c 0.3350.335 b b 1.3351.335 1.111.11 e e b b 0.890.89 ,c ,c a a 0 0 a a 0.890.89 内力图内力图 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图例题例题 1 1 HUAZHONG UNIVERSITY OF SCI & TEC 5 5确定确定剪力与弯矩的最剪力与弯矩的最 大绝对值大绝对值 x x F FQ Q / /kNkN

6、O x x MM/ /kN.mkN.m O B A 1kN.m1kN.m 2kN2kN 1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m F F R RA A F F R RB B B B C C D D E E 1.111.11 f f 0.890.89 d d d,ed,e 1.6651.665 f f 0 0 c c 0.3350.335 b b 1.3351.335 1.111.11 e e b b 0.890.89 ,c ,c a a 0 0 a a 0.890.89 从图中不难得到剪力与弯从图中不难得到剪力与弯 矩的绝对值的最大值分别矩的绝对值的最大值分别 为为 ( (发发生在生在

7、EFEF段段) ) ( (发发生在生在D D、E E截面上截面上) ) 内力图内力图 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图例题例题 1 1 HUAZHONG UNIVERSITY OF SCI & TEC 从所得到的剪力图和弯从所得到的剪力图和弯 矩图中不难看出矩图中不难看出ABAB段与段与CDCD 段的剪力相等，因而这两段的剪力相等，因而这两 段内的弯矩图具有相同的段内的弯矩图具有相同的 斜率。此外，在集中力作斜率。此外，在集中力作 用点两侧截面上的剪力是用点两侧截面上的剪力是 不相等的，而在集中力偶不相等的，而在集中力偶 作用处两侧截面上的弯矩作用处两侧截面上的弯矩 是不相等的，其差值分别是不相等

8、的，其差值分别 为集中力与集中力偶的数为集中力与集中力偶的数 值，这是由于维持值，这是由于维持DEDE小段小段 和和BCBC小段梁的平衡所必需小段梁的平衡所必需 的。建议大家自行加以验的。建议大家自行加以验 证。证。 x x F FQ Q / /kNkN O x x MM/ /kN.mkN.m O B A 1kN.m1kN.m 2kN2kN 1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m1.5m F F R RA A F F R RB B B B C C D D E E 1.111.11 f f 0.890.89 d d d,ed,e 1.6651.665 f f 0 0 c c 0.3350.33

9、5 b b 1.3351.335 1.111.11 e e b b 0.890.89 ,c ,c a a 0 0 a a 0.890.89 内力图内力图 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图例题例题 1 1 HUAZHONG UNIVERSITY OF SCI & TEC 例题例题2 2 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 q B A D D a a 4 4a a qaqa F F AyAy F F ByBy 梁由一个固定梁由一个固定铰链铰链 支支 座和一个座和一个辊轴辊轴 支座所支支座所支 承，但是梁的一端向外承，但是梁的一端向外 伸出，伸出，这这种梁称种梁称为为外伸外伸 梁梁( (overhanging

10、 overhanging beambeam) )。 梁的受力以及各部分梁的受力以及各部分尺尺 寸寸均示于均示于图图中。中。 试画出：试画出：其剪力图和弯矩图其剪力图和弯矩图, ,并确定剪力和弯矩绝对值并确定剪力和弯矩绝对值 的最大值。的最大值。 解：解：1 1确定约束力确定约束力 根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 求得求得A A、F F 二处的约束力二处的约束力 内力图内力图 HUAZHONG UNIVERSITY OF SCI & TEC 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图例题例题 2 2 q B A D D a a 4 4a a qaqa F F AyAy F F ByBy C O O

11、x x F FQ Q O O x x MM 解解：2 2确定控制面确定控制面 由于由于ABAB段上作用有连段上作用有连 续分布载荷，故续分布载荷，故A A、 B B 两个截面为控制面，两个截面为控制面， 约束力约束力F FBy By右侧的 右侧的C C截截 面，以及集中力面，以及集中力q qa a左左 侧的侧的D D截面，也都是控截面，也都是控 制面。制面。 3 3建立坐标系建立坐标系 建立建立F F Q Q x x和和MMx x坐标系坐标系 内力图内力图 HUAZHONG UNIVERSITY OF SCI & TEC 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图例题例题 2 2 q B A D D a a

12、 4 4a a qaqa F F AyAy F F ByBy O O x x F FQ Q O O x x MM 9 9qa/qa/4 4 a a 7 7qa/qa/4 4 b b d d qaqa c c qaqa a a d d b,cb,c qaqa 2 2 解解：4 4确定控制面确定控制面 上的剪力和弯矩值，上的剪力和弯矩值， 并将其标在并将其标在F F Q Q x x和和MM x x坐标系中。坐标系中。 内力图内力图 HUAZHONG UNIVERSITY OF SCI & TEC 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图例题例题 2 2 q B A D D a a 4 4a a qaqa F

13、F AyAy F F ByBy O O x x F FQ Q O O x x MM c c qaqa 9 9qa/qa/4 4 a a 7 7qa/qa/4 4 b b d d qaqa a a d d b,cb,c qaqa 2 2 5 5根据微分关系连图线根据微分关系连图线 对于剪力图对于剪力图：在：在ABAB段，因段，因 有均布载荷作用，剪力图有均布载荷作用，剪力图 为一斜直线，于是连接为一斜直线，于是连接a a、 b b两点，即得这一段的剪力两点，即得这一段的剪力 图；在图；在CDCD段，因无分布载段，因无分布载 荷作用，故剪力图为平行荷作用，故剪力图为平行 于于x x轴的直线，由连接

14、轴的直线，由连接c c、 d d 二点而得，或者由其中任二点而得，或者由其中任 一点作平行于一点作平行于x x轴的直线而轴的直线而 得。得。 内力图内力图 HUAZHONG UNIVERSITY OF SCI & TEC 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图例题例题 2 2 q B A D D a a 4 4a a qaqa F F AyAy F F ByBy O O x x F FQ Q O O x x MM 5 5根据微分关系连图线根据微分关系连图线 对于弯矩图：对于弯矩图：在在ABAB段，因段，因 有均布载荷作用，图形为有均布载荷作用，图形为 二次抛物线。又因为二次抛物线。又因为q q向下向下

15、为负，弯矩图为凸向为负，弯矩图为凸向MM坐坐 标正方向的抛物线。于是标正方向的抛物线。于是 ，ABAB段内弯矩图的形状便段内弯矩图的形状便 大致确定。为了确定曲线大致确定。为了确定曲线 的位置，除的位置，除ABAB段上两个控段上两个控 制面上弯矩数值外，还需制面上弯矩数值外，还需 确定在这一段内二次抛物确定在这一段内二次抛物 线有没有极值点，以及极线有没有极值点，以及极 值点的位置和极值点的弯值点的位置和极值点的弯 矩数值。从剪力图上可以矩数值。从剪力图上可以 看出，在看出，在e e点剪力为零。点剪力为零。 9 9qa/qa/4 4 a a 7 7qa/qa/4 4 b b d d qaqa a a d d b,cb,c qaqa 2 2 c c qaqa e e 8181qaqa 2 2 /32/32 e e E E 内力图内力图 HUAZHONG UNIVERSITY OF SCI & TEC O O x x F FQ Q O O x x MM q B A D D a a 4 4a a qaqa F F AyAy F F ByBy 9 9qa/qa/4 4 a a 7 7qa/qa/4 4 b b d d qaqa a a d d b,cb,c qaqa 2 2 c c qaqa e e 8181qaqa 2 2 /32/32 e e E E 剪力图与弯矩图剪力