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1、3.4基本不等式 知识链接：不等式的性质： 学习目标： 1、知识与技能： （1）理解不等式 的证明过程。 （2） 理解基本不等式的证明以及几何 解释，会 用基本不等式求最大值和最小值。 2、过程与方法： 从数和形两方面探究不等式的证明。 3、情感、态度与价值观： 通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高 学习数学的兴趣，并通过不等式的几何解释， 丰富学生数形结合的想象力。 一、基本不等式的几何背景 A D C B H G F E “风车”中有哪些图形？你 能表示哪些面积？这些图 形的面积有什么相等关系 和不等关系？ A B C D E(FGH) a b v问：何时相等？ 结论：一般地，对于任意
2、实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立 当a,b为任意实数时， 还成立吗？你能给出它的证明吗？ 形数 此不等式称为重要不等式 （当且仅当a=b时，等号成立） 算术平均数几何平均数 1.思考:如果 用 去替换 中的 ,能得到什么结论? 请写出来。 基本不等式 2、基本不等式的代数证明。 3、基本不等式的几何解释。 证明:要证 只要证 ( ) 要证证，只要证证 ( ) 要证证，只要证证（ ) 显然: 是成立的,当且仅当 时 中的等号成立. 证明:当 时, . o a b AB P Q 1.如图,AB是圆o的 直径，Q是AB上任 一点，AQ=a,BQ=b, 过点Q作垂直于AB 的弦PQ，连A
3、P,BP, 则半弦PQ=_ _, 半径AO=_ 几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长 你能用这个图得出基本 不等式的几何解释吗? 2.PQ与AO的大小关系怎样? 基本不等式： 当且仅当a =b时，等号成立. 当且仅当a=b时，等号成立. 重要不等式： 注意： （1）不同点：两个不等式的适用范围不同。 （2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。 （3）基本不等式的变形： 堂堂清： 1、上节课学了哪两个公式？还记得吗？请回答. 2、如何理解两个公式中的“当且仅当”？ （）重要不等式； 当且仅当a=b时，等号成立. （）基本不等式： 当且仅当a =b时，等号成立. 构造条件 三、应用 例1、若 ,求 的最小值. 变2:若 ,求 的最小值. 发现运算结构，应用不等式 变1:若 求 的最小值 三、应用 例2、已知 ,求函数 的最大值. 变式:已知 ,求函数 的最大值. 发现运算结构，应用不等式 应用要点： 一正数 二定值 三相等 结论1：两个正数积为定值，则和有最小值 结论2：两个正数和为定值，则积有最大值 1、本节课主要内容？ 你会了 吗？ 五 、小结 2、两个结论:两个正数,积定和最小;和定积最大。 四 、巩固 大9 33 小 作业 再见! 整理导学案
