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1、2017-2018学年安徽师范大学附属中学高二下学期期中考查数学（理）试题一、单选题1已知复数z=2i+，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】分析：利用复数的四则运算法则、共轭复数的定义、复数的几何意义即可得出详解：复数z=2i+=2i+=2i3i1=15i，则复数z的共轭复数=1+5i在复平面内对应的点（1，5）在第二象限故选：B点睛：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2用反证法证明 命题：“若能被5整除，则中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是（
2、 ）A. 都能被5整除 B. 都不能被5整除C. 有一个能被5整除 D. 有一个不能被5整除【答案】B【解析】试题分析：反证法中，假设的应该是原结论的对立面，故应该为a，b都不能被5整除.【考点】反证法.3某工厂生产某种产品的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）有如下几组样本数据：34562.5344.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：设回归直线方程=0.7x+a，由样本数据可得，=4.5，=3.5，代入可求这组样本数据的回归直线方程详解：设回归直线
3、方程=0.7x+a，由样本数据可得，=4.5，=3.5因为回归直线经过点（，），所以3.5=0.74.5+a，解得a=0.35故=0.7x+0.35，故选：点睛：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程必过样本中心点是解题关键4设复数(其中为虚数单位)，则的虚部为（ ）A. B. 0 C. -10 D. 2【答案】D【解析】分析：由复数z求出z的共轭复数，然后代入z2+3化简求值即可得到答案详解：z=1+=，则z2+3=（12i）2+3（1+2i）=14i+4i2+3+6i=2iz2+3的虚部为2故选：D点睛：复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不
4、含的看作另一类同类项，分别合并即可；复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式5下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：是奇函数，但没有极值；的定义域是，故它不是奇函数；对，记，则，它不是奇函数，根据选择题的特点，本题选D当然对于函数，函数是奇函数，又，当或时，当或时,，因此是极小值，是极大值选D【考点】函数奇偶性与函数的极值6已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)lnx，则f(1)()A. e B. 1C. 1 D. e【答案】B【解析】依题意得，f(x)2f(e)，取xe得
5、f(e)2f(e)，由此解得f(e)e1，选C.7函数在内有极小值，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：，由题意在（0,1）上与x轴有交点，故，故选A【考点】本题考查了极值的定义点评：熟练掌握导数的运算及极值的定义是解决此类问题的关键，属基础题8若点P是函数上任意一点，则点P到直线的最小距离为 ( )A. B. C. D. 3【答案】A【解析】分析：由题意知，当曲线上过点P的切线和直线xy2=0平行时，点P到直线xy2=0的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线xy2=0的距离即为所求详解：点P是曲线f（x）=x2lnx上任意一
6、点，当过点P的切线和直线xy2=0平行时，点P到直线xy2=0的距离最小直线xy2=0的斜率等于1，由f（x）=x2lnx，得f（x）=2x=1，解得：x=1，或 x=（舍去），故曲线f（x）=x2lnx上和直线xy2=0平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线xy2=0的距离等于，故点P到直线xy2=0的最小距离为故选：A点睛：本题考查函数的导数的求法及导数的几何意义，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题9在平面几何中有如下结论：正三角形的内切圆面积为，外接圆面积为，则，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体的内切球体积为，外接球体积为，则 （ ）A
7、. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：平面上，若两个正三角形的内切圆与外接圆面积的比为1：4，则它们的半径比为1：2，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的外接球的半径比为1：3，则它以体积比为 1：27，【考点】类比推理.10若函数在区间单调递增，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：，函数在区间单调递增，在区间上恒成立，而在区间上单调递减，的取值范围是故选：D【考点】利用导数研究函数的单调性.11甲、乙、丙三位大学生毕业后选择自主创业，三人分别做淘宝店、微商、实体店.某次同学聚会时，甲说：我做淘宝店、乙做微
8、商；乙说：甲做微商、丙做淘宝店；丙说：甲做实体店、乙做淘宝店.事实上，甲、乙、丙三个的陈述都只对了一半.其他同学根据如上信息，可判断下列结论正确的是 （ ）A. 甲做微商 B. 乙做淘宝店 C. 丙做微商 D. 甲做实体店【答案】D【解析】若选项A正确，即甲做微商，则根据甲的话可知乙做微商，与题意不符；若选项B正确，即乙做淘宝店，则根据甲的话可知与题意不符；若选项C正确，即丙做微商，则根据甲的话可知甲做淘宝店，再根据丙的话可知与题意不符；若选项D正确，即甲做实体店正确，则根据甲的话可知乙做微商，根据乙的话可知丙做淘宝店，丙的话符合题意故选D12定义在上的函数满足：f（x）+f（x）1，f（0）
9、=4，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：构造函数g（x）=exf（x）ex，（xR），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解.详解：设g（x）=exf（x）ex，（xR），则g（x）=exf（x）+exf（x）ex=exf（x）+f（x）1，f（x）+f（x）1，f（x）+f（x）10，g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递增，exf（x）ex+3，g（x）3，又g（0）e0f（0）e0=41=3，g（x）g（0），x0故选：A点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.
10、构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等二、填空题13曲线在点（1,1）处的切线方程为_【答案】y=4x-3【解析】，则切线斜率，在点处的切线方程为，即，故答案为.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线，属于容易题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.14数列满足，归纳出数列的通项公式为_.【答案】 【解析】分析：利用递推关系式可求出a2，a3，a4，进而猜想归纳出其通项公式详解：由题意可得：a1=1，且an+1=，则a2=，a3=，a4=,通
11、过观察归纳出规律：其通项应是分子为1，分母与相应的下标相同，故an=（nN）可用数学归纳法或取倒数法加以推理证明，故答案为： 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项15曲线 存在与直线平行的切线，则实数的取值范围_【答案】（，2）（2，2）【解析】分析：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2xy=0平行的切线方程f（x）=+a在区间x（0，+）上有解，并且去掉直线2x
12、y=0与曲线f（x）相切的情况，解出即可详解：函数f（x）=lnx+ax的导数为f（x）=+a（x0）函数f（x）=lnx+ax存在与直线2xy=0平行的切线，方程+a=2在区间x（0，+）上有解即a=2在区间x（0，+）上有解a2若直线2xy=0与曲线f（x）=lnx+ax相切，设切点为（x0，2x0）则，解得x0=e此时a=2综上可知：实数a的取值范围是（，2）（2，2）故答案为：（，2）（2，2）点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略已知切点求切线方程解决此类问题的步骤为：求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；由点斜式求得切线方程为已知斜率求切点已知斜率，求切点，即解方
13、程.求切线倾斜角的取值范围先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决16对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23 ，33 ，43.依此，若m3的“分裂数”中有一个是2015，则m_.【答案】45【解析】分析：由题意知，n的三次方就是n个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可找出m3的“分裂数”中有一个是2015时，m的值详解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+m=个，2015是从3开始的第1007个奇数当m=44时，从23到443，用去从3开始的连续奇数共=989个当m=45
14、时，从23到453，用去从3开始的连续奇数共=1034个故m=45故答案为：45点睛：本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，其中分析出分解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键三、解答题17已知，分别求，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.【答案】【解析】试题分析：（1）， 2分同理可得：4分，。 6分（2）结论：若时，有=8分证明：设【考点】本题考查了归纳推理的运用点评：归纳推理的步骤：通过观测个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题18随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们交流的一种形式某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布
