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1、高中数学人教版必修2课件 23 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 高中数学人教版必修2课件 1下面四个命题，其中真命题的个数是()B 垂直于同一直线的两条直线平行；垂直于同一直线的 两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；平行于 同一直线的两条直线平行 B3 个 D1 个 A2 个 C4 个 解析：、正确 高中数学人教版必修2课件 2下列命题(a、b 表示直线，表示平面)中的真命题是() A 3下列命题中，假命题是()D A过一点有一个平面与已知直线垂直 B过一点至多只有一个平面与已知直线垂直 C过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 D过一点可能有两个平面与已
2、知直线垂直 高中数学人教版必修2课件 4直线 l 和平面内无数条直线垂直，则()D Al 和相互平行 Bl 和相互垂直 Cl 在内 D不确定 解析：直线 l 和平面内无数条直线垂直，可能是 l， l ，或 l 和相交(也可能垂直)，即 l 和的位置关系不确定 高中数学人教版必修2课件 重点线面垂直的判定 1判定直线和平面是否垂直，通常有三种方法： (1)定义法：如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直， 则直线 l 与平面互相垂直，记作 l.l平面的垂线， 直线 l 的垂面，它们的唯一公共点 P 叫做垂足(线线垂直线 面垂直)； (2)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条 直线与
3、该平面垂直用符号语言表示为：若 lm，ln，mn B，m，n，则 l； (3)若两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直 于这个平面 高中数学人教版必修2课件 2根据线面垂直的定义知：线面垂直可以得到大量线线垂 直；由线面垂直的判定定理知：要得到线面垂直就需要线线垂 直要深切体会线面垂直与线线垂直的相互转化 3定理：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一 点有且只有一个平面与已知直线垂直 难点直线与平面所成的角 斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和 它在平面内的射影的夹角求直线和平面所成的角，一般先定 斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简 述为“作(
4、作出线面角)证(证所作为所求)求(解直角三角形)” 通常，过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，并连接垂足和 斜足是产生线面角的关键 高中数学人教版必修2课件 线面垂直判定定理的应用 例 1：已知：如图 1，空间四边形 ABCD 中，ABAC，DB DC，取 BC 中点 E，连接 AE、DE，求证：BC平面 AED. 图 1 证明：ABAC，DBDC，E 为BC 中点， AEBC，DEBC. 又AE 与DE 交于E，BC平面AED. 由判定定理可知要证明直 线垂直平面，只需证明直线与平面内的任意两 条相交直线垂直即可 高中数学人教版必修2课件 下面结论成立的是() 11.如图 2(1)，在正方形
5、 SG1G2G3 中，E、F 分别是边 G1G2、 G2G3 的中点，D 是 EF 的中点，现沿 SE、SF 及 EF 把这个正方 形折成一个几何体(如图 2(2)，使 G1、G2、G3 三点重合于点 G， (1) (2) 图2 ASG平面 EFG CGF平面 SEF BSD平面 EFG DGD平面 SEF 解析：在题图(1)中，SG1G1E，SG3G3F，在题图(2)中， SGGE，SGGF，SG平面 EFG. A 高中数学人教版必修2课件 12.如图 3，在四棱锥 PABCD 中，PA 底面 ABCD，AC CD，E 是 PC 上的任一点(除 P 和 C 点外)，证明：CDAE. 图 3
6、证明：在四棱锥 PABCD 中， PA 底面 ABCD，CD平面 ABCD， PA CD. 又ACCD，PA ACA. CD平面 PAC. 而 AE平面 PAC，CDAE. 高中数学人教版必修2课件 直线与平面所成的角 例2：如图 4，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，求 A1B 与平 面 A1B1CD 所成的角 图 4 解：连接 BC1 交 B1C 于 O，连接 A1O，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中各个面为正方形，设其棱长为 a. 高中数学人教版必修2课件 A1O 为 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影 BA1O 为 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角 A1B 与平
7、面 A1B1CD 所成的角为 30. 高中数学人教版必修2课件 求直线和平面所成的角时，应注意的问题 是：(1)先判断直线和平面的位置关系(2)当直线和平面斜交时， 常有以下步骤：作作出或找到斜线与射影所成的角； 证论证所作或找到的角为所求的角；算常用解三角 形的方法求角；结论说明斜线和平面所成的角值 高中数学人教版必修2课件 图 5 21.如图 5，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中， ABBC2， AA11，则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为( ) 高中数学人教版必修2课件 A 22.若斜线段 AB 是它在平面内的射影长的 2 倍，则 AB 与所成的角为() A60
8、B45C30D120 答案：D 解析：如图22 ，连接 A1C1 ，则AC1A1 为 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角 图 22 高中数学人教版必修2课件 证明：PA O 所在平面， BCO 所在平面，PA BC， AB 为O 直径， ACBC， 又 PA ACA， BC平面 PAC， 又 AE平面 PAC，BCAE， AEPC, PCBCC，AE平面 PBC. 线面垂直判定定理的应用 例 3：如图 6，已知 PA O 所在平面，AB 为O 直径， C 是圆周上任一点，过 A 作 AEPC 于 E， 求证：AE平面 PBC. 图 6 高中数学人教版必修2课件 31.PA 是垂直于以 A
9、B 为直径的圆所在的平面，C 为圆上 )B异于 A、B 的任一点，则下列关系不正确的是( APA BC BACPB CBC平面 PAC DPCBC 高中数学人教版必修2课件 图 7 正解：PA a，ab，PA b. 又ABb，且 PA ABA， b平面 PAB. 又PB平面 PAB，PBb. 错因剖析：没有正确使用线面垂直的判定定理 例 4：如图 7，ab，点 P 在 a、b 所确定的平面外，PA a 于点 A，ABb 于点 B，求证：PBb. 高中数学人教版必修2课件 41.P 为ABC 所在平面外一点，O 为 P 在平面 ABC 上的 射影 (1)若 PA PBPC，则 O 是ABC 的_
10、； (2)若 PA BC，PBAC，则 O 是ABC 的_； (3)若 P 到ABC 三边的距离相等，且 O 在ABC 内部，则 O 是ABC 的_； (4)若 PA 、PB、PC 两两互相垂直，则 O 是ABC 的_ 外心 垂心 内心 垂心 高中数学人教版必修2课件 解析：(1)如图 23，PO平面 ABC， PA 、PB、PC 在平面 ABC 上的射影分别是 OA、OB、OC. 又PA PBPC，OAOBOC. O 是 ABC 的外心 图 23 图 24 (2)如图 24，PO平面 ABC， PA 在平面 ABC 上的射影是 OA. BCPA ，BCOA. 同理可证 ACOB， O是 ABC 的垂心故填垂心 高中数学人教版必修2课件 (3)如图 25， 图 25 P到 ABC 三边的距离分别是 PD、PE、PF， 则 PDPEPF. PO平面 ABC，PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影 分别是 OD、OE、OF. ODOEOF，且 ODAB，OEBC，OFAC. O是 ABC 的内心，故填内心 高中数学人教版必修2课件 PO平面 ABC， OA 是 PA 在平面 ABC 上的射影 又PA PB，PA PC， PA 平面 PBC. 又BC平面 PBC， PA BC.OABC. 同理可证 OBAC. O是 ABC 的垂心故填垂心 (4)如图 26， 图 26
