《数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程 2.1.1 曲线与方程讲解（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 21 曲线与方程 211 曲线线与方程 1了解方程的曲线与曲线的方程的对应关 系 2理解曲线的方程和方程的曲线的意义 曲线的方程与方程的曲线 在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点 的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的 点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建 立了如下的关系： (1)曲线上都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条 曲线叫做方程的曲线 点的坐标 曲线上的点 思考 若曲线C的方程是f(x，y)0，则点 P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？ 充要条件是f(x0，y0)0 1曲线与方程的实质是曲线C的点集 M|p(M)和方程f
2、(x，y)0的解集(x， y)|f(x，y)0之间的一一对应关系曲线 的性质完全反应在它的方程上，方程的性 质又反映在它的曲线上 2曲线上的点的坐标都是这个方程的解 说明曲线上没有点的坐标不满足方程， 即曲线上所有的点都符合这个条件而无任 何例外，这就是轨迹的“纯粹性”；以这个 方程的解为坐标的点都在曲线上，说明符 合条件的所有点都在曲线上且无遗漏，此 即轨迹的“完备性” 3从充要条件的角度看，关系(1)或(2) 仅是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要 条件，只有两者都满足了，“曲线的方程” 和“方程的曲线”才具备充分性 【分析】 判断方程是否是曲线的方程， 要从两个方面着手：一是检验曲线上
3、点的 坐标是否都适合方程，二是检验以方程的 解为坐标的点是否在曲线上 学习曲线与方程时，最重要的是建立对 应观点，从点和坐标的对应开始，向曲线 和方程的对应过渡，循序渐进地提升对应 观点，最终形成一种思想方法 判断下列命题是否正确，为 什么？ (1)过点A(2,0)且平行于y轴的直线l的方程 是|x|2； (2)已知等腰ABC的三顶点A(0,3)，B( 2,0)，C(2,0)中线AO(O为原点)所在 直线的方程是x0(0y3) 解：(1)如图所示直线l上点的坐标都是方程 |x|2的解，然而，坐标满足方程|x|2的 点不一定在直线l上，如(2，0)不在直线l 上 因此|x|2不是l的方程，命题不
4、正确 (2)以方程x0(0y3)的解为坐标的点都 在中线AO所在的直线上，但直线上有些 点(如(0,4)的坐标不是方程x0(0y3) 的解 因此x0(0y3)不是中线AO所在直线 的方程， 所以命题(1)、(2)是假命题 【分析】 将等式进行同解变形，转化 为已知曲线的方程的形式，从而判断出原 方程表示的曲线 判断方程表示什么曲线，就要把方程进 行同解变形，常用的方法有：配方法、因 式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式 ，然后根据方程、等式的性质作出准确判 定 证明：以坐标原点为圆心，半径 等于5的圆的方程是x2y225，并判断 点M1(3，4)，M2(3,2)是否在这个圆 上 【分析】 解答
5、本题的关键是从两方面 进行突破，即先证圆上的任意一点的坐标 都是这个方程的解，再证以这个方程的解 为坐标的点都在这个圆上 【错因总结 】 对解答本题时易犯的错 误具体分析如下： 常见错误 只证(1)或(2)中的一种情况 错误原因 对曲线和方程的意义模糊不清解答本 题既需要说明曲线上的任意一点的坐标都 是这个方程的解，又需说明以这个方程的 解为坐标的点都在这条曲线上，即必须满 足“纯粹性”和“完备性”，二者缺一不可 到两坐标轴距离相等的点满 足的方程是xy0吗？为什么？ 解：显然不对(只具备条件(2)而不具备条 件(1)这是因为，到两坐标轴距离相等 的点的轨迹是两条直线：l1：xy0和l2 ：x
6、y0，直线l1上的点的坐标都是方 程xy0的解，但直线l2上的点(除原点 外)的坐标不是方程xy0的解，方程x y0只是直线l1的方程，它不是所求轨 迹的方程 1“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y) 0的解”是“曲线C的方程是f(x，y)0”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 解析：由曲线与方程的定义可得 答案：B 2已知曲线C的方程为x2xy2y1 0，则下列各点中，在曲线C上的点是( ) A(1,2) B(1，2) C(2，3) D(3,6) 解析：将四个点的坐标一一代入曲线C 的方程，若成立，则说明点在曲线上 答案：B 3已知曲线C：xy3xky20，则 当k_时，曲线C经过点(2， 1) 解析：将点(2，1)代入方程xy3x ky20，得2(1)32k(1)2 0，解得k6 答案：6 答案：
