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1、上页下页 第9章 常微分方程初值问题数值解法 9.1 引言 9.2 简单的数值方法 9.3 龙格-库塔方法 上页下页 其中f (x,y)是已知函数，(1.2)是定解条件也称为 初值条件。 各种数值解法各种数值解法 本章主要讨论一阶常微方程的初值问题 9.1 引 言 上页下页 则称f(x, y) 关于y满足利普希茨(Lipschitz)条件， L称为f(x, y) 的利普希茨常数。 定义： 若存在实数L0, 使得 上页下页 定理 上页下页 所谓数值解法, 就是寻求解y(x)在一系列离散节点 上的近似值 y1, y2, , yi , yi+1 ,. 相邻两个节点的间距 hi=xi+1-xi 称为步
2、长. 今后如不特别说明，总是假定 hi=h(i=1,2,)为常数, 这时节点为xi=x0+ih(i=0,1,2,) ( 等距节点). 上页下页 初值问题的数值解法一般采取“步进式”，即求解 过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进. 描述 这类算法，只要给出用已知信息yi, yi-1, yi-2,计算yi+1 的递推公式. 若计算yi+1时只用到前一点的值yi，称为单步法. 若计算yi+1时用到yi+1前面 k 点的值yi, yi-1, yi-k+1，称为k步法. 上页下页 9.2 简单的数值方法 上页下页 由向前差商公式 一、欧拉法 得 上页下页 每步计算只用到 依上述公式逐次计算可得： 上
3、页下页 几何意义是用一条初始点重合的折线来近似表示曲线。 y P1 (x1, y1) P2 (x2, y2) y=y(x) 0 x0 x1 x2 x3 x 欧拉法的几何意义 上页下页 由向后差商公式 得 二、后退欧拉法 上页下页 后退的欧拉公式与欧拉公式有着本质的区别, 后 者是关于yi+1的一个直接计算公式，这类公式称作是 显式的；前者公式的右端含有未知的yi+1，它实际上 是关于yi+1的一个函数方程,这类方程称作是隐式的. 隐式方程通常用迭代法求解，而迭代过程的实 质是逐步显式化. 上页下页 设用欧拉公式 给出迭代初值 ，用它代入后退欧拉公式式的右端 ，使之转化为显式，直接计算得 然后再
4、用 代入后退欧拉公式的右端，又有 如此反复进行，得 上页下页 由于f(x, y)对y满足Lipschitz条件，则 由此可知，只要hL1，迭代法 就收敛到解 上页下页 三 单步法的局部截断误差与阶 初值问题(1.1),(1.2)的单步法可用一般形式表示为 其中多元函数与f(x, y )有关，当含有yi+1时，方法 是隐式的，若不含yi+1则为显式方法，所以显式单步 法可表示为 (x, y, h)称为增量函数，例如对欧拉法有 上页下页 定义1 设y(x)是初值问题(1.1),(1.2)的准确解, 称 为显式单步法的局部截断误差. Ti+1之所以称为局部的，是假设在xi前各步没有 误差.当yi=y
5、(xi)时，计算一步，则有 所以，局部截断误差可理解为用显示单步法计 算一步的误差 上页下页 定义2 若显式单步法的局部截断误差满足 则称显示单步法具有p阶精度或是p阶方法. 欧拉法的局部截断误差为 一阶方法 上页下页 以上定义对隐式单步法也是适用的.例如，对后 退欧拉法，其局部截断误差为 一阶方法 上页下页 四、 梯形公式 将 区间 积分 忽略高阶项,有 对右端采用梯形公式, 有 上页下页 注：梯形公式局部截断误差 ， 即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉公式有了进步。但注 意到该公式是隐式公式. 上页下页 五、 改进欧拉公式 预测: 先用显式欧拉公式作预测，算出 ),( 1iiii yxfhy
6、y += + 校正: 再将 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到 1+i y ),(),( 2 111+ += iiiiii yxfyxf h yy 改进欧拉公式 这是一种显式格式,它可以表示为嵌套形式。 改进欧拉公式 上页下页 注：此法亦称为预测-校正法。可以证明该算法具有 2 阶精度。 或者表示成下列平均化形式 改进欧拉公式 上页下页 例：用改进欧拉公式求解初值问题 要求取步长h=0.2，计算y(1.2)及y(1.4)的近似 值，小数点后至少保留5位. 解 设f(x,y)=-y-y2sinx , x0=1, y0=1, xi=x0+ih=1+0.2i, 改进欧拉公式为 上页下页 于是有 由y
7、0=1计算得 上页下页 由微分中值定理，有 K*称为曲线y(x)在区间xi, xi+1上的平均斜率，只要知道平 均斜率，就可计算y(xi+1).因此只要对平均斜率提供一种近似 算法，则由(1)式可导出一种相应的求解公式。 (1) 9.3 龙格库塔方法 上页下页 欧拉公式可改写成 局部截断误差为 。 改进的欧拉公式又可改写成 局部截断误差为 。 斜率 一定取K1， K2 的平均值吗？ 步长一定是h 吗？ 即第二个节点一定 是xi+1吗？ 上页下页 将改进的欧拉公式推广为 ),( ),( 12 1 22111 phKyphxfK yxfK KKhyy ii ii ii += = += + 其局部截
8、断误差为 ， 这里有 3 个未知 数， 2 个方程。 存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库塔公式 。 其中 2阶龙格 - 库塔格式 注意到， 就是改进的欧拉公式。 问题: 为获得更高的精度，应该如何进一步推广？ 上页下页 改进的Euler 公式推广为二阶Runge-Kutta公式带 来这样的启示： 若在xi, xi+1上多取几个点的斜率值，然后将它 们的线性组合作为平均斜率的近似值，则有可能 构造出具有更高精度的计算公式。 -Runge-Kutta方法的基本思想。 上页下页 显式N级龙格-库塔公式 其中i ( i = 1, , N )，i ( i = 2, , N ) 和 ij ( i = 2, , N; j = 1, , i1 ) 均为待定系数 。 ).,( ),( ),( ),( . 2211 23213133 12122 1 22111+ += += += = += N-1 N , N-1NNNiN ii ii ii NNii hKhKhKyihxfK hKhKyhxfK hKyhxfK yxfK KKKhyy 常用的有 二阶龙格-库塔公式，其局部截断误差为 三阶龙格-库塔公式，其局部截断误差为 四阶龙格-库塔公式，其局部截断误差为
