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1、海浪谱分析相关函数法一、 基本概念已经提出的海浪频谱很多，其中大部分是由观测到的波要素连同某些假定推导出来的，大部分则利用定点波面记录通过特殊的谱分析方法得到。后一方法是目前得到海浪谱的主要手段。在固定点连续记录到波面，通常认为它是弱平稳的过程，其相关函数为： （1.1）由已有理论可知此过程的单侧谱为 （1.2）假定海浪为具有各态历经性的平稳随机过程，可利用过程中的现实（一次波面记录）的离散值计算相关函数 （1.3）式中，N为样本容量；为乘积的个数。由此相关函数并参照式（1.2）可得谱的估计值为 （1.4）另一方面，我们定义谱密度函数 （1.5）对于离散值， （1.6）代入式（1.5），可得
2、（1.7）当时，上式变为 （1.8）而 （1.9）式（1.8）右侧称为周期图，它可通过对样本实行离散傅里叶变化得到。因此估计谱通常有两种途径，其一通过相关函数，其二通过周期图。在每一途径中又可采用不同的方法。不管用何法，都要对实测记录取离散值，并进行中心化处理。采样间隔的选取，非常重要。在图（1.1）中，细线代表谱中圆频率为的组成波，今按时间间隔读取波面值，连接这些离散值得粗线所示的圆频率为的波动。容易推想，许多高频率的波动可表现为同一低频的波动。设定义圆频率 （1.10）则可证明频率的波动，由于离散化的结果均变现为频率的波动。设都是整数，则 （1.11）图1.1 折叠频率说明图这意味着利用波
3、面记录离散值进行谱估计时，将使谱于频率间隔内的能量都全部叠加到间隔内，这不仅使谱值的分布范围缩窄至频率范围内，而且得到的谱值不是真实的。称为Nyquist圆频率或折叠圆频率，而 （1.12）叫做Nyquist频率或折叠频率（Folding frequency）。因此，估计谱的分布范围取决于的值。事实上，海浪谱通常集中在较窄的频域内，通常可从记录中选择最短波的频率作为谱估计的频率上界，把大于的高频部分切去不计，故叫做切割频率（Cut-off frequency）。选取时应使 （1.13）海浪可视为随机过程，但可供使用的定点波形记录具有下列局限性：记录次数是有限的；记录长度是有限的；计算时使用以一
4、定间隔读取的波面数值。理论上可证明，即使计算本身无误差，由此记录得到的结果并非谱的真值，而是对真值的某种估计，故为了说明估计值接近真值的程度，尚需利用一些统计上的特征量（偏度、方差、置信度等）加以描述。二、 由相关函数估计频谱2.1 计算相关函数设采样时距为，则式（1.3）的相关函数可改写成 （2.1）这样便得到的m+1个值，它们等间隔地分布着，并分别位于。2.2 估算谱粗值将式（2.1）代入前文公式以数值积分计算谱值。由于折叠的影响，谱值系在范围内进行计算。等间隔地取m+1个频率。我们的目的就是计算谱于这些频率所具有的值，令代表频率对应的粗谱值，得 （2.2）如数值积分中采用梯形公式，谱值为
5、 （2.3）此处采用的频率间隔为 （2.4）代入式（2.3），得 （2.5）2.3 谱的平滑以上估计出的谱值是不精确的，由它们给出的谱曲线参差不齐。因为样本容量N是有限的，故式（2.1）计算相关函数时，对于小的，乘积的个数越多，从而的值较可靠；而对于大的，的可靠性较差。为了改进精确度，可令不同的具有不同的权。这种权函数的形式很多，其中一种常用的为 （2.6）此权函数乘以式（2.2）中的，最后可得谱值 （2.7）对于两个端点频率，可取 （2.8）另一种常用的权函数为 （2.9）同上，由此权函数可得谱值： （2.10）对于两个端点频率，系数均为0.5.由上可见，此处所谓改进谱的质量，实际上是采用特
6、定的系数，对谱的粗值进行平滑，而权函数称为延时窗，前者叫做哈明（Hamming）窗，后者叫做哈宁（Hanning）窗。此权函数的傅里叶变换 （2.11）称为谱窗。图2.1为由数值模拟方法得到的相关函数和谱的示例，估计谱时采用了哈明窗。图2.1 由数值模拟得到的相关函数和谱2.4 确定置信度设都是符合标准正态分布的随机变量，且，则的分布成分布（具有k个自由度）： （2.12）又设平滑后的谱值为，谱的真值为，已证明随机量遵从自由度为k的分布。根据估计谱值的概率分布，可利用置信界限来表示估计值的可靠性。设给定置信水平为（以%表示），则可由分布确定上界和下界，使估计值落入此界限内的概率为。设以代表，为
7、了确定置信界限，我们依分布求出两个正数a和b，使 （2.13）从而式（2.13）中的a和b可利用已编制的分布概率表查得。上式可写为或 （2.14）上式表明，对于给定的置信水平，置信上上下界分别为 （2.15）以上为频率对应的置信界限，各频率的置信界限构成置信带。式（2.14）中的自由度k，因使用的延时窗而异。在海浪谱估计中，常使用Tukey导出的结果，即 （2.16）采用与上式最接近的整数。2.5 参量的选取谱估计涉及到一系列参量的选取，如样本长度，最大推移乘积个数m等，它们的选取直接影响到谱的质量。理论上，样本越长，统计特征值越稳定，但其计算工作量较大。另外，海浪并不是严格平稳的，记录时间太
8、长可能会使平稳性受到影响。一般对小的波浪，样本可短些；周期大的波浪，样本宜长些，通常可取1020min，波数不宜于100个。Arhan在北海北部连续测波22h45min，把记录分成80段，每段长17min，分析得各段的有效波高随时间的变化曲线，发现在波浪迅速成长时，如时段大于17min，波浪不平稳。Haver在挪威沿海收集了384组波浪资料，每段长约17min，发现有1530%的时段不平稳。故认为时段长于17min是不可取的。如上文所述，的选取必须充分小，以避免折叠影响，同时过大时失去信息过多，会使估计得谱变形。但如过小，增加样本容量，且所得序列数据相关性增大。通常值应满足式（1.13）即 （
9、2.12）为切割频率。合田良实建议取，即在一个有效波周期内采用1020个样。也有人建议取。如由此估计所得谱在附近的谱值明显地大于零，应缩小。反之，如远小于处的谱值已接近于零，可适当地加大。最大推移乘积个数m对谱估计结果有相当影响。估计谱的质量要用估计值相对于真值的均方误差来度量，容易证明： （2.17）此处偏差 （2.18）方差 （2.19）表示估计值偏离真值得程度；表示估计值的离散程度，两者的值越小，表明谱估计结果的质量越高。一般来说，正比于，正比于。故m增大时，即偏度减小，但即方差增大。另一方面，m增大时，由式（2.16）知自由度k减小，使估计谱的置信带加宽。同时由式（2.4）知减小，即谱
10、的分辨率提高。能否通过式（2.17）对m值进行优选，国外学者曾对此做过研究，但尚无可供使用的结果，只能根据经验或通过比较选取。图2.2为谱估计结果随m的变化情况。图中是由谱矩求得的平均波高。m太小时，因点据稀少（谱估计的频率间距），不能确切地显示谱形，峰值偏小。随着m增大谱形显露。m再增大，谱形振动，谱峰尖突，故可由此选定适合的m值。另一种考虑是由各态历经性，当增大到一定值是，趋近于零，可选相关函数近于零时相应的m值。第三，不同m值对应的谱的特征值也不同，可选择谱特征值（谱宽参数）趋于稳定时所对应的m值。图2.2 谱估计结果随m值得变化 上述通过估计结果来选取m值比较麻烦。国家海洋局海洋调查规
11、范建议选取。笔者由数模结果建议选取；。2.6 由互相关函数估计互谱研究任意两个随机过程之间的相互关系时，需计算其互相关函数和互谱。如前文所述，经中心化后任意两个随机过程和的互相关函数为 （2.20）令 （2.21） （2.22）则可得各粗谱值：粗同相谱 （2.23）粗转相谱 （2.24）粗互谱 （2.25）式中，。采用Hamming窗或Hanning窗进行平滑，得 （2.26）式中，Hamming和Hanning窗的系数分别为0.23和0.25。3、 程序实现3.1 程序一：随机信号的自相关函数、协方差函数的实现% 随机信号的建立a=randn(2000,1); % 随机信号wc=0.45,0.65;N=79;% 基于窗函数的fir滤波器window=blackman(N+1); % 调用格式：w=blackman(n),根据长度n产生一个布拉克曼窗w；h=fir1(N,wc,window); % 调用格式：fir1(n,Wn,ftype,Window),n 为阶数,Wn是截止频率；x=filter(h,1,a)
