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1、第六章 因子模型和套利 定价理论（APT） 4为了得到投资者的最优投资组合，要求 知道： 回报率均值向量 回报率方差-协方差矩阵 无风险利率 4估计量和计算量随着证券种类的增加以 指数级增加 4引入可以大大简化计算量 由于因子模型的引入，使得估计Markowitz 有效集的艰巨而烦琐的任务得到大大的简化 。 4因子模型还给我们提供关于证券回报率 生成过程的一种新视点 更准确 4CAPM与APT 建立在均值方差分析基础上的CAPM是一 种理论上相当完美的模型，它解释了为什么 不同的证券会有不同的回报率。除CAPM理 论外，另一种重要的定价理论是由Stephen Ross在70年代中期建立的套利定
2、价理论 (APT)。在某种意义上来说，它是一种比 CAPM简单的理论。 最优投资组合理论+市场均衡=CAPM 因子模型+无套利=APT CAPM是建立在一系列假设之上的非常理想化 的模型，这些假设包括Harry Markowitz建立均 值-方差模型时所作的假设。这其中最关键的假 设是，所有投资者的无差异曲线建立在证券组 合回报率的期望和标准差之上。 相反，APT所作的假设少得多。APT的基本假 设之一是，当投资者具有在不增加风险的前提 下提高回报率的机会时，每个人都会利用这个 机会，即，个体是非满足的。另外一个重要的 假设是，证券市场证券种类特别多，并且彼此 之间独立。 1. 因子模型 (F
3、actor Model) 4实际中，所有的投资者都会明显或者不 明显地应用因子模型。 4例子：市场模型 这里 =在给定的时间区间，证券 i 的回报率 =在同一时间区间，市场指标 I 的回报率 =截矩项 =斜率项 =随机误差项， 4例子：Flyer公司股票的下一个月回报率 这里 表示实际月回报率 表示期望回报率 表示回报率的非期望部分 期望回报率是市场中投资者预期到的回报率，依赖于投资 者现在获得地关于该种股票的所有信息，以及投资者对何 种因素影响回报率地全部了解。 回报率的非期望部分由下一个月内显示地信息导 致，例如 News about Flyersresearch Government f
4、igures released on the gross national product (GNP) Results of the latest arms-control talks Discovery that a rivals product has been tampered with News that Fleyerssales figures are higher than expected A sudden drop in interest rates The unexpected retirement of Flyersfounder and president 4Announ
5、cement = Expected part + Surprise The expected part of any announcement is part of the information the market uses to form the expectation of the return on the stock. The surprise is the news that influences the unanticipated return on the stock. 4When we speak of news, then, we refer to the surpris
6、e part of any announcement and not the portion that the market has expected and therefore has already discounted. 4The unanticipated part of return-that portion resulting from surprise-is the true risk of any investment. 这里 由于系统原因导致的回报率的非期望部分 由于非系统原因导致的回报率的非期望部分 4经济系统中的某些共同因素影响几乎所 有的公司 商业周期、利率、GDP增长
7、率、技术进步、 劳动和原材料的成本、通货膨胀率 这些变量不可预期的变化将导致整个证券市 场回报率的不可预期变化 4定义1：因子模型（或者指标模型）是一 种假设证券的回报率只与不同的因子或 者指标的运动有关的经济模型。 4市场模型是一种单因子模型以市场 指标的回报率作为因子。 4由于在实际中，证券的回报率往往不只 受市场指标变动的影响，所以，在估计 证券的期望回报率、方差以及协方差的 准确度方面，多因子模型比市场模型更 有效。 4 作为一种回报率产生过程，因子模型具 有以下几个特点。 第一，因子模型中的因子应该是系统影响所有证券 价格的经济因素。 第二，在构造因子模型中，我们假设两个证券的回 报
8、率相关一起运动仅仅是因为它们对因子 运动的共同反应导致的。 第三，证券回报率中不能由因子模型解释的部分是 该证券所独有的，从而与别的证券回报率的特有部 分无关，也与因子的运动无关。 4因子模型在证券组合管理中的应用 在证券组合选择过程中，减少估计量和计算 量 刻画证券组合对因子的敏感度 4如果假设证券回报率满足因子模型，那 么证券分析的基本目标就是，辨别这些 因子以及证券回报率对这些因子的敏感 度。 2.单因子模型 4把经济系统中的所有相关因素作为一个 总的宏观经济指标，假设它对整个证券 市场产生影响，并进一步假设其余的不 确定性是公司所特有的。 例如，国内生产总值GDP的预期增长率是影响证券
9、 回报率的主要因素。 表6-1 因子模型数据 4年份 GDP增长率 A股票回报率 41 5.7% 14.3% 42 6.4 19.2 43 7.9 23.4 44 7.0 15.6 45 5.1 9.2 46 2.9 13.0 44% 图6-1中，横轴表示GDP的预期增长率，纵 轴表示证券A的回报率。图上的每一点表示 表6-1中，在给定的年份，A的回报率与GDP 增长率的关系。通过线性回归分析，我们得 到一条符合这些点的直线。这条直线的斜率 为2，说明A的回报率与GDP增长率有正的关 系。GDP增长率越大，A的回报率越高。 写成方程的形式，A的回报率与GDP预期增 长率之间的关系可以表示如下
10、(6.1) 这里 =A在 t 时的回报率, =GDP在 t 时的预期增长率, =A在 t 时的回报率的特有部分, =A对GDP的预期增长率的敏感度, =有关GDP的零因子。 在图6-1中，零因子是4%，这是GDP的预期 增长率为零时，A的回报率。A的回报率对 GDP增长率的敏感度为2，这是图中直线的 斜率。这个值表明，高的GDP的预期增长率 一定伴随着高的A的回报率。如果GDP的预 期增长率是5%，则A的回报率为14%。如果 GDP的预期增长率增加1%为6%时，则 A的回报率增加2%，或者为16%。 在这个例子里，第六年的GDP的预期增长率 为2.9%，A的实际回报率是13%。因此，A 的回报
11、率的特有部分（由 给出）为 3.2%。给定GNP的预期增长率为2.9%，从A 的实际回报率13%中减去A的期望回报率 9.8%，就得到A的回报率的特有部分3.2%。 从这个例子可以看出，A在任何一期的回报 率包含了三种成份： 1在任何一期都相同的部分（ ） 2依赖于GDP的预期增长率，每一期都不相同的部分 （ ） 3属于特定一期的特殊部分（ ）。 4通过分析上面这个例子，可归纳出单因 子模型的最一般形式：对时间 t 的任 何证券 i 有 (6.2) 这里， 是因子在时间 t 的因子的值，对 在时间 t 的所有的证券而言，它是相同的。 是证券 i 对因子 的敏感度，对证券 i 而言， 不随时间的
12、变化而变化。 是 证券 i 在时间 t 的回报率的特有部分。这是 一个均值为0，标准差为 ，且与因子 无关的随机变量，我们以后简称为随机项。 为简单计，只考虑在某个特定的时间的因子 模型，从而省掉角标，从而(6.2)式变为 (6.3) 并且假设： 1任意证券 i 的随机项 与因子不相关; 2任意证券 i 与证券 j 的随机项 与 不相关。 假设1说明，因子具体取什么值对随机项没 有影响。而假设2说明，一种证券的随机项 对其余任何证券的随机项没有影响，换言之 ，两种证券之所以相关，是由于因子对它们 的共同影响导致的。如果任何假设不成立， 则单因子模型不准确，应该考虑不同的因子 模型。 4 对于证
13、券 i 而言，其回报率的均值 (6.4) 例子 与Flyer公司股票回报率例子比较 4 对于证券 i 而言，其回报率的方差为 (6.5) 例子 定义2： 我们称(6.5)式中的 为因子风 险； 为非因子风险。 对于证券 i 和 j 而言，它们之间的协方差为 (6.6) 4单因子模型具有两个重要的性质。 第一个性质，单因子模型能够大大简化我们在均值- 方差分析中的估计量和计算量。 第二个性质与风险的分散化有关。 分散化导致因子风险的平均化。 分散化缩小非因子风险。 3 多因子模型 4经济是否健康发展影响绝大多数公司的 前景，因此，对将来经济预期的变化会 对大多数证券的回报率产生深远的影响 。但是
14、，经济并不是一个简单的单一体 ，用单一的因子来刻画整个经济显然是 不准确的。 4一般来说，下面的几种因素会对整个经 济产生普遍的影响。 1GDP的增长率 2短期国库券的利率水平 3 长短期国债的收益率之差 4. 公司债与国债的收益率之差 5. 通货膨胀率 6. 石油价格 7. 技术进步 43.1两因子模型，即，回报率生成过程包 括两个因子。 在 t 时的两因子模型方程为： (6.10) 这里 和 是影响证券回报率的主要因素， 和 是证券 i 对两因子的敏感度。 是随机项，而 是零 因子回报率。 4例子 表6-2 因子模型数据 4年份 GDP增长率 通货膨胀率 A股票回报率 41 5.7% 1.1% 14.3% 42 6.4 4.4 19.2 43 7.9 4.4 23.4 44
