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1、求圆锥曲线方程的常用方法 平罗中学 马金云 轨迹法 定义法 待定系数法 练习1 练习2 建系设点 写集合 列方程 化简 证明 静 例1 动点P（x，y）到定点A（3，0） 的距离比它到定直线x= -5的距离少2。 求：动点P的轨迹方程。 O 3 -5 A x y m 解法一轨迹法 思考：如何化去绝对值号？ P点在直线左侧时，|PH| -5 P 如图 ， P H 例1 动点P（x，y）到定点A（3，0） 的距离比它到定直线x= -5的距离少2。 求：动点P的轨迹方程。 3 -5 A x y m 解法一 轨迹法 解法二 定义法如图 ， -3 n 作直线 n：x = -3 则点P到定点A（3，0）与
2、定直线 n：x = -3 等距离。 P（x，y） 故，点P的轨迹是以为焦点， 以为准线的抛物线 。 An 依题设知 x -5, y 2 =12x 轨迹法 定义法 待定系数法 静音 练习1 练习2 由题设条件 ，根据圆锥 曲线的定义 确定曲线的 形状后，写 出曲线的方 程。 例2 等腰直角三角形ABC中，斜边BC 长为 ，一个椭圆以C为其中一个焦 点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆 经过点A，B。 求：该椭圆方程。 O 解 x y A C B O |BC| = 如图 ， 设椭圆的另一个焦点为D D 以直线DC为x轴，线段DC的中点为原点建立直角坐标系。 设椭圆方程为（ab0)则 |AD| + |
3、AC| = 2a，|BD| + |BC| = 2a 所以，|AD| + |BD| + |AC| + |BC| = 4a即 例2 等腰直角三角形ABC中，斜边BC 长为 ，一个椭圆以C为其中一个焦 点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆 经过点A，B。 求：该椭圆方程。 O 解 x y A C B O 得 D |AD| + |AC| = 2a |AC| = |AD| = 在ADC中 |DC|2 = |AD|2 + |AC|2 = （ ）2 + 16 = 24 2c c2= 6，b2= a2c2= （2 + ）2 - 6 = 故所求椭圆方程为 注：重视定义！ 轨迹法 定义法 待定系数法 静音 练习1
4、练习2 例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对 称轴都是坐标轴，抛物线的顶 点在原点，三种曲线在X轴上 有一个公共焦点. （1）求这三种曲线的方程； （2）在抛物线上求一点P，使 它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6. （1）分析：如图 X O Y 24 2 4 M 抛物线开口向右，根据点M（2，4） 可求焦参数p，进而可求焦点。 设抛物线：y2 = 2px ，p0 ,将点M代入解得 p = 4 故抛物线方程为 y2 = 8x , 焦点为F(2,0) F 例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对 称轴都是坐标轴，抛物线的顶 点在原点，三种曲线在
5、X轴上 有一个公共焦点. （1）求这三种曲线的方程； （2）在抛物线上求一点P，使 它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6. X O Y 24 2 4 M F 抛物线方程：y2 = 8x ，焦点F（2，0 ） 设椭圆、双曲线方程分别为 - 则a2 - b2 = 4 ，m2 + n2 = 4 ；又 - 解得： 例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对 称轴都是坐标轴，抛物线的顶 点在原点，三种曲线在X轴上 有一个公共焦点. （1）求这三种曲线的方程； （2）在抛物线上求一点P，使 它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6. X O Y 24 2 4 M F 抛
6、物线：y2 = 8x - - 椭圆、双曲线方程分别为 - - 例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对 称轴都是坐标轴，抛物线的顶 点在原点，三种曲线在X轴上 有一个公共焦点. （1）求这三种曲线的方程； （2）在抛物线上求一点P，使 它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6. X O Y 24 2 4 M F 抛物线：y2 = 8x 椭圆、双曲线方程分别为 - - （2）分析：如图 （m，0 ） （a，0） P 椭圆、双曲线的右顶点距离为|a-m|， P为抛物线上的一点，三角形的高为|yp|， （xp，yp） = 由题设得 6= S|a-m|yp| 例3 椭圆、双曲
7、线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对 称轴都是坐标轴，抛物线的顶 点在原点，三种曲线在X轴上 有一个公共焦点. （1）求这三种曲线的方程； （2）在抛物线上求一点P，使 它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6. F 抛物线：y2 = 8x 椭圆、双曲线方程分别为 - - （m，0 ） （a，0） P X O Y 24 2 4 M （xp，yp） = 由题设得 6= S|a-m|yp| 易知 |a-m| = 4，故可得|yp|=3 3即yp=， 将它代入抛物线方程得 xp= 故所求P点坐标为 （ ，3 ）和（ ，-3 ） 注解！ 例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），
8、它们的对 称轴都是坐标轴，抛物线的顶 点在原点，三种曲线在X轴上 有一个公共焦点. （1）求这三种曲线的方程； （2）在抛物线上求一点P，使 它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6. F 抛物线：y2 = 8x 椭圆、双曲线方程分别为 - - （m，0 ） （a，0） P X O Y 24 2 4 M （xp，yp） = 由题设得 6= S|a-m|yp| 易知 |a-m| = 4，故可得|yp|=3 3即yp=， 将它代入抛物线方程得 xp= 故所求P点坐标为 （ ，3 ）和（ ，-3 ） 注解！ 例3 椭圆、双曲线和抛物线都 经过点M（2，4），它们的对 称轴都是坐标轴，抛物线的
9、顶 点在原点，三种曲线在X轴上 有一个公共焦点. （1）求这三种曲线的方程； （2）在抛物线上求一点P，使 它与椭圆、双曲线的右顶点连 成的三角形的面积为6. F 抛物线：y2 = 8x 椭圆、双曲线方程分别为 - - （m，0 ） （a，0） P X O Y 24 2 4 M （xp，yp） 点评：待定系数法是求曲线方程的最常用方法 。 轨迹法 定义法 待定系数法 练习1 练习2 小结 作业 .已知定点M（1，0）及定直线L：x=3，求到M和L 的距离之和为4的动点P的轨迹方程。 .动圆M和 y 轴相切，又和定圆相外切，求动圆 圆心M的轨迹方程。 3.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，一
10、 条准线为 x=1，直线L过左焦点F，倾角为45， 交椭圆于A，B两点，若M为AB的中点且AB与OM的夹 角为arctan2时，求椭圆的方程。 例1 动点P（x，y）到定点A（3，0） 的距离比它到定直线x= -5的距离少2。 求：动点P的轨迹方程。 3 -5 A x y m 解法一 轨迹法 解法二 定义法如图 ， -3 n 作直线 n：x = -3 则点P到定点A（3，0）与定直线 n：x = -3 等距离。 P（x，y） 故，点P的轨迹是以为焦点， 以为准线的抛物线 。 An 依题设知 x -5, y 2 =12x 返回本题 已知Q点是双曲线C上的任意一点，F1、F2是 双曲线的两个焦点，过任一焦点作F1QF2的角 平分线的垂线，垂足为M。求点M的轨迹方程并画 出它的图形。 思考题
