《高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数（2）2北师大必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数（2）2北师大必修4（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3 二倍角的三角函数(二) 【知识识提炼炼】 半角公式 2cos2-11-2sin2 2 【即时时小测测】 1.思考下列问题问题 (1)半角公式的两端有什么变变化? 提示:半角公式的等式两端,从左向右,方次降低,角度加倍,从右向左, 方次增大,角度减半. (2)如何确定sin ,cos 公式中的正负负号? 提示:依据 所在象限相应的三角函数值的符号确定,如果 所在象 限无法确定,则应保留sin ,cos 公式中的正负号. 2.sin75=_. 【解析】sin75= 答案: 3.计计算tan22.5=_. 【解析】tan22.5= 答案: -1 4.若 =_. 【解析】因为 所以 答案: 5
2、.化简简: =_. 【解析】原式= 答案: 【知识识探究】 知识识点 半角公式 观观察如图图所示内容,回答下列问题问题 : 问题问题 1:半角的正弦、余弦、正切公式是什么? 问题问题 2:半角公式的适用条件是什么? 【总结总结 提升】 1.半角公式与二倍角公式的关系 半角公式与二倍角公式功能各异,本质质相同,对对立统统一. 2.公式适用的条件 (1)半角的正弦和余弦公式对对任意的角都成立. (2) 中要求角2k+,kZ, 而 中则则要求角k,kZ. 3.半角公式的应应用 (1)半角公式给给出了求的正弦、余弦、正切的一种方式,即只需知道 cos的值值及相应应的条件,便可求出 (2)由于 不含被开
3、方数,且不涉及符号 问题问题 ,所以求解关于tan 的题题目时时,使用相对对方便,但需要注意该该公 式成立的条件. (3)涉及函数的升降幂幂及角的二倍关系的题题目,常用 求解. 【题题型探究】 类类型一 求值问题值问题 【典例】1.已知 则则sin=_. 2.已知 求 的值值. 【解题题探究】1.典例1中是第几象限的角?2是第几象限的角? 提示:是第三象限的角,2是第二象限的角. 2.典例2中如何由sin求出cos? 提示: 【解析】1.因为 所以|cos2|=-cos2= ,即cos2=- , 所以sin= 答案:- 2.因为 因为 所以 【方法技巧】利用半角公式求值值的思路 (1)看角.若
4、已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则则 常常借助半角公式求解. (2)明范围围.由于半角公式求值值常涉及符号问题问题 ,因此求解时务时务 必依据 角的范围围,求出相应应半角的范围围. (3)选选公式.涉及半角公式的正切值时值时 ,常用 其优优点是计计算时时可避免因开方带带来的求角的范围问题围问题 ;涉及半角公式 的正、余弦值时值时 ,常先利用 计计算. (4)下结论结论 .结结合(2)求值值. 【变变式训练训练 】(2015新余高一检测检测 )设设(,2),则则 等于 ( ) 【解析】选D.因为(,2),则 所以 类类型二 三角函数式的化简简与证证明 【典例】1.若 2,则则化简
5、简 的结结果为为 _. 2.求证证: 【解题题探究】1.典例1中如何去掉根号? 提示:将根号里面的式子转变成完全平方的形式. 2.证证明典例2的关键键是什么? 提示:借助公式把“1”消去. 【解析】1.原式= 因为 2,所以 从而 故原式= 答案:-2sin 【延伸探究】 1.(改变问变问 法)典例1中若题设题设 条件不变变,将函数式改为为 结结果怎样样? 【解析】因为 所以原式= 答案:-cos 2.(变换变换 条件)典例1中若将条件“ 2”改为为“ ” 结结果如何? 【解析】原式= 因为 故 又 故原式= 答案:2cos 【方法技巧】利用半角(倍角)公式化简简三角函数的要求及方法 (1)对
6、对于三角函数式的化简简有下面的要求: 能求出值值的应应求出值值.使三角函数种数尽量少.使三角函数式 中的项项数尽量少.尽量使分母不含有三角函数.尽量使被开方数不 含三角函数. (2)化简简的方法: 弦切互化,异名化同名,异角化同角.降幂幂或升幂幂. 【补偿训练补偿训练 】1.已知0时,ymax=-2a +2a+b=1. ymin=-2a1+2a+b=-5. 由得 所以a=6,b=-5. 当a=0时,y=b与函数值域-5,1矛盾,所以a0. 当a0时,ymax=-2a1+2a+b=1. ymin=-2a +2a+b=-5. 由得 所以a=-6,b=1. 综上所述a=6,b=-5,或a=-6,b=
7、1. 【补偿训练补偿训练 】已知函数 (1)求函数f(x)的最小正周期. (2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值值,并求使h(x)取得最大值值的x的集 合. 【解析】(1)f(x)= 所以f(x)的最小正周期为. (2)h(x)=f(x)-g(x)= 所以h(x)的最大值为 ,此时2x+ =2k,kZ. 所以x=k- ,kZ.所以h(x)的最大值为 ,此时x的集合为 规规范解答 三角函数与三角变换变换 的综综合问题问题 【典例】(12分)已知向量a=(cosx-sinx,sinx),b=(-cosx- sinx,2 cosx),设设函数f(x)=ab+(R)的图图像关于直线线 x=对对称,其中,为为常数,且 (1)求函数f(x)的最小正周期. (2)若y=f(x)的图图像经过经过 点 求函数f(x)在区间间 上的取值值 范围围. 【审题审题 指导导】要求周期,必须须由数量积积求函数解析式,化简简后进进一步 求解. 【规范解答】(1) 【题题后悟道】 1.熟练练地掌握二倍角公式 cos2x=cos2x-sin2x;sin2x=2sinxcosx,这这两个公式不仅仅会正用,也要 会熟练练地逆用.例如,本例就是要逆用两个公式得到sin2x,cos2x.
