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1、非线性环节的正弦响应 y(t) t y(t) t y(t) t t y(t) 7.4 非线性系统的描述函数分析法 一、描述函数法的基本概念 假设非线性系统的输入函数为 输出n(t)将是非正弦的周期信号。可以展成傅利叶级数， n(t)是由恒定分量、基波分量和高次谐波组成。 假设1：如果非线性部分的特性曲线具有中心对称性质，那么 输出信号n(t)的波形具有奇次对称性（波形的后半个周期重复 前半个周期的变化，但符号相反）输出不含直流分量，输出响 应的平均值为零。 假设2：线性部分具有良好的低通滤波性，那么高次谐波的幅值 远小于基波。闭环通道内近似地只有一次谐波信号流通。对于 一般的非线性系统而言这个
2、条件是满足的，线性部分的低通滤 波性越好，用描述函数法分析的精度越高。 上述两个假设满足时，非线性环节的输入是一个正弦信号，系 统的输出是相同频率的正弦信号，对于非线性环节的输出只研 究其基波成分就足够了。 假设系统中非线性环节的输入函数为 输出信号可以展成傅利叶级数 若非线性部分是齐次对称的，则A0=0，线性部分又具有低 通滤波特性，可以认为非线性环节的输出中只有基波分量能 够通过闭环回路反馈到输入端。 输出部分的基波分量为 可以用一个复数来描述非线性环节输入正弦信号和输出信号 基波的关系。 在非线性环节不含有储能元件的前提下，这个复数是输入正 弦信号幅值的函数，而与频率无关，称为非线性环节
3、的描述函 数。用符号N(X)表示： Y1非线性环节输出基波分量的振幅；1表示其相位差；X表 示输入正弦信号的幅值。 这样一种仅取输出的基波（把非线性环节等效为一个线性环 节）而忽略高次谐波的方法称为谐波线性化法。非线性环节等 效为一个具有复放大系数的放大器，所以描述函数又称复放大 系数。 非线性函数中含有储能元件时，描述函数同时为输入信号 幅值A和频率的函数，表示为N(X, )。 如果非线性特性是单值奇函数的，则A0=0，A1=0。 N(X)是一个实函数。 二、典型环节的描述函数 理想继电器特性的描述函数 傅氏展开 斜对称、奇函数A0=An=0 (偶次对称性) 饱和特性 死区特性 死区饱和特性
4、 非线性增益I 非线性增益II 理想继电器特性 死区继电器特性 滞环继电器特性 间隙、滞环特性 7.5 典型非线性系统的稳定性 (尼奎斯特判据) 若开环稳定，则闭环 稳定的充要条件是 G(j) 轨迹不包围G平 面的(-1,j0)。 负倒描述函数（描述函数负倒特性) 线性系统 (-1,j0) ? G(j) 与负倒描述函 数相交 闭环系统出现自持 振荡(极限环振荡) ？稳定 ？不稳定 振幅（X）？ 频率()？ 设：系统开环的线性部分G(j)稳定 G(j)不包围负 倒描述函数 闭环系统稳定 G(j)包围负 倒描述函数 闭环系统不 稳定 当微小扰动使振幅X增大到c点时 ，c点“(-1,j0)” 被G(
5、j )轨迹包围 ， 系统不稳定； 振幅X继续增大； 不返回到a。 当微小扰动使振幅X减小到d点， d点“(-1,j0)”未被G(j )轨迹包围 ， 系统稳定； 振幅X继续减小； 不返回到a。 a点为不稳定自振交点。 分析法 当微小扰动使振幅X增大到e 点时， e点“(-1,j0)”未被G(j )轨迹包围， 系统稳定； 振幅X减小； 返回到b。 当微小扰动使振幅X减小到f点 ，f点“(-1,j0)”被G(j )轨迹 包围， 系统不稳定； 振幅X增大； 返回到b。 b点为稳定自振交点。 振幅X增大侧取点作为“(-1,j0)”，连接 “(-1,0j)”与原点， “负实轴” a点为不稳定自振交点 b点
6、为稳定自振交点 负实轴法 c点:不稳定自振交点 a点:不稳定自振交点b点:稳定自振交点 具有饱和特性的非线性系统 Xa时 X 时 负倒描述函数轨迹=实轴上（-1/k, -)。 G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨迹相 交不存在自持振荡 G2(j)轨迹与负倒描述函数轨迹相交 b点:稳定自振交点(b， Ab) 具有死区特性的非线性系统 Xa时 X 时 负倒描述函数轨迹=实轴上（-,-1/k)。 G1(j)轨迹不与负倒描述函数轨 迹相交不存在自持振荡 G2(j)轨迹与负倒描述函数轨 迹相交 b点:不稳定自振交点 具有间隙特性的非线性系统 负倒描述函数为 G平面上一条曲线。 X 时 G1(j)轨迹不与负倒
7、描述函 数轨迹相交不存在自持 振荡 G2(j)轨迹与负倒描述函 数轨迹相交 b点:稳定自振交点 b Ab 具有理想继电器特性的非线性系统 负倒描述函数轨迹为整个负实轴 2）如有数个交点 必有稳定的自振交点 1）如只有一个交点 必为稳定的自振交点 具有滞环继电器特性的非线性系统 负倒描述函数为第三象限内平行于横轴的一组直线。 3）单边滞环宽度 h增加 负倒描述函数轨迹向下移动 自持振荡频率将低，振幅增 大 2）如有数个交点 必有稳定的自振交点 1）如只有一个交点 必为稳定的自振交点 h2h1 试求： 当K10时，该系统是否存在自持振荡，如果存在则求出 自持振荡的振幅和频率； 当K为何值时，系统处
8、于稳定边界状态。 非线性饱和特性参数 a=1 、k=2 相交于稳定自振交点m Xa时 X 时 负倒描述函数轨迹为实轴上（-0.5，-)。 a/X=0.24 X=4.38 X=4.38 非线性饱和特性参数 a=1 、k=2 稳定自振交点m: 临界状态下，轨迹在负实轴上的交点n K=3 非线性系统的校正 ！改变G(j ) ！改变N(A) 试分析系统稳定性； 如果系统出现自持振荡，如何消除之？ K20，死区继电器特性M3，al。 Aa=1 A G(j)轨迹与负实轴交点频率值 G(j)轨迹与负倒描述函数有两个交点： a不稳定自振交点 b稳定自振交点 a不稳定自振交点 b稳定自振交点 A11.11 A22.3 如要求稳定 1）改变G(j )调整K 2）改变N(A):调整死区继电器特性的死区a或输出幅值M 取a=1、M=2 非线性系统的简化 1.非线性特性的并联 2.非线性特性的串联 3. 线性部分的等效变换
