《高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算3 新人教a版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算3 新人教a版必修4（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 1.平面向量的正交分解的定义 把一个向量分解为两个_的向量. 2.平面向量的坐标表示 (1)建系选基底：在平面直角坐标系中，分别取与_轴、_轴 方向相同的两个_i，j作为基底. 互相垂直 xy 单位向量 (2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_.则有序数对_ 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0). xi+yj(x，y) 3.平面向量的坐标运算 (1)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，R，则： a+b= _
2、 a-b= _； a= _. (2)重要结论：已知向量 的起点A(x1，y1)，终点B(x2， y2)，则 = _. (x1+x2，y1+y2)； (x1-x2，y1-y2) (x1，y1) (x2-x1，y2-y1) 1.判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同. ( ) (2)向量的坐标就是向量终点的坐标. ( ) (3)在平面直角坐标系中，两相等向量的终点坐标一样. ( ) 【解析】(1)错误.由于向量可以平移，无论向量在何位置，它的坐标不变.终点 不同的两个向量的坐标可以相同. (2)错误.向量的坐标是把向量的起点平移到原点时终点的坐标
3、. (3)错误.两相等向量的坐标相等，与它们的终点无关. 答案：(1) (2) (3) 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a=2i-3j，则向 量用坐标表示a= . (2)若向量a=(3，5)，b=(-3，2)，则a+b= . (3)若点A(3，1)，点B(4，6)，用坐标表示向量 = . 【解析】(1)由于i，j是两个互相垂直的单位向量，则a=(2，-3). 答案：(2，-3) (2)a+b=(3，5)+(-3，2)=(0，7). 答案：(0，7) (3) =(4，6)-(3，1)=(1，5). 答案：(1，5) 【要点探
4、究】 知识点1 平面向量的正交分解及坐标表示 1.对向量正交分解的认识 (1)向量的正交分解是平面向量基本定理的一种特例. (2)正交分解的两个基向量互相垂直，构成正交基底. 2.解读平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关. (2)向量确定后，向量的坐标就被确定了. (3)引入向量的坐标表示以后，向量就有两种表示方法：一种是几何法，即用向 量的长度和方向表示；另一种是坐标法，即用一对有序实数表示.有了向量的坐 标表示，就可以将几何问题转化为代数问题来解决. 3.点的坐标与向量的坐标的区别和联系 (1)区别： 意义 点的坐标反映点的位置，它由点的
5、位置决定；向量的坐标反映的是向量的大小 和方向，与位置无关； 表示形式 如点A(x，y)，向量a (x，y)当平面向量 平行移 动到 时，向量不变，即 (x，y),但 的 起点O1和终点A1的坐标都发生了变化. (2)联系： 向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系， 只与其相对位置有关系. 把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点，这时向量a的坐标就由表示向 量a的有向线段的终点唯一确定，即终点的坐标就是向量a的坐标. 4.相等向量坐标之间的关系 由向量的坐标定义知，两向量相等等价于它们的坐标相等，若a=(x1，y1)，b=(x2 ，y2)，则a=bx1=x2且y1=
6、y2. 【微思考】 (1)相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一 定相同吗？ 提示：由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是 相等向量的起点、终点的坐标可以不同. (2)以原点O为起点作向量 =a，点A的位置由谁确定？ 提示：由a唯一确定. 【即时练】 1.已知向量a=(-2，3)，b=(2，-3)，则下列结论正确的是( ) A.向量a的终点坐标为(-2，3) B.向量a的起点坐标为(-2，3) C.向量a与b互为相反向量 D.向量a与b关于原点对称 2.下列说法不正确的是 ( ) A.若将 =(x0，y0)平移，使起点M与坐标原点O重合，则点N的坐标为 (x0，y0) B
7、. =(x0，y0)的相反向量的坐标为(-x0，-y0) C.若直线MN与y轴垂直且 =(x0，y0)，则必有y0=0 D.若 =(x0，y0)是一个单位向量，则x0小于1 【解析】1.选C.因为a=(-2，3)，b=(2，-3).所以a+b=(-2，3) +(2，-3)=(0，0)=0，即a=-b. 2.选D.A正确，将 =(x0，y0)平移，其坐标不变，又因为起 点在原点的向量的坐标就是其终点坐标，所以使起点M与坐标 原点O重合，则点N的坐标为(x0，y0).B正确， 的相反向量 为- ，其坐标为(-x0，-y0).C正确，因为直线MN与y轴垂 直，将 =(x0，y0)平移，使起点M与坐标
8、原点O重合，则点N 落在x轴上，其坐标为(x0，0)，所以y0=0.D错误，若 =(x0， y0)是一个单位向量，则-1x01. 知识点2 平面向量的坐标运算 1.两个向量和(差)的坐标 由于向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)等价于a=x1i+y1j，b=x2i+y2j，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j，即a+b=(x1+x2，y1+y2)，同理可得a-b=(x1-x2 ，y1-y2).这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差 ). 2.实数与向量积的坐标 由a=(x，y)，可得a=xi+yj，则a=(xi
9、+yj)=xi+yj.从而a=(x，y).这就是说实数与 向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 【知识拓展】向量的三种运算体系 (1)图形表示下的几何运算. 此运算体系下要注意三角形法则、平行四边形法则的应用. (2)字母表示下的几何运算. 此运算体系下一方面要注意运算律的应用,另一方面要注意 等运算法则的应用. (3)坐标表示下的代数运算. 此运算体系下要牢记公式,且细心运算.若已知有向线段两个端 点的坐标,则应先求出向量的坐标,再进行坐标运算. 【微思考】 (1)求向量 的坐标需要知道哪些量？ 提示：求向量 的坐标，需要知道点A和点B的坐标. (2)向量可以平移,平移前后它的
10、坐标会发生变化吗？ 提示：向量确定以后,它的坐标就被唯一确定,所以向量在平移前后,其坐标不变 . 【即时练】 1.已知点A(1，-2)，点B(4,0)，则向量 =_. 2.已知a=(2,1)，b=(1,4)，则2a-3b=_. 【解析】1.由于点A(1，-2)，点B(4,0)，所以向量 =(4,0)-(1,-2)=(3,2). 答案：(3,2) 2.2a-3b=2(2,1)-3(1,4)=(4,2)-(-3,12)=(7，-10). 答案：(7，-10) 【题型示范】 类型一 平面向量的坐标表示及运算 【典例1】 (1)已知 =(2,4)， =(2,6)，则 =( ) A.(0,5) B.(0
11、,1) C.(2,5) D.(2,1) (2)(2014怀化高一检测)已知O是坐标原点，点A在第一象 限， xOA=60，求向量 的坐标. 【解题探究】1.题(1)中向量 与向量 ， 两向量有什 么关系？ 2.题(2)中 的坐标与A点的坐标有什么关系? 【探究提示】1. 2.因为向量 的起点在原点,所以其坐标与点A的坐标相同. 【自主解答】(1)选D.因为 =(2(2),64)= (4,2)，所以 =(2,1). (2)设点A(x,y)，则x y 即 所以 【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点
12、的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐 标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. 【变式训练】(2014北京高考)已知向量a=(2,4)，b=(-1,1)， 则2a-b=( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9) 【解析】选A.2a-b=2(2,4)-(-1,1)=(5,7). 【补偿训练】1.(2014萍乡高一检测)已知A(x,2),B(5,y 2)，若 =(4,6)，则x,y的值为( ) A.x=9,y=-2 B.x=1,y=10 C.x=1,y=10 D.x=-1,y=10 【解析】选B. =(5x,y22)=(4,6)，所以x=1
13、,y=10. 【误区警示】由于没有把握好向量 的坐标与点A和点B的坐 标的关系，本题易发生 =(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9, y=-2的错误. 2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(2,1)求 的坐标 【解析】因为 =(2,1)(3,7)=(5,6)， 所以 类型二 坐标形式下相等向量的运算 【典例2】 (1)(2014烟台高一检测)若向量a(x+3,x23x4)与 相等，已知A(1,2),B(3,2)，则x的值为( ) A.-1 B.-1或4 C.4 D.1或-4 (2)已知M(2,1),N(0,5)，且点P在MN的延长线上,
14、|MP|=2|PN|, 则P点坐标为( ) (3)(2014合肥高一检测)已知平面上三点的坐标分别为 A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点D的坐标，使这四点构成平 行四边形的四个顶点. 【解题探究】1.题(1)中由a与 相等，这两向量的坐标有什 么关系? 2.题(2)中由点P在MN的延长线上, |MP|=2|PN|，会得到怎样的 相等向量？ 3.题(3)中的四点有可能会构成哪几种平行四边形，需要分情 况讨论吗？ 【探究提示】1.相等向量的坐标对应相等. 2.因为点P在MN的延长线上, |MP|=2|PN|，所以 3.需分不同的情况讨论，有可能构成的平行四边形为ABCD；平行四边形AC
15、DB； 平行四边形ACBD. 【自主解答】(1)选A.因为 =(3,2)(1,2)=(2,0)， =a，所以 解得x=1. (2)选A.因为点P在MN的延长线上, |MP|=2|PN|，所以 又 =(0,5)(2,1)=(2,6)，所以 =(4,12)，故点 P的坐标为(2,11). (3)当平行四边形为ABCD时，设D(x,y)，由 =(1,2), =(3x,4y)且 得D(2,2).当平行四边形为ACDB时， 设D(x,y)，由 =(1,2), =(x3,y4)且 得 D(4,6).当平行四边形为ACBD时，设D(x,y)，由 =(5,3), =(1x,3y)及 得x=6,y=0，故D(6,0). 故D点坐标为(2，2)或(4，6)或(-6，0). 【延伸探究】若题(1)中将A，B两点的坐标改为“A(x,2)， B(11,2)”，又如何求解呢？ 【解析】选C.因为 =(11,2)-(x,2
