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1、高等数学A(二)期末复习指导一、 空间解析1.简单的数量积、向量积；求夹角和方向余弦，为的夹角数量积：， （1）长度；（2）夹角为，则向量积： 确定位置关系（1）；（2）（3）是一个与都垂直的向量. 2. 会求坐标平面中曲线绕坐标轴旋转的旋转曲面的方程；给出旋曲面方程能确定是如何旋转而来的。会求空间曲线在坐标平面内的投影曲线。（1）面内的曲线绕轴旋转所得曲面的方程为.其它坐标平面内的曲线绕坐标轴旋转类似.（2）中，消去变量后得曲线关于面的投影柱面，投影柱面与面的交线即为在面上的投影曲线（投影）其它类同.3.会求平面方程与直线方程.（1）平面方程（注意：平面法向量与平面垂直）点法式方程：过点与定
2、方向（法线方向）垂直的平面方程为：，平面一般式方程：，其中为平面的法线向量（2）直线方程（注意：直线的方向向量与直线平行）对称式（点向式）方程：过点与定方向（直线方向）平行的直线方程：直线参数方程： （多用于表示线段或求直线与曲面交点）分清楚平面与直线，一个关于 的方程表示平面；直线是两个平面交出来的。4. 能判断简单的位置关系（如直线垂直、平行）（1）平面的法线向量分别为，；且没有公共点.（2）直线的方向向量分别为，；则且没有公共点.（3）直线的方向向量，平面的法线向量 ；且没有公共点.5.点到平面、直线的距离： 平面外一点到平面的距离二、 多元函数微分1.会求简单的二元函数极限：利用有理化
3、或者等价无穷小代换消去分母上极限为零的因子再求极限。（1）利用公式 有理化（2）利用等价无穷小：当时，。2.会求偏导数、全微分，明白偏导数存在、可微、连续间的关系（1）求偏导数时关键是分清对哪个变量求偏导数，将其余变量均看作常量，与一元函数求导相同即可。一元函数导数求导法则，对于多元函数求偏导数仍然成立. （2）可微，则.（3）在处有连续偏导数 在可微；在可微 在处有偏导数存在；在可微 在处连续.3.会求复合函数的偏导数（包括抽象函数的一阶和二阶偏导数）（1），都可导，具有连续偏导数，则：（2），偏导数均存在，具有连续偏导数，则：=+，=+ （3）具有连续偏导数偏导数存在，则：；注意：与是不同
4、的，是对函数中所涉及到的所有变量求导，即看成的函数进行求导；是把中的及都看作与无关的变量进行对求导与也有类似的区别.注意：（1）如果是具体函数，也可以将函数代入减少复合再做，如，可代入后变成再求导.（2）如果是抽象函数，如是具有二阶连续偏导数的抽象函数，其中，具体给出，即求一阶和二阶偏导数，则， 同理可求。4会求一个方程确定的隐函数的偏导数（1）由一个方程确定的隐函数则： （这里）（2）由一个方程确定的隐函数，则=,=，（这里）. 这里求时，将视为相互独立，没有关系。也可以方程两端对同一变量求导，碰到隐含数视为复合关系解出要求的导数或偏导数。例如 由一个方程确定的隐函数，求 方程两端对 求导有
5、：，解得=.5 会求由参数方程确定的空间曲线的切线和法平面；会求曲面的切平面与法线。（1）,其中都可导， 且.则曲线上对应于的一点处的切向量 为.切线方程为 法平面的方程为：.（2）曲面在点处的一个法向量为.切平面的方程为： 通过点而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线。法线方程是 6.会求简单函数的方向导数、梯度，并知道梯度方向是方向导数增加最快的方向，梯度反向方向是方向导数减少最快的方向，能确定函数在一点变换最快的方向和该方向的方向导数.（1）如果函数在点处可微，那末函数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有 ，其中是射线的方向余弦。（2）向量称为函数=在点的梯度，记作. （3）函数在一
6、点的方向导数沿梯度方向达到最大，即梯度方向是函数增加最快的方向.此时方向导数为梯度的模长 。（4）函数在一点的方向导数沿梯度反方向达到最小，即梯度反方向是函数减少最快的方向. 此时方向导数为梯度的模长的相反数 。7会求多元函数的极值（无条件极值为主）函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，（1） 由 求得驻点，（2） 令，则（i）当时有极值，（为记忆方便，也可记）且当时有极大值，当时有极小值；（ii）当时没有极值；(iii)当时可能有极值，也可能没有极值.注意：要对每个驻点进行讨论。三 、重积分1了解二重积分的几何意义及性质，能够比较二重积分的大小若在上, ，则有不等式2会求二重积分（
7、利用直角坐标或极坐标计算二重积分，）（1）直角坐标系（i）当时，其中：为区域上的最小取值，为区域上的最大取值，是区域的下边界曲线，是区域的上边界曲线。（ii）当时其中：为区域上的最小取值，为区域上的最大取值，是区域的左边界曲线，是区域的右边界曲线。（2）极坐标系当时，其中：为区域上的最小取值，为区域上的最大取值，是区域的内边界曲线，是区域的外边界曲线。特别地：一般地，如果原点包含在积分区域内，内边界就是 3会交换积分次序（二重积分直角坐标）.l 根据给出的积分限画出积分区域,l 用交换次序的不等式重新表示（同上方法），l 写出交换积分次序的积分。4会求三重积分（在是一个单连通区域下进行）（利用
8、直角坐标、柱坐标、球坐标计算三重积分，）（1）利用直角坐标计算三重积分()先一后二“穿线法”.可表示为：，其中是区域的底面（下边界曲面），是区域的顶面（上边界曲面），是在面上的投影区域.则或，则或()先二后一“切片法”.可表示为：而任意的平面（常数）（）截的截口上的则.适合用切片法积分：截面较规则的情况，如截面为圆、椭圆等，或者截面的面积易求，且被积函数只与有关.2.利用柱面坐标计算三重积分：柱面坐标：极坐标（在面上的投影区域用极坐标表示）加轴表示法.利用柱面坐标计算三重积分：，.对应上面直角坐标系，柱面坐标也有如下两种情况：()先一后二“穿线法”.，设，是的极坐标表示，则 ()先二后一“切片
9、法”：当时，与上面相同，其极坐标表示为：时，(3)利用球面坐标计算三重积分：，5会简单的几何应用（如曲顶柱体的体积、平面区域的面积）（1）利用二重积分的几何意义计算体积：以()为顶，为底的母线平行于轴的曲顶柱体的体积.（2）利用三重积分计算体积：空间区域的体积为.（3）利用二重积分计算面积：平面区域的面积为.（4）利用二重积分计算曲面面积：曲面 在 平面上投影区域则.四、曲线积分1.会求对弧长的曲线积分（1）方程 （），=。（2）空间曲线：， =注意：1.对弧长的积分与的方向无关. 2.曲线的参数方程要表达简单。2.会求对坐标的曲线积分的参数方程，当单调地从变到时，点从的起点沿变到终点，且，则
10、=（2）空间曲线：，当单调地从变到时，点从的起点沿变到终点，且，注意：对应起点对应参数，对应终点对应参数，不一定小于.3.能灵活应用格林公式（添加边界、去奇点、积分与路径无关、全微分方程）格林公式：设闭区域由分段光滑的闭曲线围成，函数和在上具有一阶连续偏导数，则有。为的取正向的边界曲线。（1）利用格林公式求曲线积分：(I)先写出；求出及（II）观察曲线，若满足格林公式条件，即是封闭曲线，且是围成的正向的边界曲线，内连续，则直接使用格林公式.若不满足格林公式条件：（i）若曲线不封闭，则用“加边法”构成封闭曲线，一般添加平行于坐标轴的直（折）线，利用格林公式计算后再减掉添加边界上的积分；（ii）如
11、果是反向边界，则；（iii）若在内存在，无定义点，或存在偏导数不连续（或不存在）的点 ，但其余点，则需要“挖洞”（即在内做一个包围的小闭曲线，方向取与一致的方向 ）去掉该点然后在与围成的区域上用格林公式.（2）积分与路径无关（即满足），计算曲线积分： ：选取平行于坐标轴的从点到点的折线段进行积分.积分时画出积分路径有助于积分（积分结果与路径无关，但积分过程与路径有关）（3）是某个函数的全微分（即满足）时，求一个函数 使：取即可（4）求全微分方程（即满足）的通解： 取，则的通解为五、无穷级数1.会判断数项级数的敛散性（正项级数、交错级数、条件收敛与绝对收敛）（1）比较审敛法：设为正项级数若收敛，
12、且对大于某个正整数的一切，都有，则级数也收敛；若发散，且对大于某个正整数的一切，都有，则级数也发散。常用比较法的极限形式： 设和都是正项级数，如果，则级数和同时收敛或同时发散，注：比较审敛法是两个正项级数之间的比较，通常与下面两种类型的级数进行比较：（i）几何级数：当时收敛，当时发散.（ii）-级数当时，级数发散；当时，级数收敛.（2）比值审敛法（根值审敛法）： 为正项级数，（或），则：当时，级数收敛；或时级数发散；时级数可能收敛也可能发散.比值审敛法是几何级数的敛散性的推广.通常在通项中含有时使用比值审敛法.（3）交错级数：若（），（或）称为交错级数。莱布尼兹判别法：若，则级数，收敛.绝对收
13、敛与条件收敛：若收敛，则称是绝对收敛的；如果收敛而发散，则称是条件收敛的。绝对收敛级数必收敛，即若收敛，则也收敛.注意：不绝对收敛可能收敛，即条件收敛。也就是发散得不到也发散。但是，如果用比值（或根值）审敛法判断发散，则或者，可得，所以也发散.2.会求幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域阿贝尔定理：若有使收敛，则当时，幂级数绝对收敛；若有使发散，则当时，幂级数发散。由比值审敛法：当时级数收敛，当级数发散。所以幂级数收敛半径的求法：如果，（或），则（i）当时，；（ii）当时，；（iii）当时，.注意：（i）幂级数的条件收敛点一定是收敛区间的端点。（ii）当幂级数是缺项级数，如或者等，不可以直接套公
14、式求收敛半径.应该回到比值审敛法去求收敛范围。对或者，如果，则或者，当，即级数收敛，当，即级数发散。所以时，或者收半径为.（iii）讨论收敛区间端点的敛散性时，不能使用比值审敛法。因为此时.此时，将端点代入级数，利用比较审敛法或者交错级数的莱布尼兹审敛法进行判定。收敛区间 添加上收敛的端点就是收敛域。3会利用逐项积分或逐项求导求幂级数的和函数（1）和函数的分析性质（i）和函数的连续性：幂级数的和函数在其收敛域上连续.（ii）可逐项积分性：幂级数的和函数在其收敛域上可积，且可以逐项积分，逐项积分得到的级数的收敛半径不变.（iii）可逐项求导性：幂级数的和函数在其收区间上可导，且可以逐项求导。，逐项求导得到的级数的收敛半径不变.注意：逐项积分与逐项求导后的级数虽然收敛半径不变，但是收敛域可能会改变.（2）求幂级数的和函数（利用，更一般）4.会利用已知的函数展式间接将函数展开成幂级数
