现代信号处理6_滤波器组基础3_2015解析

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1、现代信号处理 (Modern Signal Processing) 张新峰 2015 综合楼802室 67391587-802 课件：mdspbjut2013 key:2013_bjut_mdsp 主要内容 两通道滤波器组各信号之间的关系 标准正交镜像滤波器组 共轭正交镜像滤波器组 共轭正交镜像虑波器的设计 仿酉滤波器组 两通道仿酉滤波器组的Lattice结构(自学） 线性相位准确重建两通道滤波器组 H0(z):低通滤波器；G0(z):低通滤波器； H1(z):高通滤波器；G1(z):高通滤波器； 注意到：在两通道滤波器组中，每一条支路中的滤波器的基本 性能应大体一致，即上支路的滤波器H0(z

2、)若是低通的， G0(z) 也应是低通的；因为H0(z)是低通，所以H1(z)是高通， G1(z)也 应是高通 两通道滤波器组 产生混叠失真的来源 强制F(z)=0,去除了混叠失真，但还会存在幅度和相位失真 如果T(z)是全通滤波器，则去除了整个滤波器组的幅度失真 ； 如果T(z)具有线性相位，则去除了整个滤波器组的相位失 真。 理想重构条件 问题是如何选择 来保证理想重建条件成立，四个滤波器应满足什么关系 理想重构条件 理想重构条件 G0(z), G1(z)选取的一般原则比前述最直接的形式多了分式项 1.若H0(z)和H1(z) 是FIR的，则T(z)也是FIR的，这样， G0(z)和G1(

3、z) 都将变成IIR的，这是不希望的 2.保证G0(z)和G1(z)为FIR的唯一途径是令T(z)为纯延 迟。 G0(z)和G1(z)选取的一般原则 G0(z)和G1(z)选取的原则是为了去除混叠失真； G0(z)和G1(z)选取可以和H0(z)和H1(z)无关； H0(z)和H1(z)选取的原则是为了保证准确重建。 G0(z)和G1(z)选取的一般原则 标准正交镜像滤波器组 理想重构条件 令 最简单的方法，给定低通原型滤波器H(z) 令 实际中希望四个滤波器 都是FIR的； 都具有线性相位； 都具有较好的幅频特性。 注意：PR是整个滤波器组的要求，四个滤波器 满足上述要求，并不能保证PR。

4、利用多相结构探讨正交镜像滤波器组 按照给定原则选取的H1(z) 、G0(z)和G1(z)，可以实现PR，但 这样的滤波器意义不大，其既无好的通带，也无好的阻带。 完全重构 四个滤波器都具有线性相位，但这样的滤波器实用价值并不太大 关于滤波器组的三点说明 1. PR不是唯一目的，要求每一个滤波器都有好的性能，这 是滤波器组中间对信号处理的需要； 2. 实现PR，包含去混迭、去幅度失真和相位失真。去除了 幅度失真，不意味着滤波器有好的幅频响应；去除了相位 失真，不意味着滤波器有线性相位； 3. 正交镜像滤波器组，可以实现PR，但此时滤波器变成了 纯延迟，无太大意义。即正交镜像滤波器组不可能同时去

5、除幅度失真、相位失真而又具有较大的实际意义。 利用多相结构探讨正交镜像滤波器组 两通道QMFB的多相结构形式 标准正交滤波器组问题的解决方案 1.强调滤波器具有线性相位，去除相位失真，对幅度失真放宽 ，即近似实现PR -FIR QMF-一种实用的方法 2.强调滤波器组具有全通特性，即去除幅度失真，不考虑相位 失真，近似PR -IIR QMF,一个值得重视的方法 3.放弃H1(z) = H0 (z) ，改用其他关系 FIR标准正交镜像滤波器 设计原则：保证线性相位，允许幅度失真，但在一定条件下幅 度失真尽可能小。 FIR标准正交镜像滤波器 N为奇数时 N为偶数时 保留了线性相位，幅度不失真 FI

6、R标准正交镜像滤波器 当N为偶数时，只要做到 前面已证明， 按照 和H1(z)= H0(-z)确定滤波器组的关系 ，二者只能取纯延迟的形式，而且每个滤波器只含两项 ，奇数项和偶数项各取1项的形式。这样的滤波器无太 大实用意义。 解决办法：放弃去除失真，保留线性相位，近似做到PR 。 FIR标准正交镜像滤波器 目标：设计一线性相位滤波器H0(-z) ，使其幅频响应近似满 足如上的功率互补关系，从而近似实现PR 设计方法：首先确定一目标函数，它包含两部分内容，一 是反应在阻带的衰减，二是反映通带相加接近于1的程度。 注意：N只能取偶数！ FIR标准正交镜像滤波器 目标函数： 实现：采用优化算法，求

7、出要 设计的滤波器，Johnston算法 反映阻带内的能量， 越小越好 反映全带内滤波器能 量和1的偏差，越小越 好 文献：J. D.Johnston. A filter family designed for use in quadratute mirror filter bank. Proc. IEEE ICASSP, PP291-294,1980. 例题：令N=16设计一线性相位、具有近似功率互补的滤波 器。 基于Johnston算法，设计结果如下： h(0)= 0.0010501670=h(15) h(1)= 0.0050545260=h (14) h(2) =0.0025897560

8、= (13) h(3) =0.027641400=h (12) h(4)= 0.0096663760 =(11) h(5)= 0.090392230= (10) h(6) 0.097798170=h (9) h(7) =0.48102840= (8) H0，H1的对数幅频响应 H0，H1的对数幅频响应之和 IIR标准正交镜像滤波器组 目标：去除幅度失真，不考虑线性相位 全通 IIR全通滤波器 如何构造？ 感兴趣的同学请自学该部分内容，本课程 更关注的是FIR滤波器。 共轭正交镜像滤波器组 正交镜像滤波器组（QMFB）不可能实现PR； 如果滤波器具有线性相位，则若实现PR，滤波器只能是纯 延迟，

9、实用价值不是太大； 若强调滤波器具有线性相位，在为偶数的情况下，可用最 优化的方法设计出近似PR的滤波器组。 现考虑设计PR滤波器组。当然，各个滤波器不具有线性相 位，但总的相位失真抵消。 Smith and Barnwell: 1984 Mintzer : 1985 几乎同时独立给出了一个 PR滤波器组的设计方法 共轭正交镜像滤波器组 共轭正交镜像滤波器组 给定低通滤波器H0(z)，令 该式的含义： 1.将z变为-z，等效于将H0(ej)将移动，所以得到的H0(-z)是 高通的； 2.将Z变为z-1，等效于将h0(n)翻转变为h0(-n)； 3.乘以z-(N-1)，目的是将H1(-z)变为因

10、果的。 例子 ： 注意：图中的F0，F1分别为前面两通道滤波器组中的G0，G1 共轭正交镜像滤波器组 可以实现PR 此处的滤波器组称为“共轭正交镜像滤波器组”，即 “CQMFB”，通常简称为“正交滤波器组”，或“功率互补滤波 器组” 定理：按CQMFB定义的P(z)是一个半带滤波器 所以P(z)是一个半带滤波器 推论：如果H0(z)是FIR,则P(z)一定是线性相位的。 为了得到一个满足功率互补关系的H0(z) ，就需要首先设计 一个半带滤波器P(z) ，并令 再做谱分解，即可得到功率互补的H0(z) 。 h0(n)和h1(n)各自及其相互之间有如下正交性： (1) =k, k是整数 (2)

11、=k, k是整数 (3) =0, k是整数 共轭正交滤波器的设计 首先设计一个半带滤波器HLF(z) HLF(z), p, s以/2对称，N=4J-1 ，半带：1= 2 |为HLF(ej)在阻带内的最大纹波值 恒正 保证恒正 P(z)零点分解的原则： 单位圆内， H0(z) 是最小相位系统； 单位圆外， H0(z) 是最大相位系统； 混合相位 N=4J-1,P(z)有4J-2个零点 对P(z)做谱分解 由于在QMFB中，分解滤波器若具有线性相位，为实现PR， 该滤波器只能为纯延迟，因此，要放弃线性相位的要求。这 样，应将P(z)单位圆内的零点赋给H0(z) 。 对P(z)做谱分解，得4J-2个

12、零点： 共轭正交滤波器的设计 例：试设计一共轭正交镜像滤波器组，并给出相关过程 步骤1：令N=22, p=0.45 , 用Chebyshev最佳一致 逼近设计单带滤波器； 步骤2：得到幅频响应非负的半带滤波器P(z); 步骤3：谱分解得到CQMFB。 单带及 半带滤 波器 恒正的 半带滤 波器 谱分解 h0(n) h1(n) g0(n) g1(n) 信号分解和重建实例 例：将一个正弦加白噪声的信号利用上例CQMFB实现对信 号 的分解，并利用G0和G1进行信号重建。 仿酉滤波器组 一个多输入、多输出的转移函数H(z)，其每一个元素为Hi,j(z) 表示第i个输入对第j个输出的转移函数。 称H

13、(ej) 为酉矩阵。 H(z)为仿酉矩阵 如果一个系统的转移函数矩阵H(z)是仿酉矩阵，则称该系统 为“仿酉系统”。如果仿酉矩阵的每一个元素都是一个稳定的 、因果的系统，则所表示的系统称“无损系统（lossless system）” 容易证明，共轭正交镜像滤波器组（CQMFB）的调制矩阵 为什么要讨论仿酉矩阵 仿酉矩阵可以分解为一系列简单矩阵的乘积，而每一个简单 矩阵仍然是仿酉矩阵。这就是说，一个仿酉系统可分解为一 系列简单的仿酉子系统的级联，这就为设计仿酉滤波器组提 供了新的方法，同时也引出了滤波器组的Lattice结构。 谱分解技术是设计功率互补滤波器组的一个有效方法，但不 可避免的要做高

14、阶多项式的分解，有时要高达50100阶， 会引入较大的误差。 调制矩阵仿酉性的证明 类似地 可证明 共轭正交镜像滤波器组等效于一个仿酉系统，所以仿酉系 统也具有功率互补性质。仿酉系统可实现PR，但实现PR 的系统不一定是仿酉的，如双正交滤波器组。 仿酉系统的多相结构 若R(z)、E(z)都是仿酉矩阵 或 PR的充要条件 两通道仿酉滤波器组的lattice结构 引入原因：H0(z)是由半带滤波器P(z)作谱分解得到的。若的 长度为2J，则P(z)的长度为4J-1，这就需要求解一个阶次为的 多项式。当J较大，特别是当P(z)有较多的零点位于单位圆上 时，这一分解将会出现较大的误差，从而影响H0(z

15、)和H1(z)的 功率互补性质。（自学） 以下文献给出了利用最优化方法直接求解CQMFB的Lattice系 数来设计的方法，从而避免了谱分解运算。 P.P.Vaidyanathan, P.Q. Hoang. Lattice structures for optimal design and robust implementation of two-channel perfect reconstruction filter banks. IEEE Trans. Acoust., Speech, and Signal Proc., 36(1):81-94, 1988. 两通道滤波器组中的制约关系

16、1.基本关系 2.为消除混叠失真，选择 或 3.标准正交滤波器组（QMFB） H0(z)低通， H1(z)高通 若要求PR且为FIR滤波器 H0(z) ， H1(z)均是只能含有两个系数的纯延迟形式 解决的办法：取近似PR，用优化方法设计近似PR的H0(z) ，用的是Johnson方法。同时，设计出的滤波器具有线性相 位。 4.共轭正交滤波器组（CQMFB） 做到了PR，四个滤波器都是FIR的，但都不 是线性相位的 相位失真是 指总的效果 尽管CQMFB的每一个滤波器都不是线性相位的，但由于其 PR性能，最终还是去掉了相位失真。 x(n) = cx(n n0 ) 实际工作中，特别是语音、通讯、图像处理中，希望滤波 器是线性相位的，从而保证在滤波器组内部各点处的中间 信号也不发生相位失真。因此，希望： 它具有PR性能； 四