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1、数值分析 主讲数值分析课题组 Chenning 1 数值分析课程简介 数值分析主要包括计算方法和数值方法两 部分。它是研究科学与工程技术中数学问题的 数值解及其理论的一个重要的数学分支，它主 要涉及到代数、微积分、微分方程的数值解等 问题。 数值分析及计算的主要任务，就是研究适合 于在计算机上使用的的数值计算方法及与此相 关的理论，如方法的收敛性、稳定性及误差分 析等。此外，还要根据计算机的特点，研究计 算时间最短、需要计算机内存最优等计算方法 问题。 数值分析 2 第一章 数值计算中的误差分析 第二章 线性方程组的直接解法 第六章 曲线拟合 第七章 数值积分与数值微分 第九章 常微分方程的数
2、值解法 目 录 第八章 非线性方程的数值解法 第五章 函数插值 第三章 线性方程组的迭代解法 第四章 矩阵特征值特征向量的计算 数值分析 3 第一章 数值计算中的误差分析 （一） 误差的来源； （二） 绝对误差、相对误差和有效数值; （三） 数值计算中误差的传播； （四） 数值计算中应注意的问题。 数值分析 4 第一节 误差与数值计算 的误差估计 第二节 选用和设计算法 适应遵循的原则 数值分析 5 误差与数值计算误差估计 一 误差的来源与分类 二 误差与有效数字 数值分析 6 一 误差的来源与分类 按照误差的来源,误差可以分为:模型误差、观测误差 、截断误差、舍入误差四种. 1. 模型误差
3、用数值计算方法解决问题时,首先必须建立数学模型.由 于实际问题的复杂性,在对实际问题进行抽象与简化时,往往 为了抓住主要因素而忽略了一些次要因素,这样就会使得建 立起来的数学模型只是复杂客观现象的一种近似描述,它与 实际问题之间总会有一些误差.我们把这种数学模型与实际 问题之间出现的这种误差称为模型误差. 数值分析 7 2 观测误差 在数学模型中往往有一些观测或实验得来的物理 量,由于测量工具和测量手段的限制,它们与实际量大 小之间必然存在误差,这种误差称为观测误差. 3 截断误差 由实际问题建立起来的数学模型,在很多情 况下要得到 准确解是困难内的,通常要用数值方法求出它的近似解.这 种数学
4、模型的精确解与由数值方法求出的近似解之间的 误差称为截断误差,由于截断误差是数值计算方法固有的, 故又称为方法误差. 8 4 舍入误差 用计算机进行数值计算时,由于计算机的数位有 限,计算时只能对超过位数的数字进行四舍五入,由此 产生的误差称为舍入误差. 二 .误差与有效数字 1 绝对误差与绝对误差限 e=x-x*. 称为近似值x*的绝对误差限。 简称误差限或精度. 设x*为准确值x的一个近似值，称 为近似值x*的绝对误差 9 有了误差限和近似值，可得到准确值范围 易知，由四舍五入所得到的数，其误差限 一定不超过被保留数的最后数位上的半个单位 10 例：问3.142,3.141,22/7分别作
5、为 的近似值各具有几位有效数字？ 3.142具有4位有效数字； 3.141具有3位有效数字； 22/7具有3位有效数字。 11 2 绝对误差、相对误差和其误差限 设x*为准确值x的一个近似值，称绝对 误差限与准确值之比为近似值x*的相对误差 。记: 称为x*的相对误差限。 若存在正数 ,使得 12 3 有效数字 有效数字。 自左向右看，第一个非零数 误差不超过该数的半个单位。 13 14 有三位有效数字。 表示近似数0.003400准确到小数点后第五位, 例1-1： 是具有7位有效数字的近似数， 其误差限是 例1-2： 15 绝对误差（限） 相对误差（限） 有效数字 有效数字与绝对误差、相对误
6、差的关系 16 4 有效数字与绝对误差、相对误差的关系： 17 解 EX:P13.5 18 小结 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 绝对误差 绝对误差限 相对误差 相对误差限 有效数字 有效数字与绝对误差、相对误差的关系 19 第二节 选用和设计算法适应 遵循的原则 一、选用数值稳定的计算公式，控制舍入误差的 传播 二、尽量简化计算步骤以减少计算次数 三、尽量避免两个相邻的数相减 四、小结 20 基本运算：指四则运算和常用函数的计算。设数值 近似值分别是 相应的解为 计算中求解与参量有关,记： 1、基本运算的误差估计 设 在点 可微,当数据误差较小 时，解的绝对误差为 21 解的相对误差
7、为 注:函数的和、差、积、商的部分误差公式为： 22 可得： 即：和、差的误差限不超过各数的误差限的和，积、 商的相对误差限不超过各数的相对误差限的和。 则 的相对误差为x相对误差的n倍。特别有 相对误差为x相对误差的0.5倍。 例1、设 ,求y的相对误差与x的相对误差之 间的关系。 解：由公式知， 23 (1) (2) 算法1：x=0.182322 for n=1:20 n x=-5*x+1/n end 算法2：x=0.00873016 for n=20:-1:1 n-1 x=-(1/5)*x+1/(5*n) end x =0.1823 n =1 x = 0.0884 n =2 x =0.0
8、581 n = 3 x = 0.0431 n = 4 x = 0.0346 n = 5 x = 0.0271 n =6 x = 0.0313 n =7 x =-0.0134 n = 8 x =0.1920 n = 9 x = -0.8487 n =1 x = 4.3436 n =11 x =-21.6268 n =12 x =108.2176 n =13 x =-541.0110 n =14 x =2.7051e+003 n =15 x = -1.3526e+004 n =16 x =6.7628e+004 n =17 x = -3.3814e+005 n =18 x =1.6907e+006
9、 n =19 x =-8.4535e+006 n =20 x =4.2267e+007 x = 0.0087 ans = 19 x = 0.0083 ans = 18 x = 0.0089 ans =17 x = 0.0093 ans = 16 x = 0.0099 ans = 15 x = 0.0105 EX 24 一个算法是否稳定是非常重要的，如果算法不 稳定，则数值的结果就会严重背离数学模型的真实 结果。在选择数值计算公式来进行计算时，应用在 数值计算过程中不会导致误差迅速增长的计算公式 。 一、选用数值稳定的计算公式，控制舍 入误差的传播 例 1 计算定积分 (1.2.1) 25 解
10、算法一 利用分部积分法不难求得递推关系式: 26 则由以上的 的不等式可以看出 27 算法二 28 29 30 s0=1-exp(-1); s1=1-s0; for n=2:20 s(n)=1-n*s(n-1); end s(1:20) 0123456 0.63210.36790.2642 0.207 3 0.17090.14550.1268 78910111213 0.11240.10090.0916 0.083 9 0.07740.07180.0669 14151617181920 0.06270.05900.0555 0.057 2 - 0.0295 1.5596-30.1924 s(3
11、0)=1/31; for n=30:-1:2 s(n-1)=(1-s(n)/n; end s(1:20) 20191817161514 0.63210.36790.26420.20730.17090.14550.1268 13121110987 0.11240.10090.09160.08390.07740.07180.0669 6543210 0.06270.05900.05570.05280.05010.04770.0455 31 二、尽量简化计算步骤以减少计算次数 同样一个问题,如果能减少运算次数,不但 可以节省计算机的计算时间,而且还能减少舍 入误差,这是数值计算必须遵守的原则. 例2
12、 解 32 三、尽量避免两个相邻的数相减 在数值计算中，两个相近的数相减会造成有效数 字的严重损失。这种情况，应当多保留两个数的有效 数字，尽量避免减法运算，改变计算方法如可通过因 式分解、分子分母有理化、三角函数恒等式、其他恒 等式、Taylor展式等计算公式，防止减法运算的出现 。 例3 解 33 34 除了以上的三条运则外， 在实际计算中还要注意 以下两原则：绝对值太小的数不宜作除数、合理安排 运算顺序,防止大数“吃掉”小数。 例5 求解二次方程 解：利用因式分解易得 若用求根公式得： 用8位小数的机器处理时，有 易得 显然是错误的；处理方法是改写差式，才得有效结果。 35 六、小结 36
