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1、3 1 结构力学 Structural MechanicsStructural Mechanics 周 强 土木工程学院风工程试验研究中心 E-mail：qzhou85 基本未知量结点B 转角B ，设其为Z1 。在结 点B 附加刚臂得基本结构。 原结构 基本结构 一、位移法的基本方程 1. 无侧移刚架 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 += R11+R1P=R1=0 2) 人为给予结点B以转角B ,由于转角而引起附加 约束的附加反力R11。 在基本结构上分别考虑： 基本体系 += 1) 荷载引起的附加约束中的反力R1P。 由线形系统的叠加原理得到位移法基本体系. 6-4 位移法的典型方程及计
2、算步骤 设r11为单位转角Z1=1时附加约束反力矩，则 R11=r11Z1，将其代入公式（8-3）得 思考：如何使基本体系的受力和变形情况与原 结构完全等价？ 要使基本体系与原结构完全相等，必须要有 R11+R1P=R1=0 即： R11+R1P=0 (8-3） R 的下标: 第一个下标表示产生附加反力矩的位置， 第二个下标表示产生附加反力矩的原因。 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 r11Z1+R1P=0 （8-4） -求解基本未知量Z1的位移法方程。 求系数 r11 作基本结构当位移 Z1=1 时的弯矩图（ 图）。 i=EI/l 称为该杆的线刚度。 取结点B为隔离体，由力矩平衡条件 得
3、6-4 位移法的典型方程及计算步骤 求自由项R1P，作出基本结构在荷载作用时的弯矩 图(MP图)。 利用力矩平衡条件MB=0， 得 注意：系数r11和自由项R1P的正负号规定它们都与 转角 Z1的正向一致时为正，即顺时针为正。 取结点B为隔离体 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 将系数r11和自由项 R1P代入位移法方程式（8-4）有 得 叠加法绘制结构的弯矩图。 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 2. 有侧移刚架 图示刚架，在荷载作用下该刚架将发生虚线所 示的变形。 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 结点1的转角Z1和结点1、2的独立水平线位移Z2 。 (1) 基本未知量： 6-4 位
4、移法的典型方程及计算步骤 基本结构 (2) 基本方程 基本体系转化为原体系的条件为：附加约束上的反力 R1=0、R2=0 。 基本体系 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 在小变形线弹性条件下，根据叠加原理可得 （8-5） 第一式： 反应了结点1的矩平衡条件。 设Z1=1时附加刚臂的约束反力矩r11，附加链杆的 约束力r21；Z2=1时附加刚臂的约束反力矩r12 ，附加 链杆的约束力r22，则 第二式： 反应了原结构横梁12上柱的 剪力平衡条件。 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 将R11、R12、R21、R22 代入位移法方程式（8-5）的 得位移法典型方程(基本方程) （8-6） 位移法
5、典型方程的物理意义：基本结构在荷载和各 结点位移共同作用下，各附加约束中的反力等于零,反 映了原结构的静力平衡条件。 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 rij表示基本结构仅在附加约束j发生单位位移Zj=1 时，在附加约束i上产生的约束力（或约束反力矩）。 二、位移法典型方程 （8-7） 对于具有n个独立结点位移的的结构,有n个基本 未知量,可建立n个平衡方程，位移法典型方程 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 由刚度系数rij 组成的矩阵称为结构刚度矩阵。 rij 反映结构的刚度，称为刚度系数。rij = rji （ 由反力互等定理）。RiP 称为自由项，它表示在基 本结构上仅有荷载作用时，
6、在附加约束i上产生的 约束反力或反力矩。 写成矩阵形式位移法方程也称刚度方程 （8-8） 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 (3) 求典型方程中的系数和自由项。 1）作基本结构单独在Z1=1作用时的弯矩图 取刚结点1为隔离体，由平衡条件得 继续求解 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 截取横梁12为隔离体， 取13杆为隔离体， 由M3=0, 有 得 由平衡条件得 注意：杆端剪力FS13可 根据杆端弯矩求出。 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 2) 作基本结构单独在Z2=1作用时的弯矩图 图 取刚结点1为隔离体，由平衡条件得 在绘出 图、 图后，杆端剪力（包括大小和方向 ）即可确定，不必专门
7、记忆。 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 截取横梁12为隔离体 由平衡条件得 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 3) 作基本结构单独在荷载单独作用时的弯矩图MP 图。 截取横梁12为隔离体,由 平衡条件得 取刚结点1为隔离 体，由平衡条件得 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 进行系数和自由项计算时，应注意以下两点： (1) 杆端剪力可根据杆端弯矩求出。在绘出 图 、 图、 后，杆端剪力（包括大小和方向）即可 确定，不必专门记忆。 (2）由反力互等定理可知，必有r12=r21，计算 时可以互相校核，熟练后只需计算其中之一。 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 将系数和自由项代入典型方程（8
8、-6），则 结果为正值，表明所设Z1、Z2的方向与实际方向一致。 (4) 解方程 联立求解得 ， 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 (5) 弯矩图 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 (6) 根据弯矩图可作出剪力图和轴力图。 (7) 校核。 结点满足力矩平衡条件。 取横梁12为隔离体，它满足剪力平衡条件，可以 判断所得结果正确。 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 三、位移法典型方程计算结构的步骤 (1) 确定基本未知量即原结构的独立结点角位 移和线位移; (2) 建立基本结构在原结构上增设与基本未知 量相应的附加约束，限制结点的角位移和线位移，得 到位移法基本结构; (3) 建立位移法典型
9、方程; (4) 计算典型方程中系数和自由项; 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图 和荷载作用下的基本结构的弯矩图，由平衡条件求出 各系数和自由项。 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 (6) 作内力图；根据 ，按叠加法绘制最后弯矩图，利用平衡条件求出各杆 杆端剪力和轴力，作剪力图和轴力图。 (7) 校核。按平衡条件进行校核。 (5) 解算典型方程；求出作为基本未知量的各结点 位移Z1、Z2 、Zn 。 思考：位移法能用于计算静定结构吗？ 能！凡是具有未知结点位移的结构, 不管是静定 或是超静定, 都可以用位移法求解。位移法比较适宜 于编制通用计算程序 ,进行大规模的工程计算。 6-4
10、位移法的典型方程及计算步骤 例8-1 用位移法计算图示的刚架的内力。EI=常数。 解：(1) 确定基本未知量，结点C的角位移Z1。 (2) 建立基本结构，得到基本体系。 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 (3) 建立位移法典型方程。 （4）计算系数和自由项。 令 ，做出 图 基本结构由于支座A产生位移时，各杆端的弯矩： 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 作出M图（转角位移方程） (5) 解算位移法方程， (6) 作内力图。 按叠加法根据 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 解：(1) 确定基本未知量 ，结点B的角位移Z1。 例8-2 用位移法计算图示的连续梁的内力。EI=常数。 (2) 建
11、立基本结构，得到 基本体系。 (3) 建立位移法典型方程。 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 （4）计算系数和自由项。 令 ，做出 图 由隔离体结点B的力矩平衡条件 MB=0 ，得 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 作出MP图（查表） 由MB=0 取结点B为隔离体， 将系数r11和自由项R1P代入位移法方程，解 得 (5) 解算位移法方程， 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 (6) 作内力图。 注意:杆端弯矩顺时针为 正。但弯矩图仍画在杆 件纤维受拉一侧。 按叠加法根据 计算杆端弯矩. 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 根据M图利用平衡条件求 出各杆杆端剪力, 绘出剪力图。 取AB杆为
12、隔离体 由 得 由 得 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 取BC杆为隔离体， 由 得 由 得 绘出剪力图 (7)按平衡条校核 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 解： (1) 确定基本未知量 结点D、E的角位移Z1和Z2 。 (2) 建立基本结构。 例8-3 试用位移法计算图示刚架，并绘出M图。各 杆的E为常数。 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 (3) 建立位移法典型方程 作出 图，分别取结点1和结点2为隔离体，由力 矩平衡条件得： (4) 计算系数和自由项 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 作出 图 分别取结点D和结点E为隔离体，由力矩平衡条件得： 6-4 位移法的典型方程及计算步骤
13、 作MP图 分别取结点D和结点E为隔离体，由力矩平衡条 件得： 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 (5) 解算位移法方程 (6) 作弯矩图。 根据 按叠加法绘制最后弯矩图。 将系数和自由项代入位移法方程，得 (7) 校核 取结点D和结点E为隔离体。 易见满足结点的力矩平衡条件, 计算无误。 解之得， 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 (2) 建立基本结构。 (3) 建立位移法典型方程。 刚结点B角位Z1，水平线位移Z2 解：(1) 基本未知量 例8-4 试用位移法计算图示刚架，并绘出M图。各杆 的E为常数。 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 (4) 计算系数和自由项。 令 ,作出 图 取
14、横梁ABC为隔离体， 由剪力平衡条件得 由力矩平衡条件有 取结点B为隔离体 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 取结点B为隔离体，有 （反力互等定理） 作 图 取横梁ABC为隔离体， 有 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 作MP图 取结点B为隔离体 取横梁ABC为隔离体，有 (5) 解算位移法方程 解之得 将系数和自由项代入位移法方程，得 有 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 (6) 作弯矩图。 根据 按叠加法绘制最后弯矩图。 (7) 校核。满足结点的力矩平衡条件，由此判 定计算无误。 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 解：(1) 确定基本未知量刚 结点C角位移Z1，结点C和结点 D有相
15、同的水平线位移Z2 。 例8-5 试用位移法计算图示刚架，并绘出M图。各 杆的EI为常数。 (2) 建立基本体系 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 由力矩平衡条件MC =0，得 (3) 建立位移法典型方程。 (4) 计算系数和自由项。 作出 图。令 。 截取杆CD为隔离体， 由投影平衡条件Fx =0 ，得 取结点C为隔离体， 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 作 图 由力矩平衡条件 MC =0 得 由投影平衡条件Fx =0 得 （满足r12=r21） 截取杆CD为隔离体， 取结点C为隔离体， 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 作MP图 由投影平衡条件Fx =0 ，得 由力矩平衡条件MC =0 ，得 取结点C为隔离体 截取杆CD为隔离体 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 将系数和自由项代入位移法方程，便有 (5) 解算位移法方程。 (7) 校核。 (6) 作弯矩图。根据 按叠加法绘制最后弯矩。 解之得， 满足结点的力矩平衡条件，计算无误。 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 解： (1) 确定基本未知量。 基本未知量为独立的结点线位移Z1 。 (2) 建立基本结构。 (3) 建立位移法典型方程。 例8-6 试用位移法计算图所示排架。 6-4 位移法的典型方程及计算步骤 (4) 计算系数和自由项。 作 图
