《高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数 新人教a版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数 新人教a版必修4（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2.1任意角的 三角函数(一) 1.复习引入 我们已经学习过锐角的三角函数，如图： 你能在直角坐标系中来表示锐角三角函数吗? A B C 设锐角的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴 重合,那么它的终边在第一象限. 的终边上任意一点P的坐标为(a,b),它与原点的 距离是_ 过P作x轴的垂线,垂足为M,则 线段OM的长度为_ 线段MP的长度为_ 2.利用平面直角坐标系表示锐角三角函数 M y xO P(a,b) M y xO P(a,b) P(a,b) M A(1,0) x y 1 将点P取在使线段OP的长r=1的特殊位置上 以原点O为圆心,以 单位长度为半径的 圆称为单位圆 P(x,y)
2、 A(1,0) x y 3.利用单位圆定义任意角的三角函数 设是一个任意角,它的终边与单位圆交于 点P(x,y) (1) y叫做的正弦,记作sin, 即 sin=y (2) x叫做的余弦,记作cos, 即 cos=x (3) 叫做的正切,记作tan, 即 4.三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单 位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的 函数 弧度制下,角的集合与实数集R之间建立 了一一对应关系 三角函数可以看成自变量为实数的函数 y x B AO 解: 在直角坐标系中,作出 5.典型例题 例2 已知角的终边经过点P0(-3,-4),求角的正弦、余弦和正切值. 解: 设角的终边与单位圆
3、交于点P(x,y).分别过点P,P0作x轴的垂线MP,M0P0,则 y x O MM0 P0(-3,-4) P(x,y) 知道终边上任意一点P(x,y),就可以求出角 的三角函数值. y x O M P(x,y) 6.三角函数的定义域 三角函数定义域 sin cos tan R R 根据三角函数的定义,研究三 角函数值在各个象限的符号 - + + + - - - + y OxOx y Ox y 可以把求任意角的三角函数值转化为求0 到2(或0至360)角的三角函数值. 7.终边相同的角的同一三角函数值相等 公式一 角终边每 绕原点旋转 一周,函数值 将重复出现 例3 确定下列三角函数值的符号,
4、然后用计算器验证: 解:(1)因为250是第_象限角,所以cos250 0 (2)因为 是第_象限角,所以 (3)因为tan(-672)=tan(48-2360)=tan48 而48是第一象限角,所以 tan(-672) 0 (4)因为tan3=tan(+2)=tan=0 三 四 例4 求下列三角函数值 y x x y y y x x M M M M O O O O P P P P 的 终边 的 终边 的 终边 的 终边 A(1,0) A(1,0) A(1,0) A(1,0) () ()() () 8.下面从图形角度 认识一下三角函数 角的终边与单位圆交于点P.过点P作 x轴的垂线,垂足为M.
5、 |MP|=|y|=|sin| |OM|=|x|=|cos| 思考 (1)为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否 给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它 们的取值与点P的坐标一致? |MP|=|y|=|sin| |OM|=|x|=|cos| 当角的终边不在坐标轴上时,以O为始点、M为终点,规定: 当线段OM与x轴同向时,OM的方向为正向,且有正值x;当线段OM与x轴反向时,OM 的方向为负向,且有负值x. OM=x=cos 当角的终边不在坐标轴上时,以M为始点、P为终点,规定: 当线段MP与y轴同向时,MP的方向为正向,且有正值y;当线段MP与y轴反向时MP的 方向为负向,且有负值y. MP=
6、y=sin (2)你能借助单位圆,找到一条如OM、MP一 样的线段来表示角的正切吗? 思考 T T T y x x y y y x x M M M M O O O O P P P P 的 终边 的 终边 的 终边 的 终边 A(1,0) A(1,0) A(1,0) A(1,0) () ()() () T 过点A(1,0)作单 位圆的切线,设它 与的终边或其 反向延长线相交 于点T. 这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM 、AT,分别叫做角的正弦线、余弦线、正 切线,统称为三角函数线 y x T M O P 的 终边 A(1,0) 当角的终边与x轴重合时,正弦线、正切 线,分别变成一个点,此时
7、角的正弦值和正 切值都为0; 当角的终边与y轴重合时,余 弦线变成一个点,正切线不存 在,此时角的正切值不存在. 1.任意角的三角函数的定义. 2.明确各种三角函数的定义域. 3.掌握各种三角函数在不同象限的正负 情况. 小结 单位圆：圆心在原点，半径等于单位长度 的圆. 三角函数线：用有向线段的数量来表示. Ox y P M A T 规律：三角函数线是有向线段的数量，要 分清起点、终点。 1）凡含原点的线段，均以原点为起点； 2）不含原点的线段，线段与坐标轴的交点 为起点； 3）正切线AT：起点A一定是单位圆与轴的 非负半轴的交点，终点T为终边（或延长线 ）与过A的圆的切线的交点 作业 课本第20页习题1.2A组 2,5,7 练习 利用三角函数的定义求 的三个三角函数值 y x A(1,0) O 解:如图, 与单位圆的交点为 返 练习 已知角的终边过点P(-12,5),求角的三 角函数值. 解: 返 口答 设是三角形的一个内角,在sin, cos,tan,tan(/2)哪些可能取负值? 确定下列三角函数值的符号 0 练习 返
