电路原理第三章

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1、第3章 电阻电路的一般分析方法 重点 ： 熟练掌握电路方程的列写方法： 支路电流法 回路电流法 结点电压法 3.1 电路的图 求解电路的一般方法：不需要改变电路的结构。 首先，选择一组合适的电路变量（电流和/或电 压），根据KCL和KVL及元件的电压电流关系（ VCR）建立该组变量的独立方程组，即电路方程， 然后从方程中解出电路变量。对于线性电阻电路， 电路方程是一组线性代数方程。 学习图论的初步知识，以便研究电路的连接 性质并讨论应用图的方法选择电路方程的独立变 量。 一图的基本概念 电路的“图”：是指把电路中每一条支路画成抽象的 线段形成的一个结点和支路的集合。 每条支路的两端都连到相应的

2、结点上 。支路用线段描述，结点用点描述。 注意：在图的定义中，结点和支路各自为一个整 体，但任意一条支路必须终止在结点上。 移去一条支路并不等于同时把它连接的结 点也移去，所以允许有孤立结点存在。若 移去一个结点，则应当把与该结点连接的 全部支路都同时移去。 例: 有向图：赋予支路方向的图。电流、电压取关联参 考方向。 无向图：未赋予支路方向的图。 3.2 KCL和KVL的独立方程数 一KCL的独立方程数 列KCL方程： 12 3 45 6 1 2 3 4 0=0 ? 对所有结点都列写了KCL方程， 而每一条支路与两个结点相联， 并且每个支路电流必然从其中一 个结点流出，流入另一结点。因 此，

3、在所有KCL方程中，每个支 路电流必然出现两次，一次为正 ，一次为负。上述4个方程中任意 3个为独立的。 12 3 45 6 1 2 3 4 结论: 对于具有n个结点的电路，任意选取(n-1)个 结点，可以得出(n-1)个独立的KCL方程。 相应的(n-1)个结点称为独立结点。 二KVL独立方程数 路径：从一个图G的某一结点出发，沿着一些支 路移动，从而到达另一结点（或回到原出 发点），这样的一系列支路构成图G的一 条路径。 连通图：当G的任意两个结点之间至少存在一条支 路时，G为连通图。 回路：如果一条路径的起点和终点重合，且经过的 其它结点都相异，这条闭合的路径为G的一 个回路。 例： 有

4、13个不同的回路，但独立回路数要少 于13个。对每个回路列KVL方程，含有非独 立方程。 回路1（1，5，8） 回路2（2，6，5） 回路3（1，2，6，8） 利用“树”的概念寻找一个电路的独立回路组。 12 3 4 5 86 7 树：一个连通图G的树T包含G的全部结点和部分 支路，而树T本身是连通的且又不包含回路。 例: 12 3 4 5 86 7 1 3 5 86 5 86 7 2 4 5 7 3 5 86 2 5 86 树支：树中包含的支路为树支。 连支：其它支路为对应于该树的连支。 树支与连支共同构成图G的全部的支路。 树支数：对于一个具有n个结点的连通图，它的 任何一个树的树支数必为

5、（n-1）个。 连支数：对于一个具有n个结点b条支路的连通 图，它的任何一个树的连支数必为 (b-n+1)个。 由于连通图G的树支连接所有结点又不形成 回路，因此，对于图G的任意一个树，加入一个 连支后，形成一个回路，并且此回路除所加的连 支外均由树支组成。 单连支回路：由树支和一条连支所形成的回路。 单连支回路也称为基本回路 。 每一个基本回路仅含一个连支，且这一连支并不 出现在其他基本回路中。 独立回路数：对于一个结点数为n，支路数为b的 连通图，其独立回路数为（b-n+1） 。 基本回路组：由全部单连支形成的基本回路构成基本 回路组。 基本回路组是独立回路组。根据基本回路列出的 KVL方

6、程组是独立方程。 平面图：如果把一个图画在平面上，能使它的各条 支路除连接的结点外不再交叉，这样的图 为平面图。否则为非平面图。 平面图的全部网孔是一组独立回路，故平面图 的网孔数为其独立回路数。 2b法：对一个具有b条支路和n个结点的电路，当 以支路电压和支路电流为电路变量列写方程 时，总计有2b个未知量。根据KCL可以列 出（n-1）个独立方程、根据KVL可以列出 （b-n+1）个独立方程，根据元件的VCR又 可以列出b个方程。总计方程数2b，与未知 数相等。 例 b=3 , n=2 , l=3 变量：I1 , I2 , I3 a: -I1-I2+I3= 0 b: I1+I2-I3= 0

7、KCL 一个独立方程 KVL I1R1-I2R2=E1-E2 I2R2+I3R3= E2 I1R1+I3R3= E1 二个独立方程 规律 ： KCL: n - 1 R1 E1 I1 R2 E2 I2 I3 R3 b a 3.3 支路电流法 (branch current method ) 支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程 。 KVL: b - (n - 1) 由上式可得KVL方程的另一形式，即任一回路中 ，电阻电压的代数和等于电源电压的代数和，即： 式中Rkik为回路中第k个支路电阻上的电压，和 式遍及回路中的所有支路，且当ik参考方向与回路方 向一致时，前面取“+”号；不一致时，

8、取“”号。 右边usk为回路中第k支路的电源电压（也包括 电流源引起的电压）。在取代数和时，当usk与回路 方向一致时前面取“”号；当usk与回路方向不一致 时取“+”号； 列出支路电流法的电路方程的步骤： 注意：电阻电压和电源电压表达式中符号 的选取。 （1）选定各支路电流的参考方向； （2）根据KCL对（n-1）个独立结点列出方程； （3）选取（b-n+1）个独立回路，指定回路的绕 行方向，列出用支路电流表示的KVL方程。 3. 5 回路电流法 (loop current method) 基本思想：以假想的独立回路电流为独立变量。各支路电 流可用回路电流线性组合表示。 i1 i3 uS1u

9、S2 R1 R2 R3 b a + + i2 il1 il2 支路电流可由回路电流求出 回路电流分别为il 1， il 2 列写KVL方程 电阻压降 电源电压升 绕行方向和回路电流方向取为一致 i1= i l 1 i2= i l 2- i l 1i3= i l 2 回路电流法：以回路电流为未知变量列写电路方 程分析电路的方法。 回路1：R1 il1-R2(il2 - il1)-uS1+uS2=0 回路2：R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0 得 (R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2 - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2 支路电流 i1 i3 u

10、S1uS2 R1 R2 R3 b a + + i2 il1 il2 i1= i l 1i2= i l 2- i l 1i3= i l 2 R11=R1+R2 代表回路1的总电阻（自电阻） 令 R22=R2+R3 代表回路2总电阻（自电阻） R12= -R2 ， R21= -R2 代表回路1和回路2的公共电阻（互电阻） uSl1= uS1-uS2 回路1中所有电压源电压升的代数和 uSl2= uS2 回路2中所有电压源电压升的代和 (R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2 - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2 i1 i3 uS1uS2 R1 R2 R3 b a + +

11、 i2 il1 il2 R11=R1+R2 自电阻 R22=R2+R3 自电阻 R12=-R2 ， R21=-R2 互电阻 R11 il 1+R12 il 2= uSl1 R21 il1+R22 il2= uSl2 推广到 l 个回路 其中 Rjk: 互电阻 + : 流过互阻两个回路电流方向相同 - : 流过互阻两个回路电流方向相反 0 : 无关 R11il1+R12il2+ +R1l ill=uSl1 R21il1+R22il2+ +R2l ill=uSl2 Rl1il1+Rl2il2+ +Rll ill=uSll Rkk: 自电阻(为正) ，k =1 , 2 , , l 网孔电流法：对平面

12、电路，若以网孔为独立回路，此 时回路电流也称为网孔电流，对应的分 析方法称为网孔电流法。 例1 用回路法求各支路电流。 解(1) 设独立回路电流(顺时针) (2) 列 KVL 方程 (R1+R2)Ia -R2Ib = US1- US2 -R2Ia + (R2+R3)Ib - R3Ic = US2 -R3Ib + (R3+R4)Ic = -US4 对称阵，且 互电阻为负 (3) 求解回路电流方程，得 Ia , Ib , Ic (4) 求各支路电流： I1=Ia IaIc Ib + _ US2 + _ US1 I1I2 I3 R1R2 R3 + _ US4 R4 I4 (5) 校核 选一新回路 U

13、 =E? , I2=Ib-Ia, I3=Ic-Ib, I4=-Ic 将VCVS看作独立源建立方程； 找出控制量和回路电流关系。 4Ia-3Ib=2 -3Ia+6Ib-Ic=-3U2 -Ib+3Ic=3U2 4Ia -3Ib = 2 -12Ia+15Ib-Ic = 0 9Ia -10Ib+3Ic= 0 U2=3(Ib-Ia) Ia=1.19A Ib=0.92A Ic=-0.51A 例2用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。 + _ 2V 3 U2 + + 3U2 12 1 2 I1 I2 I3 I4 I5 IaIbIc 将代入，得 各支路电流为 ： I1= Ia=1.19A 解得 * 由于含

14、受控源，方程的系数矩阵一般不对称。 , I2= Ia- Ib=0.27A , I3= Ib=0.92A I4= Ib- Ic=1.43A , I5= Ic=-0.52A 例3列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程 。 方法1 (R1+R2)I1-R2I2=US1+US2+Ui -R2I1+(R2+R4+R5)I2-R4I3=-US2 -R4I2+(R3+R4)I3=-Ui IS=I1-I3 I1 I2 I3 _ + Ui _ + _ US1 US2 R1 R2 R5 R3 R4 IS + * 引入电流源的端电压变量 * 增加回路电流和电流源电流的关系方程 方法2：选取独立回路时，使理想电流

15、源支路仅仅 属于一个回路, 该回路电流即 IS 。 I1=IS -R2I1+(R2+R4+R5)I2+R5I3=-US2 R1I1+R5I2+(R1+R3+R5)I3=US1 I1I2 _ + _ US1 US2 R1 R2 R5 R3 R4 IS _ + Ui + I3 1、选择独立回路（平面电路可选择网孔），标注回路 电流的方向。 列写回路电流方程的步骤： 2、按通式写出回路电流方程。 注意：自阻为正，互阻可正可负，并注意方程右端为 该回路所有电源电压升的代数和。 3、电路中含有受控源时应按独立源来处理；含有无伴 电流源时，可使该电流源仅仅属于一个回路。 R11il1+R12il2+ +R

16、1l ill= uSl1 R21il1+R22il2+ +R2l ill= uSl2 Rl1il1+Rl2il2+ +Rll ill= uSll (2) 列KCL方程： iR出= iS入 i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3 un1 un2 -i3-i4+i5=-iS3 0 1 2 (1) 选定参考节点，标 明其余n-1个独立节 点的电压 节点电压法：以节点电压为未知变量列写电路方 程分析电路的方法。 3. 6 结点电压法 (node voltage method) 例 iS1 iS2 iS3 R1 i1 i2 i3 i4 i5 R2 R5 R3 R4 un1 un2 0 1 2 例 iS1 iS2 iS3 R1 i1 i2 i3 i4 i5 R2 R5 R3 R4 i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3 -i3-i4+i5=