《三重积分.ppt解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三重积分.ppt解析（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节 一、三重积分的概念 二、三重积分的性质 三重积分 的概念与性质 第十章 一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 1.引例: 设有空间物体占有空间区域 ， 求该物体的 可得 “分割, 近似，求和, 取极限” 解决方法: 质量 M . 为连续函数为 其体密度 2.定义：设有界函数 存在, 称为体积元素, 若对 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在 上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 三重积分的性质与二重积分相似. 作和式 记作 （也表示体积）（也表示体积） 若极限若极限 ( k 为常数) 4. 二二. .三重积分的性质三重积分的性质 的体积的体积 特别, 由于 则
2、 若 6. 设 体积为V，则有 5.若 则 推论： 有界闭域 的 7.(三重积分的中值定理) 则至少存在一点 使 连续,在有界闭域 上V 为 的体积， 另一变量 为奇函数, 若积分区域关于某坐标面对称, 则 三、三、 三重积分的对称性三重积分的对称性 同样也有轮换对称性同样也有轮换对称性，如，如 而被积函数关于 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法: 第四节第四节 三重积分的计算三重积分的计算 穿过积分区域，直线和边界曲面的交 若积分区域 满足： 记作 方法方法1. 1. 投影法投影法 (“(“先一后二先一后二” ”
3、) ) 用平行于用平行于z z轴的直线轴的直线 点不多于两个。点不多于两个。则则 将将 投影到投影到xoyxoy面上，得投影区域面上，得投影区域 过过内任一点作平行于 内任一点作平行于z z 轴的直线轴的直线 自下而上穿过积分区域自下而上穿过积分区域 ， 若穿进的若穿进的 点所在的曲面为点所在的曲面为 穿出的点所在的曲面为穿出的点所在的曲面为 则则 为底, d z 为高的柱形薄片质量为 该物体的质量为 面密度 记作 方法方法2. 2. 截面法截面法 (“(“先二后一先二后一”) ) 投影法 方法3. 三次积分法 设区域 利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得: 当被积函数在积分域上变号
4、时, 因为 均为为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算. 方法1. “先一后二” 方法2. “先二后一” 方法3. “三次积分” 具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点, 被积函数及积分域的特点灵活选择. 小结小结: : 三重积分的计算方法三重积分的计算方法 其中 为三个坐标 所围成的闭区域 . 解: 面及平面 例例1.1. 计算三重积分计算三重积分 解: 用“先二后一 ” 例例2.2. 计算三重积分计算三重积分 2. 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系: 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 因此 其中 适用范围: 1) 积分域表面
5、用柱面坐标表示时方程简单 ; 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离. 如图所示如图所示, , 在柱面坐标系中体积元素为在柱面坐标系中体积元素为 其中 为 所 解: 在柱面坐标系下 及平面由柱面 围成半圆柱体. 例例3 3. . 计算三重积分计算三重积分 解: 在柱面坐标系下 所围成 . 与平面 其中 由抛物面 原式 = 例例4.4. 计算三重积分计算三重积分 3. 利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标. 直角坐标与球面坐标的关系 坐标面分别为 球面 半平面 锥面 因此有 其中 适用范围: 1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离. 如
6、图所示如图所示, , 在球面坐标系中体积元素为在球面坐标系中体积元素为 解: 在球面坐标系下 所围立体. 其中 与球面 例例5. 5. 计算三重积分计算三重积分 所围立体体积. 解: 由曲面方程可知, 立体位于xOy面上部, 利用对称性, 所求立体体积为 yOz面对称, 并与xOy面相切, 故在球坐标系下所围立体为 且关于 xOz 例例6.6.求曲面求曲面 积分区域多由坐标面 被积函数形式简洁, 或 坐标系 体积元素 适用情况 直角坐标系 柱面坐标系 球面坐标系 * 说明: 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式: 对应雅可比行列式为 变量可分离. 围成 ; 内容小结内容小结 1. 将用三次积分表示,其中 由 所 提示: 思考与练习 六个平面 围成 , 计算 提示: 利用对称性 原式 = 奇函数 2 2. . 设设 和球面 所围成 , 计算 提示: 利用对称性 用球坐标 3 3. . 设设 由锥面由锥面 所围成. 其中 由 分析：若用“先二后一”, 则有 计算较繁! 采用“三次积分”较好. 备用题备用题 1 1. . 计算计算 所围, 故可 思考: 若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便? 表为 解解: : 其中 解: 利用对称性 2. 2. 计算计算
