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1、高 等 数 学 王 莉 莉 wanglili0835 一、函数的定义 二、函数的几种特性 三、初等函数 第一节 函数的基本概念 四、小结 思考题 定义 一、函数的定义 说明： 不同的对应法则表示不同的函数， 如 )(xf y = 、 )(xg y = 、)(xy j= 等等; 函数有三种表示法：解析法、图像法、表格法； 在解析法中，函数的解析式有两类，一类仅有 一个解析式表示的函数，例如，圆的面积S与半径R的关 系是 ； 另一类是由一个以上的解析式表示的函数, 在定义域内的不同范围用不同的解析式表示,这种函数称 为分段函数. 这种函数 例如，某市出租车的乘车费y(元)与里程x(公里)之间 的关
2、系是： 注意：分段函数是一个函数，而不是几个函数. 练习书P6：1、2 二、函数的几种特性 1. 奇偶性 设函数 y = f (x) 的定义域D关于原点对称，如果 对任意 xD，恒有f (-x) = f (x)，则称函数 f (x)为偶 函数； 如果对任意 xD，恒有f (-x) = f (x)，则称函 f (x)为奇函数；否则称非奇非偶函数. 如，y = cos x 在区间(,+)上是偶函数； 如，y = x3 在区间(,+)上是奇函数； 如，y = x4 + sin2x 在(,+)上是非奇非偶函数. 2. 单调性 设函数 y = f (x) 的定义域为D，区间I D，如果对 于区间I内的任
3、意两点 x1, x2，当x1 x2时，都有 f (x1) f (x2) ，则称函数 f (x)在区间 I上单调增加；当x1 0， 为周期函数，称T为 f 的一个周期. 说明：周期通常指的是最小正周期. 使对任意 xD，恒有f ( x + T ) = f (x)，则称函数 f (x) 如，y = sin x 是以2p为周期的函数. 4. 有界性 设函数 y = f (x) 的定义域为D，区间I D，如果存 在一个正数M，使对任意的 x I，都有 f (x) M, 则称函数 f (x)在区间 I上有界；否则称为无界. 三、初等函数 1. 基本初等函数 幂函数： (a为常数) 指数函数： 对数函数：
4、 三角函数： 常值函数： 反三角函数： y = arcsin x y = arccos x y = arctan x y = arccot x 1、幂函数 y = xa (a是常数) 2、指数函数 3、对数函数 4、三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数 5、反三角函数 2. 复合函数 设函数 y = f (u) ，u = g(x)，且g(x)的值域与f (u)的 定义域相交不空，则变量 y 通过 u 的联系也是变量 x 的函数，我们称 y 是 x 的复合函数，记作y = f g(x). 其中 u 称作中间变量x . 例如，判断下列两组函数是否可以复合成复合函数.
5、 (1) y = u1/2 ，u = 1 + sinx ; (2) y = lg u ，u = x2 . 注意： 在复合函数中可以出现一个以上的中间变量； 一个复合函数可以分解成若干个简单函数(掌握). 例如，y = (sin5x)3 可以分解成：y = u3 , u = sin v , v = 5x . 练习下列函数是由哪些函数复合而成的？ 3. 初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算以及有限次复 运算所构成，并能用一个式子表示的函数，称为初等函数. 如： 注意：分段函数一般不是初等函数. 不是是 邻域与去心邻域: 四、小结 1.函数的概念 2.函数的几种特性：奇偶性、单调性、周期性、 有界性 3.初等函数：基本初等函数、复合函数、初等函数
