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1、模态分析理论基础 陕西重型汽车有限公司 汽车工程研究院试验中心 运伟国 添加标题 1 添加标题 2 添加标题3 添加标题 4 机械振动的基本概念 1 模态分析的基本概念 2 模态分析的理论基础 3 模态试验研究 4 概 要 一、机械振动的基本概念 1、什么是振动： 物体在一固定位置附近的往复运动，称为机械振动。 广义地，凡是描述物质运动状态的物理量，在某一固定值 附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。 u 振动的概念 任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变 时,都会发生振动。 物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。 2、振动的分类 按照振动系统的自由度数分类 单自由度系统振
2、动：在机械设计基础书中有 对自由度详细的解释 二自由度系统振动： 多自由度系统振动： 按振动系统所受的激励类型分类 自由振动系统受初始干扰或原有的外激励取消后 产生的振动； 强迫振动系统在外激励力作用下产生的振动； 自激振动系统在输入和输出之间具有反馈特性 并有能源补充而产生的振动。 按系统的响应（振动规律）分类 简谐振动能用一项时间的正弦或余弦函数表示系统响应的 振动； 周期振动能用时间的周期函数表示系统响应的振动； 瞬态振动只能用时间的非周期衰减函数表示系统响应的振 动； 随机振动不能用简单函数或函数的组合表达运动规律，而 只能用统计方法表示系统响应的振动。 随机振动吴业森 按描述系统的微
3、分方程分类 线性系统描述系统的微分方程为线性微分方程 非线性系统描述系统的微分方程为非线性微分方程； 模态分析研究的是： 线性 定常 稳态 振动系统 线性：系统的响应对激励有叠加性，即： 定常：系统的动态特性（质量、刚度、阻尼）不随时间而变化。 稳态：系统对有限的激励将产生有限的响应。 u 振动的影响 工程中的振动问题 产生的后果：灾难性事故、疲劳断裂、损坏、噪声 u 动力学与静力学的关系 静力学与动力学都属于工程力学的范畴。 我国目前对机械结构的设计主要停留在功能、静力学设计 ，动力学的设计还在探索中。 静力学：胡克定律F= k x 动力学：牛顿第二定律F= m a 区别：时间=频率（结构对
4、输入响应的快、满） u 一般机械的振动问题 1、已知激励与振动结构，求结构的响应 根据已知的载荷条件，对振动结构进行简化得到可以求解的 数学模型，通过一定的数学方法求解出振动结构上关心点的 位移、应力等。 2、已知激励与响应，求系统的参数 参数识别问题 对于线性定常系统系统而言，激励、系统及输出之间存在确 定的关系 3、已知系统与响应，求输入 例如飞机与船舶 一般地，以振动理论为基础，以模态参数为目标的分析过程。模态分析 是研究系统物理参数模型、模态参数模型及非参数模型的关系，并通过 一定的手段决定这些系统模型的一门学科。 二、什么是模态分析 模态分析的经典定义：将线性定常系统的振动微分方程组
5、中的物理 坐标变为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描 述的方程，以便求出系统的模态参数。坐标变换的变换矩阵为模态矩阵 ，其每列为模态阵型； 模态分析的最终目标：识别出系统的模态参数，为结构系统 的振动特性分析，振动故障的诊断和预报以及结构动力特性 的优化设计提供依据。 物理参数模型模态参数模型 非参数模型 根据模态分析的手段和方法不同，模态分析分为理论模态分析和实验模态分析 理论模态分析 试验模态分析 非参数模型 模态参数模型物理参数模型 计算模态分析实际上是一种理论建模过程，主要运用有限元方法对振动结 构进行离散，建立系统特征值的数学模型，用各种近似方法求解系统特征值和
6、特征矢量，由于对阻尼难以准确的处理，通常对于一些小阻尼系统的阻尼通常 忽略不计 模态参数识别是试验模态分析的核心，常用的方法是基于最小二乘法等曲 线拟合法，各公司有自己不同的算法，例如：LMS公司的polymax方法，并有 自己的专利。 三、模态分析的理论基础 u 单自由度系统的振动 根据牛顿第二定律： 对于自由振动 ，上式可以写成 其解的形式为 （1） （2） 对（1）式两边进行拉普拉斯变换，并假设初始值为0，则 可以得到： 对于自由振动而言： （3） （4） 由上式可以解得s的两个根为： （5） 式中 为无阻尼系统的固有频率 根据系统阻尼比的大小，系统运动分为三种情况： (1) 过阻尼系统
7、，系统不产生振动； (2) 临界阻尼系统，无振动发生； (3) 欠阻尼系统，系统产生振动； 欠阻尼系统是我们主要研究的系统，在机械振动系统中 较为常见 频响函数： （3）式中的 具有刚度特性，称为系统的动刚 度，在物理上它具有阻止系统振动的性质，又称为系统的机 械阻抗，其倒数称为导纳，又称为系统的传递函数，表示成 ： （6） 将上式转化到傅氏域中，即 ，得到系统的频率响应 函数： （7） 系统的阻抗有三部分组成： 质量阻抗： 阻尼阻抗： 刚度阻抗： 传递函数H(s)是在复数域中描述和考察系统的特性，与 在时域中用微分方程来描述和考察系统的特性相比有许多 优点。 频率响应函数是在频域中描述和考察
8、系统特性。与传递 函数相比，频率响应函数易通过试验来建立，且其物理概 念清楚，利用它和传递函数的关系，由它极易求出传递函 数。 在系统传递函数H(s)已经知道的情况下，令H(s)中s的实部 为零，即s=j便可以求得频率响应函数H() 。 传递函数H(s)与频率响应函数的关系 单自由度系统频响函数的特性曲线： 当 系统的频响函数幅值接近于弹簧元件的导纳，作用在系统 上的外力主要靠弹簧力来平衡，系统的总刚度接近于弹簧的静刚 度。 当 系统的频响函数幅值达到极大值，其数值取决于阻尼比的 大小，且与其成反比，此时系统处于共振状态，系统的惯性力与弹 簧力相平衡，外界力与阻尼力相平衡； 当 此时系统的外界
9、力由惯性力来平衡； u 二自由度系统的振动 二自由度系统矩阵和向量表示 （1） 对于二自由度无阻尼振动系统而言： 对于（1）式两边进行傅里叶变换，得到 （2） 其阻抗矩阵为 （3） 系统的频率响应函数为 （4） 因此系统的频响函数矩阵为 可见频响函数矩阵为2*2阶矩阵，可以写成 下面讨论频响函数的幅频特性,取原点频响函数 （1）当 时， 可以看到 ，以零阶等效刚度线 作为起始渐近线 （2）当 时， ，系统进入共振状态，响应频率称为第一阶共振频 率，在共振频率处，满足以下关系式 第一阶等效质量 （3）当 时， ，此时频率称为振频率，系统处于振 状态，质量m1的振幅为零，而m2的振幅不为零，系统的
10、振现象为系统的局部现 象，而共振为系统的总体现象，因为系统共振时，系统中个点的振幅均达到极大 值。 振时 第一阶等 效刚度 （4）当 时 ，此时系统进入第二阶共振状态，相应的频率为第 二阶共振频率，满足下式 第二阶等效 质量 （5）当 时 下降最后以第二阶等效质量线 为渐近线并趋于 零。 对于有阻尼的系统， 的幅频曲线如图中的虚线所示，显然在共振频率处 幅值不为无穷大，其值取决于阻尼的大小。 以上分析可以引申到多自由系统，对于N自由度的约束系统则有N 个共振频率，有（N-1）个振频率。 对于原点频响函数而言，各阶共振、振交替出现，即在每一 个共振之后一定出现振。然而对于跨点频响函数而言，则无此
11、规 律，一般讲，两个距离远的跨点出现振的机会比较近跨点的少。 系统的物理坐标 描述的运动方程 u 多自由度系统的振动与模态参数 我们以N个自由度的比例阻尼系统作为对象加以讨论，其结 果可以很方便的推广到其他阻尼系统。 如右图所示为一个多自由度的线性定常系统，其运动 微分方程为： （1） 式中M、C、K分别为系统的质量、阻尼及刚 度矩阵，均为（N*N）阶矩阵。X、F分别为 系统的位移相应向量及激励力向量 对于多自由度线性微分方程求解难度较大。所以能否将 上述耦合方程变成非耦合的、独立的微分方程组，就是模态 分析的所要解决的根本问题。 模态分析的方法是以无阻尼系统的各阶振型所对应的模 态坐标来代替
12、物理坐标，使坐标耦合的微分方程组解耦为各 个坐标独立的微分方程组，从而求出系统的各阶模态参数。 将(1)式两边进行拉式变换，可得: （2） (2)式亦可写成: （3） （4） 位移阻抗矩阵的逆矩阵为传递函数矩阵： （5） 对于线性时不变系统，其极点在复平面的左半平面， 将s换成jw，便得到傅氏域中的频响函数矩阵： （6） （7） 根据振动理论：线性时不变系统，系统的任一点响应均可 表示为各阶模态响应的线性组合。 则对l点的响应可以表示为： （8） 式中： 为第l个测点，第r阶模态的振型系数.由N个测 点的振型系数所组成的列向量为（9）式，称为第r 阶模态向量，他反映该阶模态的振动形状 （9）
13、由各阶模态模态向量组成的矩阵称为模态矩阵，记为： （10） 由(2)、(10)可得 （11） 为第r阶模态坐标，可理解为各阶模态对响应的贡献量，一般低阶模态 比高阶模态有较大的加权系数。 1.无阻尼自由振动系统 （11）式变成 对于第r阶模态 对上式左边乘以 同理对于第s阶模态 将上式转置并右乘 由于K、M矩阵为对称矩阵 （12） （13） （14） （15） （16） （17） （18） 当 时上式不成立，此时由上式可得 将上式代入 得 令： 为第r阶模态刚度及模态质量，他 们已不再是矩阵，而是某个数，他们与模态有关，不同的模态有不同的模态刚度与 模态质量，但是对于一定得模态，模态刚度及模态
14、质量的数值不是唯一的，他与模 态向量的归一化方法有关，因为模态向量指标是振动的形状，不表示振幅的大小 （19） （20） 注意：模态试验的 结果中振型也只是 反映振动的形状 模态正交性 物理意义：第r阶模态的惯性力 对第s阶模态位移 所做的功为 零 此时由上式可得： 由下式反映出一个重要的特征： 由振动理论指出：一个无阻力系统的各阶模态称为主模态，各阶模态向量所张成的 空间称为主空间，其相应的模态坐标称为主坐标。 数学意义：两个矢量在空间正交，彼此成90度，相互之间的投影为零，即 相互独立，互不依赖。 将（12）式左边乘 ，并考虑到上述正交性，得 （21） 式中 及 均为对角矩阵，显然上式为非
15、耦合方程，方程的坐标为模态坐 标，参数为模态刚度、模态质量。 若模态向量按下列形式归一化，即令：（22） 模态质量归一化 加权模态向量 则质量矩阵和刚度矩阵对加权模态向量的正交性条件为： 2.比例阻尼振动系统 由于质量矩阵M与刚度矩阵K均为对称实数矩阵，所以C亦为对称实数矩阵，满 足解耦的条件，显然满足以下的正交性条件： 模态阻尼，是一个 数，非矩阵 用模态坐标代替物理坐标，左乘 ，并考虑到上述正交性条件后可得 经推到，对于第r阶模态 u 多自由度系统频响函数与模态参数的关系 经推到，对于2个自由度的系统： 同样，对于N个自由度的系统： 四、模态试验研究 1.模态试验的目的、用途和特点 2.模态试验的基本假设 3.模态试验的基本过程 1.模态试验的目的、用途和特点 模态试验：通过试验的方法确定机械或结构的振动固有属性 模态试验结果的用途： u 对标与诊断 u 动力学修改与灵敏度分析 u 有限元模型的修改 u 动态响应预测与传递路径分析 2.模态试验的基本假设 1）振动系统是线性的，满足叠加原理 任何输入组合引起的输出等于
