探索神奇的数学世界

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1、 初中所学函数的定义初中所学函数的定义 在一个变化过程中，有两个变量在一个变化过程中，有两个变量x x和和y y，对于，对于x x 的每一个确定的值，的每一个确定的值，y y都有唯一的值与之对应，都有唯一的值与之对应， 此时此时y y是是x x的函数，的函数，x x是自变量，是自变量，y y是因变量是因变量. . 函数的三种表示方法函数的三种表示方法 解析法、列表法、图象法解析法、列表法、图象法. . 双基回眸双基回眸 科学导入科学导入 几个问题几个问题 正方形的面积与它的边长存在确定的依赖正方形的面积与它的边长存在确定的依赖 关系，那么它们的关系是函数关系吗？关系，那么它们的关系是函数关系吗

2、？ 双基回眸双基回眸 科学导入科学导入 y y1 1（xRxR）是函数吗？）是函数吗？ yx与y 是同一个函数吗？ 显然，初中定义太笼统，是一种描述性定义，使用上会产生一显然，初中定义太笼统，是一种描述性定义，使用上会产生一 些不够明确的问题。所以，仅用初中对函数概念的理解很难回答某些不够明确的问题。所以，仅用初中对函数概念的理解很难回答某 些问题，因此，需要从新的角度来认识函数概念。本节课些问题，因此，需要从新的角度来认识函数概念。本节课 双基回眸 创设情景 合作探究 互动达标 反思与小结 山东省桓台第一中学 苏同安 巩固提高 【实例1】一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的 射

3、高为845m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位:s) 变化的规律是 h=130t-5t2 【实例2】近几十年来，大气 中的臭氧迅速减少，因而出现 了臭氧层空洞问题。右图中的 曲线显示了南极上空臭氧空洞 的面积从19792001年的变化 情况： 【实例3】国际上常用恩格尔系 数反映一个国家人民生活质量 的高低，恩格尔系数越低，生 活质量越高。右表中恩格尔系 数随时间(年)变化的情况表明， “八五”计划以来我国城镇居民 的生活质量发生了显著变化。 合作探究合作探究 【实例实例2 2】t t的变化范围是数集的变化范围是数集A =t|1979t2001;A =t|1979t2001; S

4、 S的变化范围是数集的变化范围是数集B =S|0S26B =S|0S26。 以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围 分别是什么？请同学们分析、归纳这三个实例中，分别是什么？请同学们分析、归纳这三个实例中， 两个变量之间存在的对应关系有什么共同点？两个变量之间存在的对应关系有什么共同点？ 【实例实例1 1】t t的变化范围是数集的变化范围是数集A=t|0t26A=t|0t26； h h的变化范围是数集的变化范围是数集B =h|0h845B =h|0h845 【实例实例3 3】t t的变化范围是数集的变化范围是数集A =1991A =1991，199219

5、92，20012001 恩格尔系数变化范围是数集恩格尔系数变化范围是数集B =B = 37.9,39.2,41.9,44.5,46.4,48.6,37.9,39.2,41.9,44.5,46.4,48.6, 49.9,50.1,52.9,53.849.9,50.1,52.9,53.8 合作探究合作探究 三个实例中，两个变量之间存在的对应关系的共同点三个实例中，两个变量之间存在的对应关系的共同点 三个实例变量之间的关系都可以描述为，三个实例变量之间的关系都可以描述为， 对于数集对于数集A A中的每一个中的每一个x x，按照某种对应关系，按照某种对应关系f f ，在数集，在数集B B中都有唯一确定

6、的中都有唯一确定的y y和它对应和它对应 合作探究合作探究 设设A A、B B是非空的数集，如果按照某种对应关系是非空的数集，如果按照某种对应关系f f，使 ，使 对于集合对于集合A A中的任意一个数中的任意一个数x x，在集合，在集合B B中都有唯一确定的中都有唯一确定的 数数f(xf(x) )和它对应，那么就称和它对应，那么就称f: ABf: AB为从集合为从集合A A到集合到集合B B的的 一个函数。一个函数。 记作记作 y=y=f(xf(x) , ) , xAxA 函数定义函数定义 其中，其中，x x叫做叫做自变量自变量，x x的取值范围的取值范围A A叫做函数的叫做函数的定义定义 域

7、域（domaindomain）；与）；与x x的值相对应的的值相对应的y y值叫做值叫做函数值函数值，函数值，函数值 的集合的集合 f(xf(x)| )| xAxA 叫做函数的叫做函数的值域值域（rangerange） 合作探究合作探究 定义域、对应法则和值域定义域、对应法则和值域 函数的三要素函数的三要素 因为定义域、对应法则决定了值因为定义域、对应法则决定了值 域，所以确定一个函数只需两个要素：域，所以确定一个函数只需两个要素： 定义域和对应法则定义域和对应法则 下列函数中哪个与函数 y=x 相等? 【点评】判定两个函数是否相同，只需看函数三 要素是否相同，通常看定义域与对应关系（表达 式

8、）是否相同即可。 反比例函数一次函数 二次函数 a 0a 0 图图像 定义义域 值值域 合作探究合作探究 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法. 函数的表示方法函数的表示方法 图像法：用图像表示两个变量之间的对应关系的方法. 优 点: 简单、全面地概括了变量间的关系;可以通过解析式 求出任意一个自变量所对应的函数值. 优 点: 直观形象地表示随着自变量地变化,相应的函数值变 化的趋势,有利于我们通过图像来研究函数的某些性质. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法. 优 点: 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的 函数值. 定义义名称符号数轴轴表示 闭区间

9、开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 合作探究合作探究 设设A A、B B是两个非空数集，如果按照某种对应关系是两个非空数集，如果按照某种对应关系f f， ， 使对于集合使对于集合A A中的任意一个数中的任意一个数x x，在集合，在集合B B中都有惟一确定中都有惟一确定 的数的数f(xf(x) )和它对应，那么就称和它对应，那么就称f: ABf: AB为从集合为从集合A A到集合到集合B B 的一个函数。的一个函数。 函数定义函数定义 集合，集合， 元素x 元素y 映射 。 映射映射 以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？ （1）集合A=P|P是数轴上的点，集合B=R，对应关系f：数 轴上

10、的点与它所代表的实数对应； （2）集合A=P|P是平面直角坐标系中的点， 集合B= ，对应关系f：平面直角坐标 系中的点与它的坐标对应； （3）集合A=x|x是三角形，集合B=x|x是圆，对应关系f : 每一个三角形都对应它的内切圆； （4）集合A=x|x是新华中学的班级，集合B=x|x是新华中 学的学生，对应关系f :每一个班级都对应班里的学生。 互动达标 问题问题1 1 已知函数f (x) = + （1）求函数的定义域； （2）求f（3），f ( )的值； （3）当a0时，求f（a）,f(a1)的值 【解析】（1 ） 所以，所求函数的定义域为： （2 ） （3） 互动达标 问题问题1 1

11、已知函数f (x) = + 求 问题问题2 2 整体思想（匹凑法） 换元法 互动达标 问题问题3 3 求下列函数的值域 （1）y = 2x （2 ） （3） R 问题问题4 4 某种笔记本的单价是5元，买 个笔记本需要 元。试用函数的三种表示法表示函 数 。 解：这个函数的定义域是数集 1，2，3，4，5 。 解析法表示： 列表法表示： 笔记本数 钱数 1 2 3 4 5 5 10 15 20 25 图象法表示： 25 20 15 10 5 O 1 2 3 4 5 问题问题5 5下表是某校高一（1）班三名同学在高一 学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表 。请你对这三位同学在高一学年度的数学学

12、 习情况做一个分析。 分析：从表中可以知道每位同学在每次测试中的 成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况 。如果将“成绩”与“测试时间”之间的关系用函数 图象表示出来，那么就能比较直观地看到成绩变 化地情况。这对我们的分析很有帮助。 第一 次 第二次第三次第三次第五次第六次 王伟伟 98 8791928895 张张城 907688758680 赵赵磊 686573727582 班级级平均分 88.278.385.480.375.782.6 1234560 60 70 80 90 100 . . . . . . x y 王伟 张城 班平均分 赵磊 第一 次 第二次第三次第三次第五次第六次 王

13、伟伟 98 8791928895 张张城 907688758680 赵赵磊 686573727582 班级级平均分 88.278.385.480.375.782.6 1234560 60 70 80 90 100 . . . . . x y 王伟 张城 班平均分 赵磊 王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学 习情况稳定而且成绩优秀； 张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平 上下波动，而且波动幅度较大； 赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的 成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高。 问题问题6 6 画出函数 的图象。 解：由绝对值的概念，我们有 所以，函数 的图象

14、如下图所示 -3 -2 -1 O1 2 3 3 2 1 问题问题7 7 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的 按5公里计算）。 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票 价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。 解：设票价为 ，里程为 ，依题意得： 5 4 3 2 1 O 5 10 15 20 我们把问题问题6 6、问题问题7 7 这样的函数称为分段函数分段函数 。 思悟小结思悟小结 （1）函数的概念； （2）函数的的三要素； （3）函数的三种表示方法； （4）区间的概念； （5）分段函数的概念； （6）映射的概念。 知识线 （1）关于函数的定义域 与值域问题； （2）关于两个函数是否是 同一函数问题； 应用线 思想方法线 （1）定义法与公式法； （2）图像法与观察法； （3）配方法与换元法； （4）数形结合思想； （5）分类讨论思想； （6）转化思想。 （6）关于函数应用的问题； （4）关于函数的图像问题； （5）关于函数的表示及 分段函数的问题； （3）关于映射的问题； 若a = - , 则无论 x 为何数值，分式的值都不为零 . 若a - , 则当x = - 时，分式的值为零。 巩固提高 见学案