有限元的基本理论讲解

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1、第一章 有限元的基本理论 第一章 有限元的基本理论 第一章 有限元的基本理论 教 学 内 容 有限元法的基本思想和基本步骤有限元法的基本思想和基本步骤 连续梁问题有限元数学模型的建立方法连续梁问题有限元数学模型的建立方法 有限元分析软件概述有限元分析软件概述 有限元法在结构分析中的应用介绍有限元法在结构分析中的应用介绍 第一章 有限元的基本理论 教 学 目 的 了解：有限元分析软件、了解：有限元分析软件、 有限元法在结构分析中的应用有限元法在结构分析中的应用 掌握：弹性力学的基本方程掌握：弹性力学的基本方程 能量变分原理能量变分原理 重点：有限元法的基本思想重点：有限元法的基本思想 有限元法的

2、基本步骤有限元法的基本步骤 第一章 有限元的基本理论 第一节第一节 有限元法的基本思想和基本步骤有限元法的基本思想和基本步骤 有限元分法是利用数学近似的方法对真实物理系统 （几何和载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相 互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知 量去逼近无限未知量的真实系统。 历史典故 结构分析的有限元方法是由一批学术界和工业界的研究 者在二十世纪五十年代到二十世纪六十年代创立的。 有限元分析理论已有100多年的历史，是悬索桥和蒸汽锅 炉进行手算评核的基础。 第一章 有限元的基本理论 物理系统举例物理系统举例 几何体 载荷 物理系统 结构 热 电磁 第一章 有限元的基本理论

3、有限元模型有限元模型 FE ModelFE Model 真实系统有限元模型 有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。 定义 第一章 有限元的基本理论 自由度（自由度（DOFsDOFs） （Degree Of Freedoms)Degree Of Freedoms) 自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。 结构 DOFs 结构 位移 热 温度 电 电位 流体 压力 磁 磁位 方向 自由度 ROTZ UY ROTY UX ROTX UZ 第一章 有限元的基本理论 节点节点(Node)(Node)和单元和单元(Element)(1(Element)(1) ) 节点: 空间中的坐标位置，具

4、有一 定自由度和存在相互物理作用。 单元: 一组节点自由度间相互作用的 数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩 阵)。单元有线、面或实体以及二维 或三维的单元等种类。 有限元模型由一些简单形状的单元组成， 单元之间通过节点连接，并承受一定载荷 。 载荷 载荷 第一章 有限元的基本理论 节点和单元节点和单元(2(2) ) l 每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。 l 作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。 l 尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即“自由度”），然 而在今天一个小的 ANSYS分析就可能有5000个未知量，矩阵可 能有25，000，000个刚度系数。 历史典故 早期 A

5、NSYS是随计算机硬件而发展壮大的。ANSYS最早是在 1970年发布的，运行在价格为1，000，000的CDC、由 Univac和IBM生产的计算机上，它们的处理能力远远落后于 今天的PC机。一台奔腾PC机在几分钟内可求解50005000的 矩阵系统，而过去则需要几天时间。 第一章 有限元的基本理论 节点和单元节点和单元(3(3) ) 信息是通过单元之间的公共节点传递的。 分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递 （需进行节点合并处理） 具有公共节点的单元 之间存在信息传递 . AB . . . . AB . 1 node 2 nodes 第一章 有限元的基本理论 节点和单元节点和单元

6、(4(4) ) 节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。 J I I J J KL I L K I P O M N K J I L 三维杆单元 (铰接) UX, UY, UZ 三维梁单元 二维或轴对称实体单元 UX, UY 三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, 三维实体热单元 TEMP J P O M N K J I L 三维实体结构单元 ROTX, ROTY, ROTZ ROTX, ROTY, ROTZ UX, UY, UZ, UX, UY, UZ 第一章 有限元的基本理论 单元形函数单元形函数(1(1) ) FEA仅仅求解节点处的DOF值。 单元形函数是一种数学函数，规定了从节点D

7、OF值到单 元内所有点处DOF值的计算方法。 因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形 状”。 单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。 单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解 精度。 第一章 有限元的基本理论 真实的二次曲线 . 节点单元 二次曲线的线性近 (不理想结果) . 2 单元形函数单元形函数( (2)2) 节点单元 DOF值二次分布 1 节点 单元 线性近似 (更理想的结果) 真实的二次曲线 . . . 3 节点单元 二次近似 (接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果) 4 第一章 有限元的基本理论 单元形函数单元形函数( (3)3) 遵循: DOF值可以精

8、确或不太精确地等于在节点处的真实 解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。 这些平均意义上的典型解是从单元 DOF推导出来的 （如，结构应力，热梯度）。 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOF，就 不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通 过单元形函数推导出来的。 第一章 有限元的基本理论 单元形函数单元形函数( (4)4) 遵循原则: 当选择了某种单元类型时，也就十分确定地 选择并接受该种单元类型所假定的单元形函 数。 在选定单元类型并随之确定了形函数的情况 下，必须确保分析时有足够数量的单元和节 点来精确描述所要求解的问题。 第一章 有限元的基本理论 有限元法的分类有限元法的分类

9、 位移法：以节点位移为基本未知量； 力 法：以节点力为基本未知量； 混合法：一部分以节点位移为基本未知量， 一部分以节 点力为基本未知量。 第一章 有限元的基本理论 有限元法的基本思想有限元法的基本思想 对弹性区域离散化 将单元内任一节点 位移通过函数表达 （位移函数） 建立单元方程 进行单元集成， 在节点上加外载荷力 引入位移边界条件 进行求解 求解得到节点位移 根据弹性力学公式得到单元应变、应力 第一章 有限元的基本理论 有限元法的基本步骤有限元法的基本步骤 1. 结构离散； 2. 单元分析 a. 建立位移函数 b. 建立单元刚度方程 c. 计算等效节点力 3. 进行单元集成； 4. 得到

10、节点位移； 5. 根据弹性力学公式计算单元应变、应力。 第一章 有限元的基本理论 弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程 1. 位移和应变之间的几何关系（几何变形方程） 位移分量矩阵表达式： 应变分量矩阵表达式 ： 第一章 有限元的基本理论 应变分量与位移分量之间的关系： 第一章 有限元的基本理论 剪应变与正应变之间的关系（平面问题）： 剪应变与正应变之间的关系（三维问题）： 第一章 有限元的基本理论 2. 应变和应力之间的弹性方程（材料的物理方程） 应力分量矩阵表达式： 应变和应力的关系： 第一章 有限元的基本理论 2. 应变和应力之间的弹性方程（材料的物理方程） 剪切弹性模量和弹性模量之间的

11、关系： 第一章 有限元的基本理论 2. 应变和应力之间的弹性方程（材料的物理方程） 应变和应力的相互换算： 第一章 有限元的基本理论 3. 应力与外力之间的平衡方程（力的平衡方程） 力的分类：体积力（内力）、表面力（surface force）（外力 体积力：重力、离心力、惯性力等 表面力：外载荷、流体静压力等 （主应力：某个面切应力都为零。等效应力，范米赛斯屈 服准则：各向同性材料时，等效应力超过材料的屈服应力 时，屈服发生） 根据力的平衡条件： 第一章 有限元的基本理论 3. 应力与外力之间的平衡方程（力的平衡方程） 根据合力矩为零的平衡条件：（作用在单元体上的力对x、y 、z轴取矩） 第

12、一章 有限元的基本理论 1、平面应力问题 条件：等厚度薄板（厚度 截面尺寸/15）状弹性体； 受力方向沿薄板方向。 假设：力与板平行，沿厚 度方向均匀分布，沿厚度方 向应力分量为零，薄板不失 稳。 特点： 例子：链传动中的链片、 连杆、飞轮、小齿宽的直齿 圆柱齿轮 平面问题的定义平面问题的定义 第一章 有限元的基本理论 2、平面应变问题 条件：力与平面平行，沿厚度方向均匀分布；垂直于平面方 向不产生变形。 假设：沿厚度方向的变形为零。 特点： 例子：水坝等 平面问题的定义平面问题的定义 第一章 有限元的基本理论 第二节第二节 连续梁问题有限元数学模型的建立方法连续梁问题有限元数学模型的建立方法

13、 离散化单元分析 整体分析 支撑条件的引入 非节点载荷的处理解方程 第一章 有限元的基本理论 第二节第二节 连续梁问题有限元数学模型的建立方法连续梁问题有限元数学模型的建立方法 M1 . . . M2 M3 连续梁铰接点作用有力矩载荷，求连续梁的内力。 问题 第一章 有限元的基本理论 第二节第二节 连续梁问题有限元数学模型的建立方法连续梁问题有限元数学模型的建立方法 连续梁铰接点作用有力矩载荷，求连续梁的内力。 离散化 M1 . . . M2 M3 单元1单元2 节点1节点2节点3 第一章 有限元的基本理论 第二节第二节 连续梁问题有限元数学模型的建立方法连续梁问题有限元数学模型的建立方法 取

14、出一个单元，进行分析，求出单元转角。 最终求出单元的刚度矩阵。 单元分析 . ij 单元e 第一章 有限元的基本理论 第二节第二节 连续梁问题有限元数学模型的建立方法连续梁问题有限元数学模型的建立方法 单元分析 a. 只有i点受到作用力矩，求单元转角 . ij 单元e 第一章 有限元的基本理论 第二节第二节 连续梁问题有限元数学模型的建立方法连续梁问题有限元数学模型的建立方法 单元分析 . ij 单元e b. 只有j点受到作用力矩，求单元转角 第一章 有限元的基本理论 第二节第二节 连续梁问题有限元数学模型的建立方法连续梁问题有限元数学模型的建立方法 单元分析 c. 刚度矩阵的意义 第一章 有

15、限元的基本理论 第二节第二节 连续梁问题有限元数学模型的建立方法连续梁问题有限元数学模型的建立方法 整体分析 在单元分析的基础上，得到整体刚度矩阵。 M1 . . . M2 M3 单元1单元2 节点1 1 节点2 2 节点3 3 第一章 有限元的基本理论 第二节第二节 连续梁问题有限元数学模型的建立方法连续梁问题有限元数学模型的建立方法 支撑条件的引入 已知：M1、M2、3 未知： 1 、2 、M3 。 M1 . M2 M3 单元1单元2 节点1 1 节点2 2 节点3 3=0 第一章 有限元的基本理论 第二节第二节 连续梁问题有限元数学模型的建立方法连续梁问题有限元数学模型的建立方法 支撑条件的引入 引入方法： 在K矩阵中，与约束节点对应的主对角元素 改为1，其它元素改为0； 在载荷向量中，与0转角对应的元素改为0 变换 第一章 有限元的基本理论 第二节第二节 连续梁问题有限元数学模型的建立方法连续梁问题有限元数学模型的建立方法 非节点载荷的处理 . . M2 单元1 单元2 节点1节点2节点3 P 第一章 有限元的基本理论 第二节第二节 连续梁问题有限元数学模型的建立方法连续梁问题有限元数学模型的建立方法 非节点载荷的处理 . . 2、 M2 节点1节点2节点3 P . . M02P . . M02+M2 等效 M02称为固端力矩 第一章