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1、 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. 计算矩阵特征值和特征向量的数值方法; 非线性方程和非线性方程组的迭代解法; 插值与拟合; 数值微积分; 常微分方程数值解等问题。 Date 5 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U. 三、特点 Date 6 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U. 数值计算方法既有数学类课程中理论上的
2、抽象性和严谨 性，又有实用性和实验性等技术特征，它是一门理论性 和实践性都很强的课程。在20世纪70年代，大多数学校 仅在数学系的计算数学专业和计算机系开设计算方法这 门课程。随着计算机技术的迅速发展和普及，现在计算 方法课程几乎已成为所有理工科大学生的一门必修课程 。 n学习过程中应该注意以下几个方面： 认清算法的计算对象； 掌握基本的计算方法及其原理； 用C+语言编制程序，在计算机上对算法进行验 证； 对于算法要勤思考多比较！ Date 7 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U.
3、 参考书目： 1 钟尔杰.数值分析.高等教育出版社,2004. 2 颜庆津.数值分析.修订版.北京航空航天大学出版社,2000. 3 李庆扬. 数值分析.清华大学出版社,2001. 4 白峰杉.数值计算引论.高等教育出版社,2004. 5 王能超.计算方法.北京: 高等教育出版社, 2005. Date 8 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U. 1、算法设计技术 2、误差 3、数值计算中需要注意的一些问题 4、算法的稳定性 5、病态问题 内容: 数值分析的基本概念 Date 9 N
4、umerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U. 1.1 算法设计技术 古希腊哲学家Zeno(芝诺)在两千多年前提出过一个骇人 听闻的命题：一个人不管跑得多快，也追不上爬在他前 面的一只乌龟。这就是著名的Zeno悖论。 Zeno在论证这个命题时采取了如下形式的逻辑推理：设 人与龟同时同向起跑，如果龟不动，那么人经过某段时 间便能追上它；但实际上在这段时间内龟又爬了一段路 程，从而人又得重新追赶，如下图所示，这样每追赶一 次所归结的是同样类型的追赶问题，因而这种追赶过程 “永远”不会终结。 引例
5、Date 10 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U. 耐人寻味的是，尽管Zeno悖论的论断极其荒谬，但从算法设计思 想的角度来看它却是极为精辟的。Zeno悖论将人龟追赶问题表达 为一连串追赶步的逐步逼近过程。设人与龟的速度分别为与，记 表示逼近过程的第步人与龟的间距，另以表示相应的时间，相邻 两步的时间差。Zeno悖论将人龟追赶问题分解为一追一赶两个过 程： 追的过程：先令龟不动，计算人追上龟所费的时间 赶的过程：再令人不动，计算龟在这段时间内爬行的路程 tk Sk-1 Sk V
6、v tk-1 v V 图示: 人龟追赶过程 Date 11 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U. 若以人和龟之间的距离 定义问题的规模大小，则 上述过程将问题规模压缩了 倍： 由于龟的速度远远小于人的速度，故 很小，因此 按上述步骤很快问题的规模 就可以忽略不计，从而 得到人追上龟所花时间 ，Zeno的解释可用如下过程 表示： Zeno算法 可见，Zeno算法的设计思想是，将人龟追赶计算化归为简单的行 程计算的重复，它的设计方法是逐步压缩计算模型的规模，这种 “化大为小”的设计策略
7、称为规模缩减技术，简称缩减技术。 算法的设计精髓：“简单”的重复生成复杂！ Date 12 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U. 则计算结果即为所求的和值： （3） 数列求和问题： （1） 1 直接法的缩减技术 若用bk表示前k项的部分和，则有 （2） Date 13 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U. 这样，如果定义和式的项数为数列求和问题的规模，则 所求和值为（1
8、）的退化情形。因之，只要令和式的规模 逐次减1，最终当规模为1时即可直接得出所求的和值， 而这样设计出来的算法就是累加求和算法（2）。 可见，上述累加求和算法的设计思想是将多项求和（1 ）化归为两项求和（2）的重复，最终加工成一项和式 （3）（(1)的退化情形）,从而得出和值。 Date 14 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U. 考虑 利用缩减技术可得如下算法： 算法流程图 考虑问题1 Date 15 Numerical Analysis J. G. Liu School of
9、Math. & Phys. North China Elec. P.U. 2 迭代法的校正技术 易得人追上龟所花的时间是 有些问题的“大事化小”过程似乎无法了结。Zeno悖论 强调人“永远”赶不上龟正是为了突出这层含义。这是 一类无限逼近的过程，适于用所谓预报校正技术来处理 。 设人龟起初相距 ，两者的速度分别为 和 ， 则有方程 （1） Date 16 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U. 注意到 v是个小量，设t也是个小量，则可从上式中 略去vt ，即令校正量t满足如下方程(近
10、似) 设解t*有某个预报值t0，希望提供校正量t，使校正值 t1= t0+ t 能更好的满足所给方程（1），即使得 求解上述方程即可定出校正值 Date 17 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U. 进一步视 t1为新的预报值，重复实施上述手续，求出新 的校正值 t2，再由 t2定 t3 ，如此反复可生成一系列近 似值 t1,t2,t3,这就规定了一个迭代过程， (2) Zeno悖论所描述的逼近过程正是这种迭代过程，当 k时，tk t* （ 考虑问题2 ）。大家知道， 任何形式的重复
11、都可看成是“时间”的量度。Zeno在 刻画人龟追赶问题中设置了两个“时钟”：一个是日 常的钟，另外Zeno又将迭代次数视为另一种时钟，不 妨称之为Zeno钟。Zeno公式（2）表明，当Zeno钟趋于 时人才能追上龟，Zeno正是据此断言人永远追不上 龟。 Date 18 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U. 给定 ，求开方值 的问题就是要求解方程 设给定某个预报值 ，希望借助于某种简单方法确定 校正量 ，使校正值 能够比较准确地满足方程（1），即使 成立， 设校正量 是个小量，舍去
12、上式中的高阶小量 ， 令 ，从中定出 ，继而可得校正值： （1） 利用校正技术，设计求解 （ ）的算法。 近似 Date 19 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U. 反复实施这种预报校正手续，即可导出开方公式 ： 从某个初值 出发，利用上式反复迭代，即可获得 满足精度要求的开方值 。 校正技术的基本思想：删繁就简，逐步求精 ！ 考虑问题3 Date 20 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U. 其中 ， 3 算法优化的松弛技术 对于给定的预报值 ，校正值为 据此有 ，两端同除以 ，有 由于 为人龟追赶问题的精确解， 再考察Zeno算法： 可见，精确解等于任给预报值同它的校正值的加权平均： Date 21 Numerical Analysis J. G. Liu School of Math. & Phys. North China Elec. P.U. 即通过适当选取权系数 来调整校正量 ， 以加工得到更高精度的 ，这种基于校正量的调整与松
