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1、 第二章 一元二次方程 5一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。4、在推导过程中，培养学生“观察发现猜想证明”的研究问题的思想与方法。二、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：情境引入；第三环节：探究新知；第四环节：尝试发展；第五环节：拓展创新；第六环节：感悟与收获；第七环节：布置作业。第一环节：复习回顾内容：1、一元二次方程的一般
2、形式？ ax2+bx+c=0 (a0)（板书） 2、一元二次方程有实数根的条件是什么？ (=b2-4ac0)3、当0，=0，0 根的情况如何？4、一元二次方程的求根公式是什么？ 目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫。第二环节：情景引入内容：同学们，我们来做一个游戏，看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积？（1）x2+3x+4=0 （2）6x2+x-2=0 （3） 2x2-3x+1=0目的：通过游戏入手，激发学生学习兴趣。第三环节：探究新知内容： 计算填表（验证第一环节游戏的结果）方程x
3、1x2x1+x2x1x2x2+3x+4=06x2+x-2=02x2-3x+1=0问题：1、你找到快速求出一元二次方程的两根和与两根积的方法了吗？ 2、刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？3、请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0 (a0)的根x1，x2与a、b、c之间的关系：_。4.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。（分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。）目的：本环节采用“实践观察发现猜想证明”的过程，使学生既动手、动脑，又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系
4、，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。第四环节：尝试发展尝试题1：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为x1，x2、k是常数）（1）2x2-3x-1=0 x1+x2= _ x1x2= _ （2）3x2+5x=0 x1+x2= _ x1x2= _（3）x2+7x=-6 x1+x2= _x1x2= _（4）5x2+kx-6=0 x1+x2= _x1x2= _（学生迅速演算或口算）尝试题2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x+5=0的两个根的（1）平方和 （2）倒数和 （3）差尝试题3：已知方程6x2+kx-5=0的一个根为1，求它的另一个根及
5、k的值。 “尝试题2” 将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数式。例如：x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2; “尝试题3” 展示学生的不同作法，通过比较，学生可以体会到用根与系数的关系来解决此类问题比较简便。2、将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数式时，部分学生不能熟练的掌握。3、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验。第五环节：拓展创新1已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k=0的两个根，三角形的第三条边c=4,求这个三角形的周长。 2、变式训练：已知三角形的两边
6、长a、b是方程x2-12x+k=0的两个根，三角形的第三条边c能等于15吗？ 3、利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为2和3. 内容：师生互相交流总结在方程ax2+bx+c=0（a0）中，a、b、c有哪些作用？二次项系数a是否为零，决定着方程是否为二次方程；当a0时，b=0，a、c异号，方程两根互为相反数；当a0时，=b2-4ac可判定根的情况当a0，b2-4ac0时，x1+x2= ，x1x2=当a0，c=0时，方程必有一根为0。第七环节 布置作业P52 A 知识技能1 B 数学理解3C、已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。 三、总结：本节课充分以学生为主体进行教学，采用
7、“实践观察发现猜想证明”的过程教学。让学生多实践，从实践中反思过程，经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。引导学生发现问题，师生共同解决问题。指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径，并将应用问题和规律归类。 四、教学反思： 第二章 一元二次方程 6应用一元二次方程（一）一、教学目标：知识目标：通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。能力目标：1、经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型；2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步
8、培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；情感态度价值观：在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力。二、教学过程分析本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固，情境导入；第二环节：做一做，探索新知；第三环节：练一练，巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。第一环节；回忆巩固，情境导入活动内容：提出问题：还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ 如果梯子长度是13米，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多
9、少？分组讨论：怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理来列方程？涉及到解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检验，决定解到底是多少。第二环节 做一做，探索新知活动内容：见课本P53页例1：如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头。小岛F位于BC中点。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）该部分是学习中的难点，在教学中要给学生充分的时间去审清题意，分析各量之间的关系，不能粗线条解决。在讲解过程中可逐步分解难点：审清题意；找准各条有关线段的长度关系；建立方程模型，之后求解。解决实际应用问题的关键是审清题意，因此教学中老师要给学生充分的时间去审清题意，让学生自己反复审题，弄清各量之间的关系，分析题目中的已知条件和要求解的问题，并在这个前提下抓住图形中各条线段所表示的量，弄清它们之间的关系。 在学生分析题意遇到困难时，教学中可设置问题串分解难点： （1）要求DE的长，需要如何设未知数？
