《电磁场与电磁波例题详解1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电磁场与电磁波例题详解1（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第1章 矢量分析例1.1 求标量场通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。解：点M的坐标是，则该点的标量场值为。其等值面方程为 ： 或 例1.3 求函数在点（1，1，2）处沿方向角的方向导数。 解：由于 , , , 所以 例1.4 求函数在点处沿着点到点的方向导数。解：点到点的方向矢量为其单位矢量所求方向导数例1.5 已知，求在点和点处的梯度。解：由于 所以 ，例1.6 运用散度定理计算下列积分：S是和所围成的半球区域的外表面。解：设：则由散度定理 可得例1.7 试求和:(1) (2) (3) 解： 例1.8 在球坐标中，已知，其中、为常数，试求此标量场的负梯度构成的矢量场，即。解：在球坐标戏
2、中，例1.9 在由，和围成的圆柱形区域上，对矢量验证高斯散度定理。解：因为要求验证高斯散度定理，即需要根据给出条件分别计算和，得到二者结果相同的结论。在柱坐标系下，有在由，和围成的圆柱形区域内取一个小体积元，可知，其中、，故 而，和围成的圆柱形区域的闭合外表面由三部分构成：圆柱上表面（面元矢量，、）、圆柱下表面（面元矢量，、）和圆柱侧表面（面元矢量，、），故有： ，即证。例1.10 现有三个矢量场、,分别为：，。哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量的旋度表示？解：本题考查的是矢量场的场源关系，即：标量函数的梯度是一个有散无旋的场，并根据发散场旋度为零，漩涡场散度为零进行
3、反推。故先分别求出矢量的散度和旋度：故可以由一个标量函数的梯度表示，可以由一个矢量的旋度表示。第2章 静电场与恒定电场例2.1 已知半径为a的球内、 外的电场强度为下式所示，求电荷分布。解：由高斯定理的微分形式， 得电荷密度为 用球坐标中的散度公式可得：例2.2 一个半径为a的均匀极化介质球，极化强度是，求极化电荷分布。解：建立球坐标系，让球心位于坐标原点。 极化电荷体密度为 极化电荷面密度为 例2.3 一个半径为a的导体球，带电量为Q，在导体球外套有外半径为b的同心介质球壳， 壳外是空气，如图2.1所示。求空间任一点的以及束缚电荷密度。 图 2.1解：由介质中的高斯定律可知，在区域内：，故
4、由本构方程得：介质内(arb)： 介质外(b0时。但场点位于z0时，电场的z向量为例2.9 已知半径为a的球内,外电场分布为求电荷密度。解：从电场分布计算计算电荷分布,应使用高斯定理的微分形式: 用球坐标中的散度公式,并注意电场仅仅有半径方向的分量,得出 例2.11 真空中有两个点电荷，一个电荷位于原点，另一个电荷位于处，求电位为零的等位面方程。解：由点电荷产生的电位公式得电位为零的等位面为其中， 等位面方程简化为即此方程可以改写为这是球心在,半径为的球面。例2.12 如图2.6所示，一个圆柱形极化介质的极化强度沿其轴方向，介质柱的高度为L，半径为a，且均匀极化，求束缚体电荷分布及束缚面电荷分
5、布。图2.6解：选取圆柱坐标系计算，并假设极化强度沿其轴向方向，如图示，由于均匀极化，束缚体电荷为。在圆柱的侧面，注意介质的外法向沿半径方向，极化强度在z方向，故在顶面，外法向为，故在底面，外法向为，故例2.13 假设x0的区域为电解质，电解质的介电常数为，如果空气中的电场强度（V/m），求电介质中的电场强度。解：在电介质与空气的界面上没有自由电荷，因而电场强度的切向分量连续，电位移矢量的法向分量连续。在空气中，由电场强度的切向分量，可以得出介质中电场强度的切向分量；对于法向分量，用，即 ，并注意，得出。将所得到的切向分量相叠加，得介质中的电场为例2.14 一个半径为a的导体球面套一层厚度为b
6、-a的电解质，电解质的介电常数为，假设导体球带电q，求任意点的电位。解：在导体球的内部，电场强度为0。对于电介质和空气中的电场分布，用高斯定理计算。在电介质或空气中的电场取球面为高斯面，由得出电场为： 在介质中（arb）。电位为 （arb)例2.15 真空中有两个导体球的半径都为a，两球心之间距离为d，且da,试计算两个导体之间的电容。解：因为球心间距远大于导体的球的半径，球面的电荷可以看作是均匀分布。由电位系数的定义，可得， 让第一个导体带电q, 第二个导体带电-q，则 ， 由 化简得例2.16 球形电容器内，外极板的半径分别为a,b，其间媒质的电导率为，当外加电压为时，计算功率损耗并求电阻
7、。解：设内,外极板之间的总电流为，由对称性，可以得到极板间的电流密度为 =从而 =，单位体积内功率损耗为 =总功率耗损为 P=由P=，得 R=例2.21 电场中一半径为a的介质球，已知球内、外的电位函数分布为：验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。解：题目给出的边界面，是介于介质和空气之间的球面，其法向为球的径向，切向则为和方向。要验证分界面上的边界条件，可以从电场矢量方面入手，根据题目给出电位分布，求出电场强度的分布，得到在边界面上；也可以直接根据电位的边界条件，在的分界面上，得到的结论。而要计算球面的束缚电荷密度，可根据来计算。1）验证边界条件：方法一：直接利用电位的边界条件，
8、有：时，边界条件成立。方法二： 分界面上，边界条件成立。2）计算球表面的束缚电荷密度： 由上面可得 例2.22 有一半径为a，带电荷量为q的导体球，其球心位于两种介质的分界面上，此两种介质的介电常数分别为和，分界面可视为无限大的平面，求：(1)球的电容量；(2)储存的总静电能。解：此导体球为单导体系统，选无穷远点为零电位点，球的电容量可由求出，其中为导体球所带电荷量，即；为导体球表面电位与零电位点的电位差。故求球的电容量，就需求导体球外电场强度的分布。同样，静电场的能量也可由电场强度求出，故本题的核心在于求电场强度的空间分布。图2.8由图2.8所示，以导体球的球心为坐标原点建立球坐标系，电荷和
9、电场分布具有球对称特性。在处做同心的高斯闭合球面，有在和的介质分界面上，有，即，故有 ，(1) (2)（注：也可计算为： ）第4章 恒定磁场例4.2 内、外半径分别为a、b的无限长空心圆柱中均匀分布着轴向电流，求柱内、外的磁感应强度。解：使用圆柱坐标系。电流密度沿轴线方向为 由电流的对称性，可以知道磁场只有圆周分量。用安培环路定律计算不同区域的磁场。当ra时，磁场为0。当arb时，选取安培回路为半径等于r 且与导电圆柱的轴线同心的圆。该回路包围的电流为 =由，得=当rb时，回路内包围的总电流为I，于是=。例4.3 半径为a的长圆柱面上有密度为的面电流，电流方向分别为沿圆周方向和沿轴线方向，分别
10、求两种情况下柱内、外的。解：(1) 当面电流沿圆周方向时，由问题的对称性可以知道，磁感应强度仅仅是半径r的函数，而且只有轴向方向的分量，即 由于电流仅仅分布在圆柱面上，所以在柱内或柱外 。将 代入，即磁场是与r无关的常量。在离面无穷远处的观察点，由于电流可以看成是一系列流向相反而强度相同的电流元之和，所以磁场为零。由于与r无关，所以，在柱外的任一点处，磁场恒为0。 为了计算柱内的磁场，选取安培回路为图4.2所示的矩形回路。图4.2有因而柱内任一点处，。 (2) 当面电流沿轴线方向时候，由对称性可知，空间的磁场仅仅有圆分量，且只是半径的函数。在柱内，选取安培回路为圆心在轴线并且为于圆周方向的圆。可以得出，柱内任一点的磁场为零。在柱外，选取圆形回路，与该回路交链的电流为，所以。例4.5 已知内，外半径分别为的无限长铁质圆柱壳（磁道率为）沿轴向有恒定的传导电流，求磁感应强度和磁化电流。解：考虑到问题的对称性，用安培环路定律可以得出各个区域的磁感应强度。当时， 当时， 当时， 当时， 当时，
