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1、1 复 习 主 要 内 容 2 典 型 例 题 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 习习 题题 课课 第二章 初等变换的定义 换法变换 倍法变换 消法变换 初等变换逆变换 三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是 同一类型的初等变换 反身性 传递性 对称性 矩阵的等价 三种初等变换对应着三种初等矩阵 初等矩阵 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵 （）换法变换：对调两行（列），得初等 矩阵 （）倍法变换：以数 （非零）乘某行（ 列），得初等矩阵 （）消法变换：以数 乘某行（列）加到另 一行（列）上去，得初等矩阵 经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是
2、：可画出一条阶梯线，线的下方全 为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的 行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第 一个非零元 例如 行阶梯形矩阵 经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一 个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都 为0 例如 行最简形矩阵 对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到 矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩 阵，其余元素都为0 例如 矩阵的标准形 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 其特点是：阶梯线以下 的元素全是，台阶数即为 非零行数, 竖线后面的第一个 元素为非零元 . 行最
3、简形矩阵行最简形矩阵 其特点是：非零行的第 一个非零元为，且这些非 零元所在的列的其它元素都 为. 标准形矩阵标准形矩阵 其特点是：左上角为一 单位矩阵,其它位置上的元素 全都为 0 . 所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一 个等价类，标准形 是这个等价类中形状最简单的 矩阵 定义 矩阵的秩 定义 定理 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数 矩阵秩的性质及定理 定理 定理 线性方程组有解判别定理 齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形 矩阵，写出通解 非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯 形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有 解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出 通解 10 线性
4、方程组的解法 定理 11 初等矩阵与初等变换的关系 定理 推论 一、求矩阵的秩 二、求解线性方程组 三、求逆矩阵的初等变换法 四、解矩阵方程的初等变换法 典 型 例 题 求矩阵的秩有下列基本方法 （）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的 子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一 个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩 一、求矩阵的秩 （）用初等变换即用矩阵的初等行（或列） 变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵 的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不改 变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（或列 ）的个数就是原矩阵的秩 第一种方法: 当矩阵的行数与列数较高时，计 算量很大， 第二
5、种方法: 则较为简单实用 例 求下列矩阵的秩 解 对 施行初等行变换化为阶梯形矩阵 注意 在求矩阵的秩时，初等行、列变换可 以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成 阶梯形 当方程的个数与未知数的个数不相同时，一 般用初等行变换求方程的解 当方程的个数与未知数的个数相同时，求线 性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换 法和克莱姆法则 二、求解线性方程组 例 求非齐次线性方程组的通解 解 对方程组的增广矩阵 进行初等行变换，使 其成为行最简单形 由此可知 ，而方程组(1)中未知 量的个数是 ，故有一个自由未知量. 例 当 取何值时，下述齐次线性方程组有非 零解，并且求出它的通解 解法一 系
6、数矩阵 的行列式为 从而得到方 程组的通解 解法二 用初等行变换把系数矩阵 化为阶梯形 三、求逆矩阵的初等变换法 例 求下述矩阵的逆矩阵 解 注意 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终 用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用 初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其 间不能作任何行变换 四、解矩阵方程的初等变换法 或者 例 解 第三章 测试题 一、填空题(每小题4分，共24分) 1若 元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为 ，则当 时，方程组有唯一解；当 时，方 程组有无穷多解 2齐次线性方程组 只有零解，则 应满足的条件是 4线性方程组 有解的充要条件是 二、计算题 (第1题每小题8分，共16分；第2题每 小题9分，共18分；第3题12分) 2求解下列线性方程组 有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时， 求其通解 三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵 四、证明题(每小题8分，共16分) (每小题7分，共14分) 测试题答案
