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1、 毕业设计（论文）毕 业 设 计题 目：刚性系统的隐式RK方法学 院： 数理学院 专业名称： 信息与计算科学 学 号： 201241210127 学生姓名： 丁楠 指导教师： 汪玉霞 2016年05月15日摘要本文主要介绍单步隐式Runge Kutta方法,简要的介绍了Gauss型隐式Runge Kutta方法、Radau型隐式Runge Kutta方法和Lobatto型隐式Runge Kutta方法。并利用这些基本的隐式Runge Kutta方法来对刚性方程组进行数值求解，并将隐式Runge Kutta方法与显式经典Runge Kutta方法求解的结果进行对比，说明两种数值解法的优缺点。关键
2、词：刚性系统 隐式Runge Kutta方法 单步方法 Newton迭代法AbstractThis paper mainly introduces the Implicit Runge-Kutta Methods and a simple description of Gauss implicit Runge-Kutta method ,Radau implicit Runge-Kutta method and Lobatto implicit Runge-Kutta method . These basic Implicit Runge-Kutta methods are used to s
3、olve the stiff equations. These implicit Runge-Kutta methods iare compared with the classical explicit Runge-Kutta method. This paper explain the advantages and disadvantages of the two kind of numerical methods.Keywords: Stiff system Implicit Runge-Kutta method One step method Newton iterative meth
4、od目录1.绪论11.1刚性方程11.2隐式RK方法的研究意义21.3 RK方法的研究现状32.单步RK方法的收敛性和稳定性52.1单步RK方法的收敛性52.2单步RK方法的稳定性63.三类隐式RK方法83.1引言83.2 Gauss型隐式RK方法93.3 Radau型隐式RK方法103.4 Lobatto型隐式RK方法114隐式RK方法的实现134.1非线性系统的改进134.2简化的Newton迭代法135数值实验与结果分析15参考文献18附录211. 绪论1.1刚性方程对于一般的线性常系数系统y=Ay+(t)A为mm的矩阵，特征值为i(i=1,2,m)。定义123 若一个系统满足（1）Re
5、i0, i=1,2,m（2）maxiReiminiRei=R1其中R为刚性比，则这个系统称为刚性系统。定义227 若线性系统y=Ay x0,T或非线性系统y=f(x,y) x0,T的矩阵A或Jacobi矩阵fy的特征值i满足max1imRei1则其是刚性的。定理1（解的存在性与唯一性）（1）对于所有x,yD，函数fx,y是连续的；（2）对于任何x,y,(x,y*)D，存在常数L，是函数满足fx,y-f(x,y*)Ly-y*则初值问题y=fx,y axbya= 有唯一解。其中y=(y1,y2,ym)T，D=x,y|axb,-ab;-yi,i=1,2,m 。其中L被称为Lipschitz常数定义3
6、 如果一个常微分系统的Lipschitz常数L很大(大于20)，则它是刚性的。1.2隐式RK方法的研究意义在常微分方程及常微分方程组的数值解法中，Runge Kutta方法是目前应用最为广泛的数值解法之一，同时又具有误差小，精度高的特点。尽管显式Runge Kutta方法能够非常准确、快速的给出大部分常微分方程组的数值解。但是在化学、自动控制电力系统等领域中，会出现一些病态的常微分方程组，也就是刚性方程组。刚性方程组对于数值解法的稳定性要求苛刻，比如方程组y1=-0.01y1-99.99y2, y10=2y2=-100y2, y20=1将其表示为矩阵形式：y1y2=-0.01-99.990-1
7、00y1y2令A=-0.01-99.990-100发现A特征值为：1=-100，2=-0.01，刚性比s=12=100001。方程组的解为：y1x=e-100x+e-0.01xy2x=e-100x 快瞬态 慢瞬态解由快瞬态和慢瞬态两部分构成。由于慢瞬态的部分，y1x衰减变得十分缓慢。当自变量变到x=391时，函数值还未下降到初值的1%，求解区间至少取为(0,391)。另一方面，由于快瞬态的部分，y2x衰减的非常快，因此步长要取得非常小。从绝对稳定性的方面来看，如果用四阶显式经典RK方法求解，绝对稳定区间要求h(-2.78,0)，则要求h0.0278），计算结果就完全不可信了。对于刚性方程组，显
8、式方法已经远远不能胜任了，一般采用绝对稳定性更好的方法（如隐式Runge Kutta方法）进行求解，本文采用单步隐式Runge Kutta方法，而对于隐式方法中的级值得求解，本文采用Newton迭代法。1.3 RK方法的研究现状研究基于标准模型方程的Runge Kutta方法的常见形式为：yi+1=yi+hj=1rjkj k1=fxi,yi kj=f(xi+ih,yi+hl=1j-1jlkl) (j=2,3,r) （显式）yi+1=yi+hj=1rjkj kj=f(xi+ih,yi+hl=1rjlkl) (j=1,2,3,r) （隐式）因为Runge Kutta方法是比较成熟的常微分方程数值解
9、法。所以如今主要是对于经典的Runge Kutta方法进行完善和扩充，在一定的条件下，提高级数以提高精度。或者是将Runge Kutta方法与某些领域结合使用。在1994年，费景高1给出了一种显式Runge Kutta并行方法，从而实现Runge Kutta方法在多处理机上的应用。1997年，Enenkel和Jackson2实现了Runge Kutta方法的对角隐式并行改进。1999年，廖文远和李庆扬5给出了一类求解刚性常微分方程的半隐式多步Runge Kutta方法。2000年，张诚坚和余洪兵3针对非线性延迟系统构造了一类并行预校算法，给出其算法的局部误差估计，数值实验表明该算法是有效的，且
10、具一定的可比性。2003年，李爱雄4通过对传统单支方法的计算格式进行改造，得到了解DDEs的两类单支并行算法单支并行预校算法和单支并行算法，并对方法的收敛性和稳定性做出了分析。2008年，庞丽君和朱永忠6给出了一类随机微分方程Runge Kutta方法的指数稳定性。2.单步RK方法的收敛性和稳定性2.1单步RK方法的收敛性对于常微分初值问题 y=fx,y axbya= (1)的单步显式公式 yi+1=yi+h(xi,yi,h) i=0,1,n-1y0= (2)局部截断误差可以表示为 Ri+1=yxi+1-yxi+hxi,yi,h i=0,1,n-1 3定理216：设y(x)为(1)的解，yii
11、=0n为(2)的解。如果：（1）存在常数c，使得Ri+1chp+1 (i=0,1,2,n-1)（2）存在a0，使得maxx,yD0ah(x,y,h)yL其中D=x,y|axb,yx-yyx+记c0=cLeLb-a-1，则当hmina,pc0 时，有E(h)c0hp证:由(3)得yxi+1=yxi+hxi,y(xi),h+Ri+1 (i=0,1,n-1) (4)将(4)与(2)相减yxi+1-yxi=yxi-yi+hxi,yxi,h-xi,yi,h+ Ri+1 i=0,1,n-1 由yx0-y0=0知道，在i=0时，yxi-yic0hp成立。现在假设0ik-1时也是成立的。在hpc0时有：yxi-yic0pc0p= (i=0,1,n-1)进而 xi,yxi,h-xi,yi,h =xi,i,hyyxi-yi
