高量9--对称性群解析

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1、20-2 对称性群 1、对称性群及表示空间 1. 对称性群 设设系统统的Hamiltonian为为 ，则使所有 不变的空间 变换构成一个群Q，这个群称为这个系统的空间对 称变换群，或对称性群，又称Schrdinger方程群。 1 2. 表示空间 设设 的本征值和本征函数均为已知，本征值为 ，相应的本征函数为 ， 简记为 ， 函数 张成 的一个本征子空间，维数为d，相 应的本征值为 为为本征值值 的简并度 2 即 也是 的本征函数，而且也在本征子 空间中，可以写成: 此式证证明, 对对于所有的 , 与 对易，有 的每一个本征子空间间都是其对对称性群的一个表示空间间。 3 3. 两个例子 例1：碱

2、金属原子的价电电子是在与库仑场库仑场 略有不同的 中心力场场（球对对称）中运动动，其 具有转动对称性， 对称性群是正当转动群SO(3)。对应于本征值 的本征函数（一定） 是2l+1重简并的，这个2l+1维的本征子空间正是 SO(3)群的2l+1维不可约表示 的表示空间。 4 例2：氢原子的电子所处的外场是严格的库仑场， 也具有转动对称性， 的本征值为En，是n2 重简 并的，相应的本征函数为（n一定） 简并度： 这个本征函数也是SO(3)群的一个n2维表示 的 表示基矢。但表示是可约的： 5 二、本征子空间的荷载表示 研究表明：系统哈密顿属于任一本征值的本征子空 间，都荷载着其对称性群的一个不

3、可约表示。明显 而系统的荷载着空间对称性群的可约表示的例子有 氢原子和三维各向同性的谐振子。 合理解释释： 的对称变换没有找全，已经找到的对 称性群只是真正的对称性群的一个子群，把其余的对 称变换找出来补上去，对所得的更大的对称性群来说 ，每个本征子空间所荷载的表示，就都成为不可约表 示了。 6 动力学对称性：哈密顿在空间变换对称性之外，还 有一些新的对称性，称为动力学对称性。它使空间 对称性群扩大： 对氢原子，SO(3)SO(4) 对谐振子，SO(3)SU(3) 几何学对称性：空间转动等空间变换的对称性。 7 20-3 微扰对能级简并的影响 一、微扰对对称性的影响 若所加微扰不影响系统的对称

4、性，即微扰的对称性群大于 或等于的对称性群，则新哈密顿的对称性与原来的一样，尽管 能级的数值会发生变化，但各能级的简并情况并不会改变。 若微扰的对称性小于原来系统的对称性，即微扰的对称性群 是原来系统的对称性群的一个子群，那么，新哈密顿量的对称 性就要降低为微扰的对称性，各能级的量值和简并情况要发生 变化，根据对称性可以确切地知道简并度改变的情况。 8 例如：Sodium (Na) D lines 9 二、对称性的改变对简并度的影响 1. O群和SO(3)群： O群：正立方体群（Orthogonal），正方体的对 称性，24个操作，共5类 E: 单单位元 8C3：绕对绕对 角线转线转 120度

5、 （双向等价 ） 6C2：绕绕相对对两棱中点连线转连线转 180度 3C2: 绕绕相对对两面中点连线转连线转 180度（即 ） 6C4：绕绕相对对两面中点连线转连线转 90度（双向等价 ） 10 O群的特征标标表 共有5个不可约约表示，T1T5， 维维数平方和： 维维数： 11 SO(3)群：空间转动群。 O群相应元在SO(3)群中的特征标表 12 简简并度：价电电子的能级级： 2.钠金属原子对称性与简并度 原子单独存在时： 每一能级的本征子空间都是SO(3)群的一个不可约表示 处于正立方格子的晶体中： 对称性降低，变为O群，每一能级的本征子空间现在是O 群的表示空间，但是它们荷载的表示有的变

6、成了可约表 示。若约化为两个不可约表示，则两者应属于不同的本 征值，即能级发生分裂。两者的简并度之和等于原来的 简并度。如图 13 简并度为5 简并度为3 简并度为2 由两群的特征标表可知： （1）和简简并没有改变变，分别别仍为为不简简并和3重简简并。 的特征标标与一样样，所以仍为为不可约约表示） （因为 （2）：（因为为的特征标标是和之和） 7重简简并的能级级分裂为为3个能级级，分别为别为 1，3，3重简简并。 9重简简并的能级级分裂为为4个能级级，分别为别为 1，2，3，3重简简并。 5重简并的能级分裂为两个能级，分别为2重和3重简并。 14 20-4 动力学对称性 1、守恒量LRL矢量

7、氢原子的纯库仑场的哈密顿 应具有比空间转动群SO(3)更大的对称性。 在经经典力学中， Laplace-Runge-Lenz矢量 在行星运动过程中LRL矢量守恒。 15 二、哈密顿的对称性 厄米的RL算符为： 可写为： 可以推得: 在氢原子的一个能级为 的本征子空间中， 构造新的矢量 16 由（20.20） 则则 即 从而有对对易关系 由（19.46） 得 又知 L和K的6个分量算符构成了封闭闭的对对易关系， 它们们可以生成一个6参数的连续连续 群， 这这就是氢氢原子哈密顿顿量的更大的对对称性群。 17 把6个分量算符作一个重新线性组合，生成元作 线性组合后，生成的群并不发生改变。令 则有 任

8、意 （20.29） 18 矢量算符A与L满足 有 则 如果 满满足对对易关系（20.29），则则它们们分别别 独立地生成一个SU(2)群，其群元可以用Hilbert空 间间的算符来表示，分别别是： 19 所以 都是守恒量。对应对应 的对对称性群是两个 SU(2)群的直积积群。 由及 得 而空间转动间转动 群SO(3)是这这个更大对对称性群的一个子群 ，它的群元 生成元的重新组合已经拆散分属于两个SU(2)群。 群 和SO(4)群同构。 20 三、氢原子对称性群不可约表示的维数 两个群的直积群的不可约表示，是这两个群不可约表示矩阵 的直积矩阵，而直积矩阵的维数，是两个矩阵的维数之积。 SU(2)

9、群的全部不可约表示为： (22.34)式 或 (22.38)式 式中 表示的维维数是 取值为值为 共个值值。 和分别别是2D和3D的自变变量。 的不可约约表示： 21 其维维数为为 由于 j是J2的量子数，有 则 这这是氢氢原子对对称性群的全部不可约约表示，其维维数 为为(2j+1)2 令2j+1=n，则则不可约约表示的维维数为为n2,n=1,2,3 正是氢氢原子各能级级的简简并度。 22 空间转动对间转动对 称性不是氢氢原子的全部对对称性，守恒量 LRL矢量带带来了更多的对对称性，二者合在一起是一个 大的对对称性群 ，这个大群的不可约表示 的维数正好与各能级的简并度相同，证实了能级的简 并度

10、等于其对称性群的不可约表示的维数。 23 这这一本征子空间为间为 25维维，基函数是5lm，这个空间本来 是大群的不可约表示空间，但是作为子群SO(3)，这个25维 空间就是可约的了。25维的可约表示约化成不可约表示的 直和只有一种方式，即 以 为为基矢的本征子空间间并不是大群的表示空间间， 所以约约化方式为为 其中右边边第一项项，第二项项，。 而只是空间转动群SO(3)的表示空间。以n=5的能级为例 24 四、氢原子的能级公式 利用RL矢量以及有关公式，可以得出氢原子的能级 公式。由 （20.30）式 得 25 将上式作用于H的能级为级为 E的本征子空间间中的矢量 则 所以 即 其中 可取1

11、，2，3，各值值 上式为 即氢原子的能级公式 26 21 时间平移和时间反演 21-1 时间平移 1、量子力学中的时空观 在量子力学中，系统或粒子的空间坐标是物理量， 有厄米算符与之对应，有本征值和本征矢量，但是 时间却不是物理量，没有算符与之对应，它在理论 中的地位只是一个实数参数，所以系统的哈密顿量 在时间变换方面的不变性或对称性，与对空间变换 的不变性是不完全一样的。 27 二、时间平移操作以及对态函数和算符的作用 在位置表象中 1. 时间平移算符及对态函数的作用 设设系统处统处 于某一含时态时态 中，其态函数满足 Schrdinger方程 态的时间平移态 是一个运动变化完全 与 相同，

12、但全面推迟迟时间 发生的态，即 28 定义义 为为作用于时间时间 参量上的时间时间 平移操作，即 定义义 为为作用于时间时间 函数上的时间时间 平移算符，这这是一个 函数空间间上的幺正算符，其对对函数的作用可写为为 2. 时间平移算符对其他算符的作用 Hilbert空间间中的算符 的时间平移 为 29 不显含时间的算符不受时间平移的影响，如 用时间时间 平移算符作用于Schrdinger方程两边边： 即 此式一般来说说与原来Schrdinger方程不同，因为为 不一定与 相同，因此 不一定是系统一个可能实现的状态。 30 三、哈密顿具有时间平移对称性的情况 具有时间时间 平移对对称性，即如果系

13、统统的对对一切 成立，则则Schrdinger方程任何状态态的时间时间 平移态态也是系统 的一个可能的状态， 哈密顿具有时间平移的对称性即是要求它不明显依赖于时间 ，不显含时间的哈密顿本身是一个守恒量，因此说： 系统统的哈密顿顿如果具有时间时间 平移的不变变性 则导致系统的能量守恒。 31 注意：时间平移与时间演化是两个不同的概念。波 函数经时间平移后不一定再满足Schrdinger方程 ，而时间演化算符作用后的波函数要服从 Schrdinger方程。 时间时间 平移算符： ( 不显显含时间时间 ）演化算符： 所以： 32 21-2 时间反演 一、态函数的时间反演变换 1时间时间 反演算符 设

14、系统的 为实算符（不含虚数），且不含时，无自旋 。系统的态满足Schrdinger方程： t换换成-t： 两边取复共轭： 33 令 则则 为时间反演态， 称为时间反演算符。 每一个含时态都有一个时间反演态与之对应，当哈 密顿在时间反演下不变时，时间反演态与原状态满 足相同的Schrdinger方程。 满满足下列条件： 34 的时间时间 反演是 位置算符，动动量算符和轨轨道角动动量 Proof: 取任意函数，有 所以， 35 如果无自旋系统统的不显显含时间时间 ，又是动动量 的二次式，则则有 此时该时该 系统统（及其哈密顿顿）具有时间时间 反演不变变性或 时间时间 反演对对称性。这时这时 系统统

15、的每一个含时态时态 的时时 间间反演态态也是系统统的一个可能实现实现 的状态态。 36 在经典力学中，若单粒子所受的外力 只是位 置的函数而与速度无关，则其运动方程满足牛顿第 二定律，即 2. 时间时间 反演态态 t 换换成-t： 令粒子的时间时间 反演态为态为 则则满满足与相同的运动动方程。 37 反演态的物理图象： 当粒子从初始态 经过 时间运动到 点，动 量为 时，则其时间反演态如以 为初始态 ，经过时间 后，粒子将按原路径回到 ，而那时 动量为 ，情况与将原过程拍成电影倒过来放映 一样。 38 在量子力学中，以无自旋粒子系统为统为 例，原来的含时态时态 Schrdinger方程，而的最一般解是 与其时间时间 反演态态两者都满足同一个 式中 是能级级的简简并度。 时间时间 反演态态: 可见： 39 所以，当中不含虚数的情况下， 虽然仍旧 满足原Schrdinger方程，但不一定等于原过过程的倒放。 其原因是： 经经典力学只涉及实实数，而量子力学涉及复数； 量子力学中有状态态叠加原理； 与 之间有较为复杂的关系。 40 3. 时间反演算符的数学性质 无自旋系统的时间反演算符可以写成 不寻常的数学性质： （1）时间时间