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1、第二章 逻辑代数基础 内容提要 本章介绍分析数字逻辑功能的数学方法。首 先介绍逻辑代数的基本运算、常用公式和基本定 理，然后介绍逻辑代数及其表示方法、逻辑函数 的化简。重点掌握卡诺图化简逻辑函数，为后续 课程打下基础。 本章的内容 2.1 概述 2.2 逻辑代数中的三种基本运算 2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.4 逻辑代数的基本定理 2.5 逻辑函数及其表示方法 2.6 逻辑函数的化简方法 2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简 2.1 概述 在数字电路中，1位二进制数码“0”和“1”不仅可 以表示数量的大小，也可以表示事物的两种不同的逻 辑状态，如电平的高低、开关的闭合和断开、电机的
2、 起动和停止、电灯的亮和灭等。这种只有两种对这种只有两种对 立逻辑状态的逻辑关系，称为二值逻辑。立逻辑状态的逻辑关系，称为二值逻辑。 当二进制数码“0”和“1”表示二值逻辑，并按某 种因果关系进行运算时，称为逻辑运算逻辑运算，最基本的 三种逻辑运算为“与”、“或”、“非”，它与算术运算 的本质区别是“0”和“1”没有数量的意义。故在逻辑 运算中1+1=1(或运算） 2.1.1 二值逻辑和逻辑运算 数字电路是一种开关电路，输入、输出量是高 、低电平，可以用二值变量（取值只能为0，l）来 表示。输入量和输出量之间的关系是一种逻辑上的 因果关系。仿效普通函数的概念，数字电路可以用 逻辑函数的的数学工
3、具来描述。 2.1.2 数字电路的特点及描述工具 逻辑代数是布尔代数在数字电路中二值逻辑的 应用，它首先是由英国数学家乔治.布尔（George Boole）提出的，用在逻辑运算上。后来用在数字电 路中，就被称为开关代数或逻辑代数，它是逻辑函 数的基础。 注意： 1. 逻辑代数和普通数学代数的运算相似，如有交换 律、结合律、分配律，而且逻辑代数中也用字母表 示变量，叫逻辑变量。 2. 逻辑代数和普通数学代数有本质区别，普通数学 代数中的变量取值可以是正数、负数、有理数和无 理数，是进行十进制（09）数值运算。而逻辑代 数中变量的取值只有两个：“0”和“1”。并且“0”和 “1”没有数值意义，它只
4、是表示事物的两种逻辑状 态。 2.2 逻辑代数中的三种基本运算 在二值逻辑函数中，最基本的逻辑运算有与（ AND）、或（OR）、非（NOT）三种逻辑运算。 2.2.1 与运算 与运算也叫逻辑乘或逻辑与，即当所有的条件 都满足时，事件才会发生，即“缺一不可。 如图2.2.1所示电路， 两个串联的开关控制一盏 灯就是与逻辑事例，只有 开关A、B同时闭合时灯才 会亮。 设开关闭合用“1”表示， 断开用“0”表示 ；灯亮用“1” 表示，灯灭用“0”表示（逻辑 赋值），则可得到表2.2.1所 示的输入输出的逻辑关系， 称为真值表 从表中可知，其逻辑规律服 从“有0出0，全1才出1” 这种与逻辑可以写成下
5、面的表达 式： 称为与逻辑式，这种运算称为与 运算 也可以用图2.2.2表示与 逻辑，称为逻辑门或逻 辑符号，实现与逻辑运 算的门电路称为与门。 2.2.2 或运算 或运算也叫逻辑加或逻辑或，即当其中一个条 件满足时，事件就会发生，即“有一即可 若有n个逻辑变量做与运算，其逻辑式可表示为 如图2.2.3所示电路，两个 并联的开关控制一盏灯就是或 逻辑事例，只要开关A、B有 一个闭合时灯就会亮。 用与前面相同的逻辑赋 值同样也可得到其真值表如 表2.2.2所示，其逻辑规律服 从“有1出1，全0才出0” 其逻辑式为 上式说明：当逻辑变量A、B有 一个为1时，逻辑函数输出Y就 为1。只有A、B全为0
6、，Y才为0 。 其逻辑门符号如图 2.2.4所示，实现或逻辑 运算的门电路称为或门 。 若有n个逻辑变量做或运算，其逻辑式可表示为 3. 非逻辑运算 条件具备时，事件不发生；条件不具备时，事 件发生，这种因果关系叫做逻辑非，也称逻辑求反 如图2.2.5所示电路，一个开关 控制一盏灯就是非逻辑事例， 当开关A闭合时灯就会不亮。 非逻辑运算也叫逻辑非或 非运算、反相运算，即输出变 量是输入变量的相反状态。其 逻辑式为 用与前面相同的逻辑赋 值同样也可得到其真值表如 表2.2.3所示 注：上式也可写成 其逻辑门符号如图2.2.6 所示，实现非逻辑运算 的门电路称为非门 以上为最基本的三种逻辑运算，除
7、此之外，还 有下面的由基本逻辑运算组合出来的逻辑运算 4. 与非（NAND）逻辑运算 与非运算是先与运算后非运算 的组合。以二变量为例，布尔 代数表达式为： 其真值表如表2.2.4所示 其逻辑规律服从“有0出1，全 1才出0” 实现与非运算用与非门电路来 实现，如图2.2.7所示 5. 或非（NOR）运算 或非运算是先或运 算后非运算的组合。以 二变量A、B为例，布尔 代数表达式为： 或非逻辑规律服从有“1”出“0” 全“0”出“1” 或非运算用或非门电路来实现 ，如图2.2.8所示 其真值表如表2.2.5所示 与或非运算是“先与后或再非”三种运算的组合。 以四变量为例，逻辑表达式为： 上式说
8、明：当输入变量A、B 同时为1或C、D同时为1时， 输出Y才等于0。与或非运算 是先或运算后非运算的组合 。在工程应用中，与或非运 算由与或非门电路来实现， 其真值表见书P22表2.2.6所示 ，逻辑符号如图2.2.9所示 6.与或非运算 其门电路的逻辑符号如图2.2.10 所示 其布尔表达式（逻辑函数式）为 7. 异或运算 符号“”表示异或运算，即两个输入逻辑变量取值 不同时Y=1，即不同为“1”相同为“0”，异或运算用异 或门电路来实现 其真值表如表2.2.6所示 异或运算的性质 1. 交换律： 2. 结合律： 3.分配律： 推论：当n个变量做异或运算时，若有偶数个变量取 “1”时，则函数
9、为“0”；若奇数个变量取1时，则函数 为1. 4. 8. 同或运算： 其布尔表达式为 符号“”表示同或运算，即两个输入变量值相同时 Y=1，即相同为“1”不同为“0” 。同或运算用同或门 电路来实现，它等价于异或门输出加非门， 其真值表如表2.2.7所示 其门电路的逻辑符号如图2.2.11 所示 2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式 2.3.1 基本公式 表2.3.1为逻辑代数的基本公式，也叫布尔恒等式 表2.3.1 逻辑代数的基本公式 返回A 返回B A 0 = 0A + 0 = A A 1 = AA + 1 = 1 2. 交换律、结合律、分配律 a. 交换律： AB= BA A + B=B
10、 + A b. 结合律：A（BC） =（ AB）C A +（ B C）= （AB） + C c. 分配律：A( B + C) = AB + AC A + BC = (A + B)(A + C) 1.关于变量与常数关系的定理 说明：由表中可以看出 链接A a. 互补律： b. 重叠律：A A = A A + A = A c. 非非律： d. 吸收律：A + A B = A A (A+B) = A e. 摩根定律： 注：以上定律均可由真值表验证 3.逻辑函数独有的基本定理 链接B 2.3.2 若干常用公式 表2.3.2为常用的一些公式 表2.3.2 常用公式 说明： 1. AABA：在两个乘积项相
11、加时，如果其中一 项包含另一项，则这一项是多余的，可以删掉； 2. AABAB：在两个乘积项相加时，如果其中 一项含有另一项的取反因子，则此取反因子多余的， 可从该项中删除； 3. ABA B A：在两个乘积项相加时，如果它们 其中的一个因子相同，而另一个因子取反，则两项合 并，保留相同因子； 4. A（AB）A：在当一项和包含这一项的和项 相乘时，其和项可以消掉 5.ABA CBC ABA C ：在三个乘积项相 加时，如果前两项中的一个因子互为反，那么剩余的 因子组成的另一项则是多余的，可以删掉； 公式AB A CBCD ABA C 的原理和上述相同 6. A（A B） A B ：如果某项和
12、包含这一项的乘 积项取反相乘时，则这一项可以删掉； 7. A （A B） A ：当某个项取反和包含这一项 的乘积项取反相乘时，则只保留这个取反项 以上的公式比较常用，应该能熟用，为以后 逻辑函数的化简打好基础 2.4 逻辑代数的基本定理 2.4.1 代入定理 内容：任何一个含有变量A 的等式，如果将所有出现 A 的位置都用同一个逻辑函数G来替换，则等式仍然 成立。 利用代入定理可以证明一些公式，也可以将 前面的两变量常用公式推广成多变量的公式 证明：方程的左边有A的地方代入G得： B(A十D)十C B(A十D)十BCBA十BD十BC 方程的右边有A的地方代入G得： B(A十D)十BCBA十BD
13、十BC 故 B(A十D)十C B(A十D)十BC 例2.4.1 若B(A十C)BA十BC，现将所有出现A的地 方都代入函数GA十D，则证明等式仍成立 证明：设GBC 代入公式左右的B中 同理设GBC代入式子左右的B 例2.4.2 试用代入规则证明摩根定律适用多变量的 情况 可得 故： 可得 内容：若已知逻辑函数Y的逻辑式，则只要将Y式中 所有的“.”换为“+”, “+”换为“.”,常量“0”换成“1”， “1”换成“0”，所有原变量（不带非号）变成反变量 ，所有反变量换成原变量，得到的新函数即为原函 数Y的反函数（补函数） Y 。利用摩根定律，可以 求一个逻辑函数 的反函数。 2. 反演定理
14、注意：1. 变换中必须保持先与后或 的顺序； 2. 对跨越两个或两个以上变量的“非号”要保 留不变； 解：由摩根定理 或直接求反 例2.4.3 已知YA（BC ）C D ，求Y 解：由反演定理 例例2.4.4 2.4.4 若若 Y Y （A A B B） C CD D +C +C，求反函数求反函数 或直接求反得 3.对偶规则 对偶式：设Y是一个逻辑函数，如果将Y中所有的 “+”换成与“”， “.”换成与“+” ，“1” 换成与“0”， “0” 换成与“1”，而变量保持不变，则所得的新的逻 辑式 YD 称为Y的对偶式。 如： 对偶规则：如果两个函数Y和G相等，则其对偶式YD 和GD也必然相等，V
15、ice versa。利用对偶式可以证明 一些常用公式 例1.1.5 试利用对偶规则证明分配律 ABC=(A+B)(A+C)式子成立 证明：设Y ABC，G (A+B)(A+C)，则它们的 对偶式为 由于 故YG，即ABC=(A+B)(A+C) 证明：设 则它们的对偶式为 由于 故YG，即 例1.1.6 试利用对偶规则证明吸收律AABAB 式 子成立 2.5 逻辑函数的定义： 其中：A1, A2 An称为n个输入逻辑变量，取值只能 是“0” 或是“1”，Y为输出逻辑变量，取值只能是“0” 或 是“1” 则F称为n变量的逻辑函数 在数字电路中，输入为二值逻辑变量，输出也 是二值变量，则表示输入输出
16、的逻辑函数关系，即 如 YAB C，表示输出等于变量B取反和变量C 的与，再和变量A相或。 2.5.1 逻辑函数 一 、逻辑真值表 2.5.2逻辑函数的几种表示方法 逻辑函数的表示方法很多，比较常用的如下： 逻辑真值表就是采用 一种表格来表示逻辑函数的 运算关系，其中输入部分列 出输入逻辑变量的所有可能 取值得组合，输出部分根据 逻辑函数得到相应的输出逻 辑变量值。 如表2.5.1表示的异或逻 辑关系的函数，即 YBA 011 101 110 000 输出输入 表2.5.1 YA B AB 二 、逻辑函数式 按一定逻辑规律写成的函数形式，也是逻辑代 数式。与普通函数数不同的是，逻辑函数式中的输入 输出变量都是二值的逻辑变量。 如异或关系的逻辑函数可
