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1、(理解平面向量的基本定理及其意义/会用平面向量基本定理解决简单 问题/掌握平面向量的正交分解及其坐标表示/会用坐标表示平面向量的加 法、减法与数乘运算/理解用坐标表示的平面向量共线的条件) 4.2 平面向量的基本定理及坐标表示 1共线向量的条件 如果向量a为非零向量，那么向量b与向量a共线有且只有一个实实数， 使得ba. 2平面向量的基本定理 如果e1，e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数1，2使：a1e12e2.其中不共线的向量e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的 一组基底(base) 3平面向量的坐标表示：在直角坐标标系中，分别别取与x轴轴
2、、y轴轴方向相同的 两个单单位向量i，j作为为基底由平面向量的基本定理知，该该平面内的任一向量a 可表示成axiyj，由于a与数对对(x，y)是一一对应对应 的，因此把(x，y)叫做向量a 的坐标标，记记作a(x，y)，其中x叫作a在x轴轴上的坐标标，y叫做在y轴轴上的坐标标 (1)相等的向量坐标标相同，坐标标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标标与表示该该向量的有向线线段的始点、终终点的具体位置无关， 只与其相对对位置有关 4平面向量的坐标运算 (1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2) (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (x2x1，y2y1)
3、 (3)若a(x，y)，则a(x, y) (4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10. 1若AB(2,4)，AC(1,3)，则则BC( ) A(1,1) B(1，1) C(3,7) D(3， 7) 解析：BCACAB(1,3)(2,4)(1，1) 答案：B 2已知两点A(4,1)，B(7，3)，则则与AB同向的单单位向量是( ) A. B. C. D. 解析：A(4,1)，B(7，3)，AB(3，4)， 与AB同向的单位向量为 答案：A 3(2009重庆高考)已知向量a(1,1)，b(2，x)，若ab与4b2a平行 ，则实实数x的值值是( ) A2 B0 C1 D2
4、解析：ab(3，x1),4b2a(6,4x2)， 3(4x2)6(x1)0，解得x2. 答案：D 4如右图图，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA与OB的夹夹角为为120 ，OA与OC的夹夹角为为30，且|OA|OB|1，|OC|2，若OCOAOB(、 R)，则则的值为值为 _ 解析：如右图，OCODOEOAOB 在OCD中，COD30，OCDCOB90，可求|OD|4， 同理可求|OE|2，4，2，6. 答案：6 利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其 他向量，即用特殊向量表示一般向量 【例1】 如右图图，在ABC中，M是BC的中点，N在边边AC上， 且AN2NC
5、，AM与BN相交于P点，求APPM的值值 解答： 设CAa，CBb， APABBPABBNAB(BCCN) ba(b a)( 1)a(1)b， MPMBBPMBBN b(b a) a( )b， 由APMP，解得： ，AP 4PM. 即APPM41. 变式1.如右图图，在ABC中，点O是BC的中点，过过点O的直线线分别别交直线线AB 、AC于 不同的两点M、N，若ABmAM，ACnAN，则则mn的值为值为 _ 解析：设设ABa，ACb，MOAOAM 同理NO 由MONO得MONO，即 整理得mn2. 答案：2 利用向量的坐标标运算解题题，主要就是根据相等的向量坐标标相同这这一 原则则，通过过列方
6、程(组组)进进行求解在将向量用坐标标表示时时，要分清向量 的起点和终终点坐标标，也就是要注意向量的方向，不要写错错坐标标 【例2】已知点A(1,2)，B(2,8)以及AC AB，DA BA， 求点C、D的坐标标和CD的坐标标 解答：设点C、D的坐标标分别为别为 (x1，y1)、(x2，y2)，由题题意得 AC(x11，y12)，AB(3,6)， DA(1x2,2y2)，BA(3，6) 因为为AC AB，DA BA，所以有 解得和所以点C、D的坐标标分别别是(0,4)、(2,0)，从而CD(2，4) 变式2.已知点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)，若APABAC (R)， 则则当为为何
7、值时值时 ，点P在第三象限？ 解答：ABAC(3,1)(5,7)(35，17) AP(35，17)，设P点的坐标为标为 (x，y)， 则则AP(x2，y3)， 又P在第三象限， 解得1，即当1时时，点P在第三象限. 1. 利用单单位向量可以证证明正弦定理，推导导解析几何中点到直线线的距离公 式 2充分地使用单单位向量，在向量的运算过过程中可起到事半功倍的效果， 比如求向量a在向量b方向上的投影即 . 【例3】若平面向量b与向量a(1，2)的夹夹角是180，且|b| 则则b等于( ) A(3,6) B(3，6) C(6，3) D(6,3) 解析：解法一：设设b(x，y)， 由已知条件 整理得 解
8、得 b(3,6) 解法二：设设b(x，y)，由已知条件 解得 (舍去)b(3,6) 解法三： 答案：A 变式3.平面向量a、b，ab5，已知a(4，3)，|b|1，则则向量b _. 解析：解法一：由题题意可知：|a|5，|b|1，ab5cos a，b 1，即a、b共线线并且同向，又|b|1b 解法二：令b(x，y)，由|b|1，可得x2y21. 由ab5可得，4x3y5. 联联立解得x 答案： 【方法规律】 1向量平行的充要条件是建立向量的坐标及其运算的理论依据；平面向 量的基本定理是平面向量坐标表示的基础 2利用平面向量的基本定理，可将几何问题转化为向量问题，其具体过 程大致为：(1)适当选
9、择基底(两个彼此不共线向量)； (2)用基底显示几何问题的条件和结论； (3)利用共线向量的充要条件、向量垂a直的充要条件，通过向量的运算解 决平行、垂直、夹角和距离的证明和计算等问题. (2009安徽)(本题满分4分)给定两个长长度为为1的平面向量OA和OB，它 们们的夹夹角为为120，如图图所示，点C在以O为圆为圆 心的圆圆弧AB上变动变动 ，若OC xOAyOB，其中x，yR，则则xy的最大值值是_. 【答题模板】 解析：以O为坐标原点，OA为x轴建立直角坐标系xOy，则OA(1,0), OB .设AOC， 则OC(cos ，sin )，由OCxOAyOB，得 解得 xy sin cos 2sin(30)， 又0120，即3030150，则当3090， 即60时xy取到最大值，最大值为2. 答案：2 【分析点评】 点击此处进入 作业手册 1.通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和向量相等等概念 ，将向量问题转化为三角函数问题，实现了图形、向量、三角的完美统一 2本题为教材中求函数f(x) sin xcos x的最值问题创造了新的意 境.
