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1、2.3 恰当方程与积积分因子 一、恰当方程的定义及条件 如果我们恰好碰见了方程 就可以马上写出它的隐式解 定义1 则称微分方程 是恰当方程. 如 是恰当方程. 1 恰当方程的定义 需考虑的问题 (1) 如何判断方程(1)是否为恰当方程? (2) 若(1)是恰当方程，怎样求解? (3) 若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解? 2 方程为恰当方程的充要条件 定理1 为恰当方程的充要条件是 证明 “必要性” 设(1)是恰当方程, 故有 从而 故 “充分性” 即应满足 因此 事实上 故 (8) 注:若(1)为恰当方程,则其通解为 二、恰当方程的求解 1 不定积分法 例1 验证方程 是恰当方
2、程,并求它的通解. 解: 故所给方程是恰当方程. 即 积分后得: 故 从而方程的通解为 2 分组凑微法 采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项 分出来,再把其余的项凑成全微分. -应熟记一些简单二元函数的全微分. 如 例2 求方程的通解. 解: 故所给方程是恰当方程. 把方程重新“分项组合”得 即 或写成 故通解为: 例3 验证方程 是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解. 解: 故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得 即 或写成 故通解为: 故所求的初值问题的解为: 3 线积分法 定理1充分性的证明也可用如下方法: 由数学分析曲线积分与路径无关的定理知: 从而(1)的
3、通解为 例4 求解方程 解: 故所给方程是恰当方程. 故通解为: 三、积分因子 非恰当方程如何求解? 对变量分离方程: 不是恰当方程. 是恰当方程. 对一阶线性方程: 不是恰当方程. 则 是恰当方程. 可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程. 1 定义 例5 解:对方程有 由于 把以上方程重新“分项组合”得 即 也即 故所给方程的通解为: 2 积分因子的确定 即 尽管如此,方程 还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径. 变成 即 此时求得积分因子 3 定理微分方程 例6 求微分方程的通解. 解: 由于 故它不是恰当方程, 又由于 利用恰当方程求解法得通解为 积分因子是求解积分方程的一个极为重要的方法,许 多方程求解都可以通过寻找到一个合适的积分因子来 解决,但求微分方程的积分因子十分困难,需要灵活运 用各种微分法的技巧和经验. 例7 求解方程 解: 方程改写为: 或: 易看出,此方程有积分因子 即 故方程的通解为: 例8 求解方程 解: 故方程不是恰当方程, 方法1: 即 故方程的通解为: 方法2: 方程改写为: 容易看出方程左侧有积分因子: 故方程的通解为: 方法3: 方程改写为: 这是齐次方程, 即 故通解为: 变量还原得原方程的通解为: 方法4: 方程改写为: 故方程的通解为: 即方程的通解为: 作业 vP60 2(2,4,8,10), 3
