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1、第四讲 统计与概率 一.知识解读 统计与概率知识是中学数学的又一块重 要内容，知识贴近生活，反映实际问题，其 中概率是新课程标准新增的知识，在新课程 体系中统计与概率的思想在整个中学数学占 有重要位置，它是展示学生分析问题、处理 问题、解决问题的能力并作出合理判断与决 策的重要数学技能.统计与概率的知识是以基 础知识的运用和基本技能的发挥为主题，是 中考考查的内容之一，也所是我们中考数学 复习的一个知识重点. 二.知识结构 统计与概率主要包含两大部分内容， 统计及相关的知识与应用、概率及相关知 识与应用 . 二.知识结构 统 计 收集数据 媒体查询 亲自调查 普 查 抽样调查 抽样的基本要求
2、总体 个体 样本 整理数据 频数分布表 频数 频率 频数分布直方图 频数折线图 扇形统计图 分析数据 统计图表 阅读图表提取信息 统 计 量 集中程度 离散程度 加权平均数 平均数 中位数 众数 极差 方差 标准差 作出决策 用样本估计总体 作出判断和决测 回顾反思 样本选取 数据处理及表示 所得结论 二.知识结构 概 率 事 件 确定事件 不确定事件 不可能事件 必然事件 机会的 大小比较 游戏的 公平与否 概 率 实验估计概率 分析预测概率 模拟等效实验 列举法 画树状图 列表 借助统计活动研究概率 从概率角度分析 统计数据特征 统 计 概 率 三.考点透视 1考点要求： 统计部分： 了解
3、普查、抽样调查，总体、个体、样本、样本 容量、众数、中位数、平均数、方差、标准差、极差 的概念； 会求平均数、加权平均数、众数、中位数，会确 定样本和样本容量，体会它们在实际问题中的意义； 理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和 作用，了解整理数据的步骤和方法； 掌握用样本估计总体的统计思想，会用样本平均 数与方差估计总体平均数与方差；用样本频率估计总 体频率； 掌握几种统计图表示数据的方法与其特征，会选 择合适的统计图表示相关的数据； 会根据统计的结过作出判断和预测，观点清晰， 并能解决一些简单的实际问题. 三.考点透视 1考点要求： 概率部分： 在具体情境中了解概率的意义，明确事件的三
4、种 类型，会运用列举法（树状图或列表）计算简单事件 发生的的概率； 通过大次数重复实验，获得事件发生的概率，知 道大次数重复实验时，频率可作为事件发生的概率的 估计值； 会运用概率知识认识并解决简单的实际问题（比 如对一些现象的解释、评判游戏的公平性、对某项活 动的“合算”与否进行评判、会设计概率模型等）. 三.考点透视 2应用方法： 统计部分： 牢固掌握统计知识中概念及概念间的区别与联 系，以及在实际问题中的应用； 掌握平均数、加权平均数，方差和标准差的计算 公式及实际运用，会确定中位数，众数及极差； 理解掌握频数分布直方图和频数折线图，会进分 析判断； 关注统计知识与方程、不等式等知识的综
5、合应用 ，会读频数分布直方图和数据图标，获取信息，作 出决策与判断. 三.考点透视 2应用方法： 概率部分： 牢固掌握概率的求法，会运用列表法或树状图 求简单事件的概率； 掌握等可能事件发生的结过的判断，会求这类 事件发生的概率； 关注概率知识在实际问题中的应用. 三.考点透视 3命题方向： 统计部分： 近几年来，与统计相关的知识在中考题中所占 比例逐渐增大，由于统计贴近生活，因此在中考中 考查力度有所加大，形式多样.从题型上，填空题、 选择题依然占主要位置，但应用类解答题、图标信 息题、综合题逐渐在增多；从内容上，有原来简单 的运用统计知识的基本概念进行求解计算，也有运 用所学的统计知识分析
6、和处理和实际问题相关数据 ，作出决策判断，题型立意新颖，贴近生活，关注 社会热点. 三.考点透视 3命题方向： 统计部分： 对于统计基本概念的考查一般以填空题、选择题 的形式出现，要求能够指出研究对象的总体、个体、 样本及样本容量，理解一组数据的平均数、众数、中 位数的意义，掌握他们的求法，了解方差、标准差的 意义，会计算样本方差和标准差，并会用他们比较两 组数据的波动情况. 统计初步的应用题是统计知识与方程、不等式有 机融合在一起的综合性试题，主要考查学生联系实际 处理数据进行合理推理的能力，要求学生具备数据处 理的能力，数形结合的能力，读图识图的能力. 三.考点透视 3命题方向： 概率部分
7、： 概率知识的应用题则以通过设计概率模型或一些 具体活动来解释一些事件发生的概率，进一步丰富对 概率的认识，以及联系统计知识，借助日常生活中的 例子，应用频率与概率的关系，计算一些事件发生的 概率，解决简单的问题，考查学生联系实际进行合理 推理的应用能力. 四.例题精讲 例1 填空： 中国是一个人口总数为1 295 330 000人，国土面积为 9596960千米2的大国.梵帝冈是世界上最小的国家，它的 面积仅有0.44千米2，相当于天安门广场的面积.根据这段 材料，回答： (1)9596960千米2是 （精确数还是近似数），在报刊 等媒体中常说：我国的国土是960万平方千米.近似数960 万
8、平方千米是由9596960千米2精确到 位得到的，它的 有效数字是 ； (2)把我国的人口数写成1.3109人，它精确到 位， 有 个有效数字，若把中国的人口数用3个有效数字表 示，可写成 ； (3)梵帝冈真是太小了！假若我们把梵帝冈的土地看成是 一个正方形，平时我们做操时每人需占用2平方米，那 梵帝冈能同时容纳 人做操； (4)梵帝冈国土面积的百万分之一有多大？相当于 的 面积； A一间教室 B一块黑板 C一本数学课本 D一张讲桌 四.例题精讲 分析：本题重点考查了科学记数法、有效数字以及数据 分析的有关统计知识.要想解决本题中提出的问题，首先 要弄明白以下几点： （1）通过测量得到的数据都
9、是近似的. 960万平方千米是以万为单位，因此精确到万位； （2）1.3109=1 300 000 000数字3在亿位上，所以它精 确到亿位；它有两个有效数字1，3； 若要用三个有效数字来表示，则要精确到千万位， 即9所在的数位，因此要从百万位开始四舍五入， 即1.30109； （3）单位不统一，0.44千米2=440 000米2 ，千米2与米2的 单位换算是106进制； （4）440000米2的百万分之一=0.44米2，相当于一张讲桌 的面积. 解：（1）近似数，万，9、6、0；（2）亿，2， 1.30109；（3）220000 ；（4）D. 四.例题精讲 例2根据某市去年7月份中某21天的
10、各天最高 气温（）记录，制作了如图的统计图，由 图中信息可知，记录的这些最高气温的众数 是 ，其中最高气温的中位数是 ， 四.例题精讲 分析：本题重点考查了学生对众数与中位数的理解， 以及从统计图中获取信息的能力.要想解决本题中提出 的问题，首先要弄明白以下几点： （1）由于32出现的次数最多出现了4天，所以32 是这组数据的众数； （2）因为共调查了21天的气温记录，因此中位数是将 气温从小到大排列后位于第11位的气温，由于29的 气温有3天，30的气温有2天，31的气温有2天， 32的气温有4天，33的气温有3天，34的气温有 2天，35的气温有2天，36的气温有3天，而前四个 数据的频数
11、和为11，所以气温的中位数就为32. 解： 32，32. 四.例题精讲 例3下面两幅统计图（图1、图2），反映了某市甲、乙两 所中学学生参加课外活动的情况.请你通过图中信息回答 下面的问题. （1）通过对图1的分析，写出一条你认为正确的结论； （2）通过对图2的分析，写出一条你认为正确的结论； （3）2003年甲、乙两所中学参加科技活动的学生人数共 有多少？ 四.例题精讲 分析：本题重点考查学生读图、识图、获取信息的基 本能力.要想解决本题中提出的问题，首先要弄明白 以下几点： （1）图1是折线统计图：重在反映了自19972003年 某市甲、乙两所中学学生参加课外活动人数的变化情 况；图2是扇
12、形统计图重在反映了2003年甲、乙两校 学生参加课外活动不同项目人数占总人数的百分比； （2）由图1我们可以得出2003年甲、乙两校分别有 2000人和1105人，由图2我们可以看出2003年甲、乙 两校参加科技活动人数分别占总人数的38%和60%， 所以2003年甲、乙两所中学参加科技活动的学生人数 为 人. 四.例题精讲 解：（1）1997年至2003年甲校学生参加课外活动的人 数比乙校增长的快；（答案合理即可） （2）甲校学生参加文体活动的人数比参加科技活动 的人数多；（答案合理即可） （3） 人； 答：2003年两所中学的学生参加科技活动的总人数是 1423人. 四.例题精讲 例4某风
13、景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整 ，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变.有 关数据如下表所示： （1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收 费不变，平均日总收入持平.问风景区是怎样计算的 ？ （2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均 日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%。问 游客是怎样计算的？ （3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反应整 体实际？ 四.例题精讲 分析：本题重点考查了平均数与加权平均数的理解 与应用，以及对数据的处理能力.要想解决本题中提 出的问题，首先要弄明白以下几点： （1）因为我们学习了两种平均数，一种是算术平 均数，一种是加权平均数.因此
14、当我们分别以这两种 方式来计算平均数时，我们会发现调价前后的算术 平均数是不变的，而加权平均数是有所变化的.因此 ，我们可以知道风景区是按照算术平均数来计算平 均价格的，而游客是按照加权平均数来计算价格的. （2）由于加权平均数对不同的景点赋予了不同的 权，而不同景点的游客数是不同的，所以加权平均 数更能反映整体实际. 四.例题精讲 解： （1）风景区是这样计算的： 调整前的平均价格： ； 调整后的平均价格： ； 调整前后的平均价格不变，平均日人数不变 ， 平均日总收入持平； （2）游客是这样计算的： 原平均日总收入： 101+101+152+203+252=160（千元） 现平均日总收入：
15、51+51+152+253+302=175（千元） 平均日总收入增加了； （3）游客的说法较能反映整体实际. 四.例题精讲 例5开学初，某店主调查了学校新生的零用钱数额（ 单位：元）.按总人数的12.5%抽样。数据分成五组 统计，因意外原因丢失一些信息，剩余部分信息为 ：第一组的频数、频率分别为2、0.04；第二、 三、五组的频率分别为0.24、0.20、0.36；如图频 率分布直方图.请你协助店主解决下列问题： （1）求第四组的频率、频数； （2）估计全体新生的零用钱大约是多少元？ 四.例题精讲 分析：本题重点考查了统计基础知识频数分布直方 图以及计算、解决实际问题和信息处理能力，本题还 考查了利用样本估算总体的思想.要想解决本题中提出 的问题，首先要弄明白以下点： （1）由于第一、二、三、五组的频率分别为0.04、 0.24、0.20、0.36，而样本总的频率为1，所以第四组 频率为 0.16 .又因为频率=频数样本容量，所以我们 需要先根据第一组的频数与频率求出样本容量为 20.04=50，因此第四组的频数为0.1650=8； （2）因为01元，12元，23元，34元，45元 的频数分别为2，12，10，8，18，所以估计学生零用 钱的最小值为：（20+121+102+83+184） 12.5%=1024（元）； 最大值为：（21+122+103+84
