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1、聚焦2008年高考数学“交汇”试题的五大命题角度田彦武 宁夏银川市第九中学 750001（Email：tywzshtomcom Tel：0951-8129655）“以能力立意”是新高考数学命题的指导思想随着学习的深入，知识积累的增多，数学各部分知识在各自发展中的纵向联系以及部分知识之间的横向联系日益密切，不失时机地构筑知识网络，并在各个阶段逐步扩充与完善因此，高考在考查数学基础知识的同时，注重数学学科的内在联系和知识的综合性，从而在知识网络的“交汇点”处设计试题，这些试题运用知识之间的交叉、渗透和组合，是基础性与综合性的最佳表现形式这在近两年高考中表现的尤为突出。2008年高考数学中将可能从如
2、下五种角度命制“交汇”性试题： 命题角度1：以函数作平台，以导数为工具，考查方程、数列、不等式等知识例1 已知 (I)若k2，求方程的解； (II)若关于x的方程在(0，2)上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明解：（）当k2时，当时，即或时，方程化为，解得，因为，故舍去，所以当时，即时，方程化为，解得由得当k2时，方程的解所以或 (II)不妨设0x1x22，因为，所以在（0,1上是单调函数，故在（0,1上至多一个解若1x1x22，则x1x20，故不符题意，因此0x11x22由得，所以；由得，所以；故当时，方程在(0，2)上有两个解当0x11x22时，由此两式消去k 得，即，因为x22，
3、所以点评：本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力需要考生有较扎实的理论知识及较强的分析问题的能力，同时要具备良好的运算能力本题以函数作为主线，与方程联袂，以求参数的取值范围和证明不等式为最终归宿，充分体现了主干知识在高考中的地位和要求，考查考生的综合数学素养和各种能力例2 已知函数,是方程的两个根(),是的导数,设 (1)求的值；(2)已知对任意的正整数有,记,求数列的前项和解：(1)由已知条件及求根公式得, (2)， 数列是首项,公比为2的等比数列， 点评：本题主要考查函数、导数、一元二次方程、对数、数列等基础知识
4、，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法以及抽象概括能力、逻辑推理论证能力、运算求解能力和创新意识等本题以考生熟悉的一元二次方程作为基础，联系函数、导数和数列知识，使问题的综合性得到进一步加强，真正体现优秀考题的选拔功能命题角度2：以几何为舞台，考查函数性质及导数应用等知识例3如图1所示，等腰三角形ABC的底边AB=，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EFAB，现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PEAE，记BE，表示四棱锥P-ACEF的体积 （1）求的表达式； （2）当为何值时，V(x)取得最大值？ 图1 （3）当取得最大值时，求异面直线AC与PF
5、所成角的余弦值 解：（1）由折起的过程可知，PE平面ABC，易得：，V(x)=（）（2），所以时， ，V(x)单调递增；时 ，单调递减；因此时，取得最大值（3）过F作MF/AC交AD与M,则，PM=，在PFM中， ，异面直线AC与PF所成角的余弦值为点评：本题主要考查函数、函数极值、导数及其应用、几何体体积计算、空间两异面直线所成角的计算等基础知识，考查数形结合思想以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力本题以立体几何搭建平台，首先建立函数关系，是解决本题的关键，然后以导数作为工具求最值，实现知识的迁移和应用，思维跨度比较大，但顺利自然，贴切而又生动，真正实现了知识之间的融合与交汇，考查了
6、学生的综合思维品质和驾驭数学知识解决数学问题的能力另外，第（3）问还可以用向量方法去解决，此处略例4如图2，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值 图2 图3解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图3），则点的横坐标为，点的纵坐标满足方程，解得，其定义域为（II）记，则令，得因为当时，；当时，所以是的最大值因此，当时，也取得最大值，最大值为，即梯形面积的最大值为点评：本题是一道靓题，以解析几何为原材料，考查函数的基础知
7、识及导数的应用，考查最值的求法，将函数与解析几何两块主体内容有机地渗透和联系在一起这种在交汇点设计的试题，注重内容的联系性和知识的综合性，既能增加知识的考查点，又能从学科整体的高度和思维价值的高度考虑问题，能对基础知识考查达到必要深度，可谓视角独特、回味无穷命题角度3：以平面向量为袈裟，考查三角、平面几何和解析几何等知识平面向量是高中数学教材中的新增内容它的引入，不仅给高中数学教学带来了无限生机，而且给高考数学命题也注入了新的活力，这是因为向量具有代数与几何形式的双重身份，它能将数学的很多知识联系起来，成为数学知识的一个交汇点，故为近年来高考数学命题者所青睐例5已知向量，求函数的最大值，最小正
8、周期，并写出f(x)在0，上的单调区间.解：=.所以，最小正周期为上单调增加，在上单调减少.点评：本题主要考查向量数量积的坐标运算和三角函数公式的变形使用以及三角函数的性质这是以向量为背景和依托，考查三角知识的题目这种将三角函数与平面向量联袂上演的题目会成为未来高考中的一个极大亮点，这样命题不仅会使问题的综合性得到进一步的加强，而且有利于培养学生的创造性思维和综合解决问题的能力例6、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点已知与共线，与共线，且求四边形的面积的最小值和最大值解： QPNMFO如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQMN，直线PQ、NM中至少有一条存
9、在斜率，不妨设PQ的斜率为K，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为=+1，将此式代入椭圆方程得(2+)+21=0设P、Q两点的坐标分别为(，)，(，)，则从而，亦即(1)当0时，MN的斜率为，同上可推得，故四边形的面积，令=得=2，当=1时=2，S=且S是以为自变量的增函数，；（）当=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2，|PQ|=，S=|PQ|MN|=2综合（）、（）知四边形PMQN的最大值为2，最小值为点评：本题将向量嵌入椭圆中，使问题情景生动而新颖，自然而贴切主要考查直线与椭圆的位置关系，向量共线与垂直的条件，均值不等式及分类讨论的数学思想方法由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有
10、“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新亮点通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算 命题角度4：以概率为最终归宿，考查函数、导数、数列、向量、几何等知识例7已知一组抛物线，其中为2，4，6，8中任取的一个数，为1，3，5，7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是（ ）ABCD解：由已知条件可知组成条抛物线，从中任取2条的方法数为种，当时，而的值为13，11，9，
11、7，5的抛物线的条数分别为2，3，4，3，2，所以任取2条在处切线平行的有种，所以所求的概率为，选B点评：本题主要考查导数知识、排列组合知识、概率知识及综合应用能力本题将函数、导数、排列组合与概率等知识内容交叉渗透，充分考查了学生在新情景中采集信息、处理信息的能力和综合运用数学知识分析、解决问题的能力这自然也是今后高考命题的一个新方向例8将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）解：连续掷三次骰子出现点数的方法数为种，其中公差为0的等差数列有6个；公差为1或的等差数列有个；公差为2或的等差数列有个所以满足题中条件的概率为，故选B点评：本题主要考查概率知识、排列组合知识及
12、等差数列的性质这种多个知识点的“交汇”，不仅使问题本身具有新意，而且能较好地考查学生的综合应用数学知识的能力和数学素养例9连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（ ）ABCD解：由于 ，所以与不共线，若满足条件，则只须，其概率为，选C点评：本题主要考查概率、向量的综合问题，考查学生分析问题和解决问题的能力该题用向量形式给出概率问题，将两个“新”知识有机地柔和在一起，充分体现出明显的区分度，拉开了档次，让人拍案叫绝！例10在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为 解：从正方体的12条棱任选2条的方法数为，从12条棱中选2条平行的棱的方法数为，所以所求概率为点
13、评：本题主要考查立体几何与概率基础知识，考查学生的综合应用能力本题以立体图形为依托，巧妙地将概率与立体几何结合在一起，情景新颖而又别致，题目虽小，但知识含量不凡这也是今后概率命题的一个新趋势命题角度5：以空间向量作为工具，考查立体几何中线、面位置关系及角度和距离计算例11在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60PABCDOE（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值解：（1）在四棱锥P-ABCD中，由PO平面ABCD，得PBO是PB与平面ABCD所成的角
14、， PBO=60在RtAOB中BO=ABsin30=1， 由POBO，于是，PO=BOtg60=，而底面菱形的面积为2四棱锥P-ABCD的体积V=2=2（2）以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系在RtAOB中OA=，于是，点A、B、D、P的坐标分别是A(0，0)，B (1，0，0)， D (1，0，0)， P (0，0， )E是PB的中点，则E(，0，) 于是=(，0， )，=(0， ，)设的夹角为，有cos=异面直线DE与PA所成角的余弦值是点评：本题主要考查线面关系，直线与平面所成的角、异面直线所成的角以及四棱锥的体积考查空间想象能力和推理运算能力，考查用向量知识解决数学问题的能力第（2）小题也可用传统方法解，此处略。例12如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，是的中点（1）求点到面的距离；（2）求异面直线与所成角的余弦值；（3）求二面角的大小（用正弦值表示）解：（
