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1、重庆三峡学院毕业设计（论文）题目:极值应用问题探讨专 业:数学与应用数学年 级:2009级学 号:200906034224作 者:陈晓指导教师:段会玲（讲师）完成时间:2013年6月目 录摘要IAbstractII1 引言12 一元函数极值有关理论12.1 一元函数极值的定义12.2 一元函数极值存在的条件13 多元函数极值有关理论23.1 多元函数的定义23.2 多元函数存在的条件23.3 多元函数极值的求法33.3.1 无条件极值求法33.3.2 条件极值求法44 应用函数极值解决实际问题64.1 初等数学中的运用74.1.1 求函数在闭区域上的最值74.1.2 证明不等式84.2 运筹学
2、中的运用104.2.1 生产成本最小化方案104.2.2 利润最大化方案104.3 物理学中的运用114.3.1 光的折射定律证明114.3.2 光的反射定律证明124.4 经济管理中的运用124.4.1 市场需求分析124.4.2 最大利润问题144.4.3 成本最低问题154.4.4 库存问题15结束语17致谢18参考文献18极值应用问题探讨陈晓（重庆三峡学院 数学与统计学院 数学与应用数学专业 2009级 重庆万州 404000）摘要: 函数的极值问题是数学研究中非常重要的问题,是经典微积分最成功的应用,在许多实际问题中占有重要地位.生活中经常会遇到求利润最大化、用料最省和效率最高等问题
3、.这些问题都可以转化为求函数的最大、最小值问题,而函数最值问题与函数极值问题有着密切联系.本文就从函数极值的问题进行研究,给出了函数极值的相关定理及多元函数极值的常用求法代入法和拉格朗日乘数法,并介绍了函数极值在初等数学、运筹学、物理学和经济管理中的应用.主要研究了不等式的证明,闭区域求最值,商品市场需求量,企业获得最大利润的生产量,获得最大利润的最小成本等问题.关键词:函数极值;条件极值;最值;极值应用Discussion on Application of Extreme ValueChen Xiao(Grade 2009, Mathematics and Applied Mathemat
4、ics, College of Mathematics and Statistics, Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404000 )Abstract: Extreme value not only is a very important issue in the study of mathematics, but also is the most successful application of the classical differentiation and integration. It plays an
5、very important role many practical problems, for example, maximization of profits, the minimal cost etc. These problems can be solved by calculation of maximum and minimum of functions, and problems with maximum and minimum of functions are most closely relative to extremum problems. In this paper,
6、we give the definition of extreme value and express the extremum principle, and also discuss the evaluation of exrremum: substitution method and Lagrange multiplier method. At last, we focus on the application of extreme value in Elementary Mathematics, Operations Research science, physics and econo
7、mic management, such as proof of inequality, commodity demand volume and so on.Keywords: Extreme value of function; Extreme conditions; The most value; Extreme applicationsI2013届数学与应用数学专业毕业设计（论文）1 引言在日常生活、工程实践和生产技术中,常会碰到这样的问题:在一定的条件下,怎样才能用料最少而所生产的产品最多,或者成本最低等.企业生产成本是影响企业利润的一个重要因素,因此企业经营者为了获得较高的利润,必须
8、在企业经营中考虑如何最大限度地降低生产成本.通常这类问题最后都归结为一个函数极值应用的数学问题,有些通过初等方法就能得到解决.例如,初等数学中的求极值的方法在这类问题的解决中就有着极其广泛的应用.这些都是数学中的极值问题.同样,高等数学函数问题中,函数极值的求法与应用也是一个值得深思的问题.那么本文将从以下几个方面对高等数学中函数极值应用问题进行研究.2 一元函数极值有关理论 2.1 一元函数极值的定义设函数在的某个邻域有定义,如果对该邻域的所有点,都有,则是函数的一个极大值.如果该邻域的所有的点,都有,则是函数的一个极小值.极大值和极小值统称为极值.2.2 一元函数极值存在的条件定理l (第
9、一充分条件):设函数在点的某邻域内连续且可导(导数也可不存在),(1)如果 ,则是的极大值点;(2)如果 ,则是的极小值点;(3)如果在点的邻域内,不变号,则不是的极值点.如果函数在某驻点具有二阶导数.也可用极值的第二充分条件判断.定理2 (第二充分条件):设函数在二阶可导,则为的极大值,反之,则为的极小值.定理3 （必要条件） 设函数在区间有定义,若是的极值点,且在可导,则.3 多元函数极值有关理论 3.1 多元函数的定义定义1 设元函数在点的某个邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于的点都有(或),则称函数在点有极大值(或极小值).极大值、极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.定义
10、2 函数在个约束条件下的极值称为条件极值.3.2 多元函数存在的条件定理3.1（必要条件）若元函数在点存在偏导数,且在该点取得极值,则有 .备注:使偏导数都为的点称为驻点,但驻点不一定是极值点.定理3.2（充分条件）设元函数在附近具有二阶连续偏导数,且为的驻点.二次型1) 当正定时,为极小值;2) 当负定时,为极大值;3) 当不定时,不是极值.记,并记 ,它称为的阶矩阵.对于二次型正负定的判断有如下定理:定理3.3若 ,则二次型是正定的,此时为极小值;若 ,则二次型是负定的,此时为极大值.特殊地,当时,有如下推论:推论3.1若二元函数某领域内具有一阶和二阶连续偏导数,且 令 ,则(1)当时,.
11、(2)当时,没有极值.(3)当时,不能确定,需另行讨论.3.3 多元函数极值的求法3.3.1 无条件极值求法多元函数在定义域内求极值,可按下述步骤进行:(1)令 ,求出的所有驻点;(2)求出在点的Hesinn矩阵;(3)判定正定或负定,若正定,则在点取得极小值;若负定,则在取得极大值.例1 求函数的极值.解: 求解方程组 , 即得四个驻点: , , 进一步计算得,矩阵是正定矩阵,是极小值点.是负定矩阵,是极大值点.,均是不定矩阵,均不是极值点.3.3.2 条件极值求法1) 代入消元法通过一个量用其它量代替的方法达到降元效果,将条件极值化为无条件极值问题来解决一些较为简单的条件极值问题,这种方法
12、适用于约束函数较为简单的条件极值求解,有些条件极值很难化为无条件极值来解决.例2 求函数在条件下的极值.解 由 解得,将上式代入函数,得 解方程组 得驻点 , 在点处,所以不是极值点从而函数在相应点处无极值;在点处,又,所以为极小值点因而,函数在相应点处有极小值极小值为.2) 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法,特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用.求目标函数在条件函数组限制下的极值,若及有连续的偏导数,且Jacobi矩阵的秩为,则可以用拉格朗日乘数法求极值.首先,构造拉格朗日函数然后,解方程组从此方程组中解出驻点的坐标 ,所得驻点是函数极值的
13、可疑点,需进一步判断得出函数的极值.定理4（充分条件） 设点及个常数满足方程组 ,则当方阵为正定（负定）矩阵时,为满足约束条件的条件极小（大）值点,因此为满足约束条件的条件极小(大)值.例3 求椭球在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体的最小体积.解 此椭球在点处的切平面为:化简得:此平面在三个坐标轴上的截距分别为:则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积 由题意可知,体积存在最小值,要使最小,则需最大;即求目标函数在条件下的最大值,其中,拉格朗日函数为由 解得;以上介绍的两种方法为解多元函数条件极值的常用方法,但在实际解题过程中,我们还可以根据多元函数的一些特点选择其它一些特殊解法来快
14、速解题,如标准量代换法、不等式法、二次方程判别式法、梯度法、数形结合法.4 应用函数极值解决实际问题函数极值在初等数学、运筹学、物理学、经济管理、证券投资分析、多元统计分析学里判别分析和主成分分析等问题上都有广泛的应用.下面主要讨论函数极值在初等数学、运筹学、物理学、经济管理中的应用.4.1 初等数学中的运用4.1.1 求函数在闭区域上的最值求函数在闭区域上的最值,一般方法是:先求函数在区域内部的极大极小值,以及边界上的(条件)极大极小值,然后进行比较.或者,直接将全部可疑点的值进行比较,最大者为最大值,最小者为最小值.例4 试求在上的最大值和最小值.解 1) 先求函数在区域内部的可疑点,令,得.应为.故只有唯一解,.2) (再求边界上的可疑点)设令,得方程 因为上,要此方程有非零解,必要得将（1）式乘以,（2）式乘以,相加,注意得3) 将上面求出的可疑值进行比较,可得函数在上的最大值和最小值为:例5 确定在圆域上的最大值和最小值.解 因,故在圆内无极值.最大值和最小值均在圆周上达到.这时令,根据的符号,可知在-1,1上,达到最小,达到最大.从而,.4.1.2 证明不等式1) 用自由极值证明不等式若求得在区域上的最大,最小值分别
