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1、 一，常微分方程的基本概念 常微分方程： 含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.y(n)）=0 (n0).1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。2. 若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。3. 含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3）=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。4. 满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。5. 常微分方程之
2、线性及非线性：对于F（x，y，y，.y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，.y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。 注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本 概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程1. 定义：形如=f（x)(y)的方程，称为分离变量方程。这里f（x），（x）分别是x
3、，y的连续函数。2. 解法：分离变量法. （*）说明： a由于（*）是建立在（y）0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上（y）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中）b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1. 解：由题意分离变量得： 即： 积分之，得： 故原方程通解为： （c为任意常数），特 解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。*例2.若连续函数f（x）满足，则f（x）是？ 解：对给定的积分方程两边关于x求导，得： （变上限求积分求导） 分离变量，解之得： 由原方程知： f（0）=ln2， 代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。解决数学题目有一
4、个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知条件，设法将其转化为已经解决的问题来解决。故可把一些常微分方程方程，通过适当变形，转化为大家熟悉的变量分离方程，进而解决之。 类型1.1.形式： 形如 （2.2）的方程，此类方程称为齐次微分方程， 这里g（u）是u的连续函数。1. 解法：作变量变换 u=， （2.3） 即y=ux，从而： （2.4） 将（2.3）（2.4）代入（2.2），则原方程变为： 这是一个变量分离方程，可按照A中的方法求解。例3.求解方程： 解：令 u=x+y，则y=u-x，于是： 于是，原方程可化为： 分离变量得： 积分之，得：arctanu=x+c 变量回代，既得 方程之通
5、解： arctan（x+y）=x+c例4求解方程. 解：由题意可得：， 即： （2.5） 令，则，于是：， 代入（2.5）得：， 分离变量，并整理得： 两边积分得：，令u= 则有：，从而有： （c0）. 即：，变量回代得：+1 () 类型二：形式：解法：1.当c1=c2=0时， 转化为齐次方程。 2.当时， 则 从而可转化为变量分离方程。 3.当且不全为零时， 解方程组，求交点, 令x=X+，则原方程化为： 这是齐次方程。例5.求解方程. 解： 得交点， 令代入原方程有： 令，则，于是：， 从而有：， 整理得：， 两边积分之，得：， 即： （c10） 即 ：， 变量回代，并整理得： （ c1-
6、=c） 例6. 求解方程. 解：令，则 y=x，从而：， 代入原方程，得：， 整理得：， 分离变量得：， 两边积分之：， 变量回代，并整理得： （c是任意常数） C.线性微分方程和常数变易法1.形式：形如的一阶方程称为一阶线性方 程.当时，称之为齐次的，否则称之为非齐次的.2. 解法：利用常数变易法求解。 其解为：.下面用具体 的题目体现这一思想. 注意：在用公式求解一阶线性方程时，一定要化为标注 标准式（的系数为1），否则易出错. 例7 求方程的通解. 解：首先求线性齐次方程的通解， 分离变量得：，两边同时积分， 得：，因而可设原方程的通解为： ，则 ， 将之入原方程，得： ，即：， 两边积
7、分得：，而 = = = = 从而： （这里没加常 数 ），从而通解为：. D.伯努利方程及其解法1. 形式：形如（）的方程称为伯努利方 程.2. 解法：在方程两边同时成乘以做代换，则伯努利方程转化为新的未知函数z的线性方程，从而可用C中方法解决之.注意：n0时，方程还有解y=0.例8.求方程的通解. 解：方程两边同乘，得：， 即： （2.12） 令 ， 则，将之代入（2.12） 得：. （2.13） , 记（2.13）之通解为：， 于是：，将以上两式代入（2.13） 得：， ，变量回代得原方程之 通解为：，此外，方程还有解y=0.例9.解方程. 解：这是n=3时的伯努利方程，令z=， 则方程可
8、化为：，这是一阶线性方程， 应用公式得： = 这样，方程之通解为：， 另外，方程有解：y=0. E.恰当微分方程与积分因子 1. 形式：对于一阶方程 （2.14） 如果其左端是某一函数的全微分，即，则称此方程为恰当微分方程.2. 条件：若（2.14）中的在某一单连通区域D有一阶连续的偏导数，则（2.14）为恰当微风方程 的充要条件为： ，.3. 解的形式：.4. 解法：a.朴素化简法：由，得， 再由，得 由上式解得，在积分之既得. (当然这种解法具有对称性) b.分项组合法：通过例题予以说明.（宜熟记课本54页（2.55） c.利用原函数之积分仅与起始点有关，而与道路无 关求解.（旨在提醒有此
9、法，一般不用） 例10.求的通解. 解：这里，此时： 因此为恰当微分方程. a.朴素化简法. 令 （2.15） （2.16） 对（2.15）关于x积分，得 （2.17） 对（2.17）两边关于y求导，并对照（2.16），得： ，于是 积分之，得：，将代入（2.17），得： ，从而通解为： b.分项组合法. 将上面方程重新组合得： ，即： ，亦即：， 从而通解为:.（此种方法需要多观察）例11 求解方程 . 解：因为：， 故此方程为恰当微分方程.分项组合得： ，即 ， 从而方程之通解为：.5. 定义：能使非恰当微分方程变成恰当微分方程的连续可微函数u（x，y）（），称之为该方程的积分因子.即，满
10、足 .5. 积分因子(只与x，y有关)的求解： a.与x有关的积分因子.由得：， b.与y有关的积分因子.由得：.例12.求方程的通解. 解：由于，故此方程不是恰当微 当微分方程。又，故方程有只与x有关的 .这样，在原方程两边同乘得： ，分项组合得： ，即：， 故通解为：，（）例13.求解方程.解：由于，故此方程不是恰当微分方 程.而，故方程有积分因子： ，方程两边同乘，得： ，分项组合得：， 即： ， . F.一阶隐式微分方程与参数表示. 本节虽然考试会涉及到一些，但分量相对较小.大家可以少花些时间（做好，做懂课后习题即可）.在这里，此稿也就不说及其形式与解法了. 三.一阶微分方程解的存在定
11、理1. 利普希茨条件：对于，如果存在常数L0，使之在R（R：）上满足不等式，则其关于y满足利普希茨条件。2. 如果在矩形域R上连续且关于y满足利普希茨条件，则 （3.1）存在唯一解，定义域区间上，连续且满足初值条件，这里：，.3. 满足初值条件的皮卡的逼近函数序列： （一致收敛，且为（3.1）的第n次近似解）4. 误差估计：5. 寻找解的存在唯一性定理的条件所满足的区域，就是寻找f（x，y）连续和满足利普希茨条件的区域，困难在于利普希茨条件的验证.除用定义外，还常用下面的结论：在D上存在且有界，则f（x，y）在D上满足利普希茨条件；若在D上存在且无界，则不满足李普希茨条件. 例14.方程定义在区域R：上，是利用存在唯一性定理确定过点（0,0）的解的存在区间，并据此寻找误差不
