地图学的数学基础3讲解

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1、4常用地常用地图图投影投影 方位投影 圆锥投影圆柱投影 等 角 正 轴 切 等 积 斜 轴 切 等 距 正 轴 割 等 积 正 轴 割 等 角 正 轴 割 等 角 正 轴 切 其它主要地图投影 1.按变形性质分类 地图投影地图投影 等角投影等角投影等面积投影等面积投影任意投影任意投影 三种变形的比较 由变形椭圆看投影变形 等角 等距 等积 ）等角投影 角度变形为零，=0，a=b（或=90， m=n），变形椭圆是圆。在小区域内，投影后的 图形与实地是相似的，故又叫正形投影。 在一点上任何方向的长度比都相等，但在 不同地点是不同的，圆形大小不同，从大范围来 讲，投影后的图形与实地并不相似。 多用于

2、编制航海图、洋流图和风向图等。 2）等积投影 面积变形等于零,Vp=0, P=a.b=m.n.sin=1。 在不同点上，变形椭圆的长、短轴发生 变化，但此消彼长，形状变化较大，角度变形 比别的投影亦大。 有利于图上面积对比。常用于对面积精 度要求较高的自然和经济地图。 3)任意投影 长度、面积和角度都有变形，但又都不大 。 任意投影中，有一种等距投影。它不是没 有长度变形，只是在特定方向上没有长度变形。 等距投影的面积变形小于等角投影，角度 变形小于等积投影。 多用于一般参考用图和教学地图。 三种变形的关系： 小结： （1）在等积投影上不能保持等角特性， 在等角投影上不能保持等积特性。 （2）

3、等积投影的形状变形比较大，等角 投影的面积变形比较大。 （3）在任意投影上不能保持等角和等积 的特性 1.按变形性质分类 地图投影地图投影 几何投影几何投影非几何投影非几何投影 2.按地图投影构成方法分类 1）几何投影：建立在透视的几何 原理上，它是把椭球面直接透视到平面上 ，或透视到可展开的曲面上，成为有几何 意义的投影。 方法：假设将地球按比例缩小成一个透明的地球仪般的球 体，在球心、球面、或球外安置一个光源，将地球仪上的经纬 线、控制点、地物及地貌图形投影到球外的一个平面或可展曲 面上，即成为地图。 透视投影示意图 方位和圆柱投影 球心正轴方位投影的几何做图法 方位投影: x=cos y

4、=sin 几何面的变化引出的投影 变化 几何透视法是一种最初级的投影 方法，它不能将全球都投影下来；多数情况 下不能用此法构建经纬网图形。当前绝大多 数地图投影都采用数学分析法。 1）几何投影分类 根据几何面形状，分为： （1）方位投影：以平面 作为投影面 相割 相切 正轴 横轴 斜轴 正轴的经纬线形状称为标准网。 纬线为同心圆，经线为同心圆的半径 ，经线间的夹角等于相应的经度差。 方位投影的几种情况 正轴方位投影的变形规律 正轴 横轴 斜轴 无穷远 球外处 等角正轴切方位投影（又称球面极地投 影）： 特点：1.极点为中心； 2.纬线为同心圆； 3.经线为辐射的直线。 4.中心部分变形较小，向

5、外变形逐 渐增大。 用于编绘两极地区国际：万地形图。 等积斜切方位投影；（又称兰勃脱投影地平投 影） 特点：1.投影中心随需要而定。 2.中经为直线，纬线为同焦点椭圆弧 主要用于编制亚洲、欧洲、北美等大地区图 。 陆半球图。 等积斜切方位投影应用举例： 水半球图 等积斜切方位投影应用举例： 投影中心：东105，北30；： V 中国全图 1 2）圆柱投影： 以圆柱面作为投影面，最 后将圆柱面展为平面而成。 正轴 斜轴 横轴 相切 相割 正轴圆柱投影： 纬线为一组不等距平行线，经线为 与纬线垂直、且间隔相等的平行直线。 正轴圆柱投影示意图切、割圆柱投影变形 等角正切圆柱投影 是荷兰学者墨卡托于15

6、69年所创，又 名墨卡托投影。 其经线为竖直等距平行直线，纬线为 非等距垂直于经线的平行直线。 墨卡托投影的变形规律 1. 投影图上各纬线与赤道等 长，被放大了1/cos倍，由mn 知：则经线亦作了同样的放大。 2.离赤道愈远（纬度愈高）， 纬线间距愈大。面积变形愈大（ 是纬线增大倍数的平方） 。北极 地区的格陵兰岛原为南美洲的1 8，图上竟比南美洲大。 格陵兰岛 南美洲 墨卡托 投影 等角航线：是地球表面上与经线相交 成相同角度的曲线。在地球表面上除经线 和纬线以外的等角航线，都是以极点为渐 近点的螺旋曲线。 等角航线在图上表现为直线。这一特 性对航海具有很重要的意义。 大圆航线：地球面上两

7、点间最短距离是 通过两点间的大圆弧，也称为大圆航线。 好望角墨尔本 墨卡托投影将等角航线投影为直线（即 斜航线），按此直线的方位角航行，一直 可以到达目的地。 等角航线不是大圆航线（正航线） 例：好望角墨尔本，等角航线为 6020，大 圆航线为 5450海里。 地图上等角航线 （除经线和赤道 外），在球面上 是以极点为渐近 点的螺旋曲线。 球心投影（透视方位投影中的一种）图上的大圆航线 正轴等角圆柱投影 墨卡托投影。 墨卡托投影应用： 1.在航海业上得到广泛的应用。 2. 还用于编制赤道附近等国家和地区的地 图， 3.作世界时区图和卫星轨迹图。 用墨卡托投影表示卫星轨迹 3）圆锥投影： 以圆锥

8、面作为投影 面，最后将圆锥面展为 平面而成。 相割 相切 正轴 斜轴 横轴 正轴圆锥投影： 纬线为同心圆弧，经线为同心圆弧的 半径，经线间的夹角与相应的经差成正比 。 正轴切圆锥投影示意图 圆锥投影变形规律图 等距正轴割圆锥投影： 特点：1.纬线呈同心圆弧，经线呈辐射的直 线束； 2.两条标准纬线无长度变形； 3.两条标纬之间，变形为负，两外侧 为正； 适于：东西方向长、南北方向稍宽的区域。如 苏联全图。 等积正轴割圆锥投影 特点：1.经纬线形状同等距正轴割圆锥投影。 2.由.sinl 条件知，经线以纬线缩小 的程度放大。则两标纬外侧经线放大。内侧缩小；变 形情况如图示。 3.角度变形：离标纬

9、愈远，变形则愈大。 适于 1.东西南北近乎等大的地区， 2.要求面积正确的各种图。 经纬线形状变形规律 等角正轴割圆锥投影 特点： 1.经纬线形状同等距正轴割圆锥 。 2.由保角知：mn，经线与纬线 作相同的缩放，两标纬内侧缩小，变形为负， 外侧放大，变形为正。 3.标纬上无变形，离开标纬愈远 ，变形愈大 。 适于：要求方向正确、形状相似的自然图 、 （风向图、洋流图等）和航空图，并 广泛用作各种比例尺地形图的数学基础 一、在百万分一普通地图中应用 1. 1962年波恩百万分一国际地图会议 上提出了使用等角正割圆锥投影。 2. 1978年我国用作 1：100万分幅地形 图的投影。 3.投影特点

10、： .投影带的划分：国际标准，纬差4 为一带，从赤道起，由南到北共分15次（我 国位于北纬460）独立投影，单独计 算坐标。每带的两标纬按下式近似求出： 1=0；= 据上述，投影不同经纬线网形状不 同。反映的是变形分布的差异，为了使地 图上尽量减少变形，通常按照制图区域的 范围、所在的地理位置及轮廓形状选用不 同的投影方法。 2）非几何投影(数学分析法) 为了使地图满足某些特定要求，地图 投影就得跳出借助于几何面构成投影的局限 性，而建立按数学条件构成的投影。 不借助于几何面，根据某些条件，用 数学解析法，确定球面与平面之间点与点的 函数关系。 以正轴等角圆锥投影为例 投影后经纬线特点： 1.

11、纬线为同心圆弧， 2.经线为同心圆弧的半径， 3.两条经线间的夹角与球面相 应经差成正比。 =,式中为圆锥系数。 cos 伪方位投影 1.纬线为同 心圆； 2.中央经线 为直线； 3.其余经线 为对称于中央经线 的曲线，且相交于 纬线的共同圆心。 伪方位投影经纬线图 其它投影简介 伪方位投影 经纬线形状： 1.纬线为同心圆 圆弧； 2.经线为对称于 中央直经线的曲线 。 因纬线相当于方 位投影，而经线又 不同于方位投影， 故称之。 其它投影简介 伪圆柱投影 伪圆柱投影 纬线为平行直线，中央经线为直线， 其余的经线均为对称于中央经线的曲线 。 伪圆柱投影(桑逊投影) 经线为对称于中经（直线）的正

12、弦曲线； 纬线为等距平行线， 伪圆柱投影 等积 （一）、桑逊投影 投影特性： 1.等积（P1）； 2.所有纬线无长度变形（n1）； 3.中央经线保持等长（m1）。 4.该投影离中经愈远、纬度愈高变形愈大 。 适于：沿赤道或中央经线伸展的地区。 摩尔威特（Mollweide）投影 经线为椭圆弧的等积伪圆柱投影， 1.经线为对称于中央直经线的椭圆，赤道长 度是中央经线的2倍；纬线为间隔相等的平行直线，每条 纬线上经线间隔相等。 2.90的经线投影成一个圆，面积等 于地球面积一半。由德国摩尔威特于1805年设计。 投影特点： P = 1 无面积变形 S90 = Searth / 2 赤道长度= 中央

13、经线 2 常用于编制世界地图 及东、西半球地图 S90 = Searth / 2 4044 11.8 伪圆柱投影 等积 伪圆锥投影 1.纬线为 同心圆弧； 2.中央经 线为直线； 3.其余经 线为对称于中 央经线的曲线 。 伪圆锥投影 （等积）彭纳投影 亚 洲 部 分 用于编制中、小比例尺较大地区的地图 （如亚洲与欧洲地图）。 多圆锥投影 1.纬线为同 轴圆弧其圆心均位 于中央经线上； 2.中央经线 为直线， 3.其余经线 均为对称于中央经 线的曲线。 多圆锥投影示意图 等差分纬线多圆锥投影 1.经线对称于中央直经线，离中央 经线愈远，经线间隔成等差比例递减 ； 2.纬线投影为对称于赤道的同轴

14、圆 弧，其圆心位于中经上； 3.极点表示为圆。其长度为赤道投 影长度的二分之一。 它是任意投影。我国的世界地图 多采用该投影。 我国位于地图中接近中央的位置， 形状比较正确。 哈默（Hammer）投影 该投影的横坐标是等面积圆柱和伪圆柱投影（桑逊投 影）两者的算术平均值，纵坐标由等面积条件导出。 投 影属于等面积性质。用于制作世界地图。 其它投影简介 桑逊分瓣投影 为了改善桑逊投影离中经愈远、纬度愈高变形愈大。 对不同区域采用不同的中央经线，而在赤道上连接在一起 分瓣。本图是保持世界上陆地完整而将海洋部分裂开。 其它投影简介 古德分瓣投影 其它投影简介 摩尔威特古德分瓣投影 其它投影简介 圆锥

15、、伪圆锥组合分瓣投影 利用圆锥和伪圆锥投 影在某一条纬线处进行组 合。 该投影的经纬线网和 变形，与所采用的各个组 合投影相同。 为了保持大陆完整， 而将南半球海洋裂开。 它应用于小比例尺大 地区的地图。 其它投影简介 心形投影 以北极为投影主点 ，中央经线等长并保 持等面积。 该投影中仅北极附 近保持较正确的图形 。 其它投影简介 星形投影 中央部分是一个正轴等 距离方位投影， 其外部是机械划分的。 纬线为同心圆圆弧，经线 则等分地会聚于五个点， 形成一个五角星。 可供地图集及地图制图 书刊装饰用。 其它投影简介 正方体中心投影 将地球内接于一 个正立方体中，以中心 投影将球面上经纬网投 影

16、到正立方体面上进行 展开。 该投影中所有经线 和赤道投影为直线，纬 线为曲线。 该投影用作世界地 图装饰图案。 其它投影简介 三角形等面积投形 经线为交于一点的倾斜直线，纬线为 平行线，具有等面积性质。 我国清代内府舆图用此投影；它 是以东侧经线、西侧的经线与纬线倾斜成45角 而绘制的。 其它投影简介 阿木狄罗（Armidillo）投影 有立体感 。给人以自球 剥离下来而没 有展平的印象 。 此投影对 欧洲及附近较 好。 边缘 部分有变形大 。属于任意性 质。其它投影简介 某种透视方位投影 选取适当的视点，使 制图区域的远处背景出现 弧形的地平线和部分天空 ，而经纬线网呈现球状感 ，具有立体效果。 作为宣传图的数学基 础。 如透视方位投影中的 外心投影、正射投影。 其它投影简介 放大镜式投影 其它投影简介 课后作业： 1 1 利用已经介绍的方法，总结