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1、3 - 1 第三章 随机变量的数字特征 概率论与数理统计教程 （第四版） 高等教育出版社 沈恒范 著 3 - 2 大纲要求 3 - 3 3.1 数学期望 3.2 随机变量函数的数学期望 3.3 关于数学期望的定理 3.4 方差与标准差 3.5 某些常用分布的数学期望及方差 3.6 原点矩与中心矩 3.7 协方差与相关系数 3.8 切比雪夫不等式与大数定律 学 习 内 容 3 - 4 3.1 数学期望 一. 离散随机变量的数 学期望 二. 连续随机变量的数 学期望 三. 二维随机变量的数 学期望 3 - 5 若级数绝对收敛，即 则称级数为X的数学期望,记为E(X). X 记作 设X是离散随机变量
2、，其概率函数为 离散随机变量的数学期望 3 - 6 解: 计算X1的数学期望, 由定义有 E(X1) 例1. 甲,乙两人进行打靶, 所得分数分别记为 X1, X2, 它们的概率分布表分别为: X1 0 1 2 X2 0 1 2 P(xk) 0 0.2 0.8 p(xk) 0.6 0.3 0.1 试评定他们的成绩好坏. 而乙的得分为 =00+1 0.2+2 0.8=1.8 (如甲进行很多次射击, 其得分的平均分为1.8) E(X2)=00.6+1 0.3+2 0.1=0.5 显然,乙的成绩比甲的差. 3 - 7 设X是连续型随机变量，其密度函数为f（x），如果 积分绝对收敛，即 则积分为随机变量
3、X的数学期望，记作 连续随机变量的数学期望 3 - 8 例2 设随机变量X的概率密度为 求X的数学期望。 例3 设随机变量X服从柯西分布，其概率密度为 求X的数学期望。 3 - 9 二维随机变量的数学期望 离散r.v. 连续r.v. 3 - 10 3.2 随机变量函数的数学期望 一. 离散r.v.的函数的 数学期望 二. 连续r.v.的函数的 数学期望 3 - 11 是X的函数，它的取值为 则有 （2）设X是连续随机变量，其密度函数为 又 是X的函数，则 （1）设X是离散随机变量，其概率函数为 3 - 12 例2 设随机变量X的概率密度为 求Y=2X1的数学期望 。 例1 一汽车沿一街道行驶，
4、需要通过三个均设有红 绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为 红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等 。以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口 数,求X的概率分布与 。 3 - 13 例3 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整 点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行，假设一游客 在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在0,60上服从 均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。 解：已知 ，其概率密度为 设随机变量Y是游客等候电梯的时间，则 则随机变量Y的数学期望为 3 - 14 3.3 关于数学期望的定理 定理1 E(c)=c; 其中c是常数； 定理2 E(aX)=
5、aE(X); 定理3 E(X+Y)=E(X)+E(Y)； 定理4 注意：E(X-Y)=? 3 - 15 定理5 两个独立随机变量X，Y，则 定理6 有限个独立随机变量 ，则 例1 某保险公司规定，如果一年内，顾客 的投保事件A发生，该公司就赔偿a元，若 一年内事件A发生的概率为P，为使公司收 益的期望值等于a的10%，该公司应该要求 顾客交多少保险费？ 3 - 16 3.4 方差与标准差 一. 方差、标准差的定义 二. 方差的计算公式 三. 方差的性质定理 3 - 17 (1) 设X为随机变量, E(X)存在, 称X-E(X)为离差; 显然, EX-E(X)=0 (2) 设X为随机变量,E(X
6、)存在,且EX-E(X)2存 在,则称此数学期望为X的方差,记为: D(X)= EX-E(X)2 (3)为X的标准差或均方差. 注意:方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度. 方差、标准差的定义 定义: 3 - 18 方差的计算公式 3 - 19 方差的性质定理 (1) D(c)=0; (2) D(aX)=a2D(X) (3) D(X+b)=D(X) (4)D(aX+b)=a2D(X) (5)两个独立随机变量 (6)有限个独立随机变量 注意：若 相互独立， 3 - 20 课 堂 练 习 1.设X,求下列X的函数的数学期望. (1)2X-1, (2)(X-2)2 3. 随机变量X只取-1,0,1
7、三个值,且相应概率比为 1:2:2,又Y=X2,求 (1)E(X), (2)D(X), (3)E(Y), (4)D(Y)。 2. 设X, 求E(X),D(X). 4. X,Y独立，D(X)=6，D(Y)=3，则D(2X-Y)=（ ） 。 3 - 21 3.5 某些常用分布的数学期望及方差 （1）若则 （2）若 则 （3）若 则 （4）若 则 （5）若 则 （6）若 则 3 - 22 1 设随机变量XP(2), 则E(X)=( ), D(X)= ( ), E(X2)=( ) 2 若随机变量XB(n, p), 已知E(X)=2.4， D(X)=1.44, 则n=( ), p=( ) 例题 3 若随
8、机变量XU(a, b), 已知E(X)=2.4， D(X)=3, 则a=( ), b=( ) 3 - 23 3.6 原点矩与中心矩 (1) 若E(Xk), k=1, 2, 存在, 则称它为X 的k阶原点矩. 记作 (2) 若EX-E(X)k, k=1, 2, 存在,则称它为X 的k阶中心矩. 记作 特别：k=1时， 特别：k=1时， k=2时， 3 - 24 3.7 协方差（相关矩）与相关系数 离散 r.v. 连续 r.v. 注： 相关矩描述随机变量之间的相关性； 3 - 25 相关矩的性质 3. Cov(X, Y)=Cov(Y, X); 4. Cov(a1X+b1, a2Y+b2)=a1a2
9、Cov(X,Y), 其中a1, a2, b1,b2是常数; 5. Cov(X1+X2, Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2, Y); 1. Cov(X，X)=DX； 2. Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y); 6. 若X, Y相互独立, 则Cov(X, Y)=0; 反之不成立. 注意：若随机变量X与Y不相互独立，则（X+Y） 和（X-Y）的方差与协方差的关系 3 - 26 相关系数 标准化随机变量 与 的协方差 ，称为随机变量X和Y的相关系数，记作 即 由协方差的定义，得 3 - 27 相关系数的性质 定理1 定理2 当且仅当随机变量Y与X之间存在线性关系 时，相关系数 的绝
10、对值等于1，并且 定理3 设随机变量X与Y独立，则他们的相关系数 等于零，即 。 3 - 28 3.8 切比雪夫不等式与大数定律 一. 切比雪夫不等式 二. 大数定律 切比雪夫定理 辛钦大数定理 伯努利定理 3 - 29 切比雪夫不等式 等价形式为： 设随机变量X有数学期望E(X)和方差D(X) ， 则对于任意正数 ，下列不等式成立 3 - 30 课 堂 练 习 例 1 设随机变量 X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式 有 例 2 设随机变量X 和 Y 的数学期望分别为-2 和 2 ，方 差分别为1 和 4 ，而相关系数为 0.5， 则根据切比雪 夫不等式有 例3 已知随机变量 X 的概率分布
11、为 X 1 2 3 p 0.2 0.3 0.5 试利用切比雪夫不等式估计事件的概率. 3 - 31 大数定律： 切比雪夫定理 大数定律！描述了大数量的随机试验的平均结果的 稳定性，它揭示了随机现象的一种统计规律性. 设随机变量序列 相互独立，且均存在数学 期望 ，方差 (n=1,2,.), 则对任 意的0 ，有 3 - 32 依概率收敛 设随机序列 a 是一个常数，若对于给定的正数 ，有 则称序列依概率收敛于a. 切比雪夫定理 ! 3 - 33 设随机变量序列Xn是独立同分布的，且有相 同的期望与方差： ， (n=1,2,.), 则对任意的0 ，有 算术平均值法则！ 辛钦大数定理 3 - 34 伯努力定理 频率的稳定性！小概率事件 ！ 设每次实验中事件A发生的概率为p，则事件A 在n次试验中发生的频率 ，当试验次数 时，则对任意的0 ，有 3 - 35 本章小结
