《任意角三角比》由会员分享，可在线阅读，更多相关《任意角三角比（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 任意角的三角比 一、任意角 1.任意角的概念：在平面内由一条射 线绕着它的端点旋转所成的图形叫做 角射线的端点叫做角的顶点，旋转 开始时的射线叫做角的始边，终止时 的射线叫做角的终边. 正角逆时针旋转的角， 负角顺时针旋转的角， 零角不作旋转的角。 2.终边相同的角: 角的顶点与原点重合， 角的始边与x轴的正方向重合，凡有相 同终边的角都互称为终边相同的角 n两个终边相同的角，它们相差3600的 整数倍。 n任一角终边相同的角有无穷多个终 边相同的角连同角在内可表示为： k3600+ ,或2k+ ，（kZ) 3. 象限角:角的顶点与原点重合，角 的始边与x轴的正方向重合，角的终 边落在第几象
2、限内，这个角就叫做 第几象限的角终边落在坐标轴上 的角，不属于任何象限. 为了需要，我们常在直角坐 标系中讨论角，使角的顶点和始 边分别与坐标原点和x正半轴重 合，考察角的终边的位置。这样 就形成了终边落在坐标轴上或象 限角的概念，以及象限角的区间 表示，用弧度制和角度制表示角 的时候，有下表： 角度制 弧度制 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 (k3600, k3600+900) (k3600+900, k3600+1800) (k3600+1800, k3600+2700) (k3600+2700, k3600+3600) 这里用区间表示的象限角的方 法，有时可以改变它的形式。如用
3、(2k- , 2k)kZ也表示第四 象限角，两者的一致性是由k取整 数决定的，故字母的取值范围一般 不能省。还应注意我们已学过的锐 角，直角和钝角这些概念与象限角 应加以区别。 二弧度制 1角度制 ：周角的1/360叫做1度角，记 为10； 2弧度制：弧长等于半径的圆弧所对的圆 心角叫做1弧度的角，用“弧度”做单位 来度量角的制度叫弧度制。 n规定：正角的弧度数是正数； 负角的弧度数是负数； 零角的弧度数是零； n单位“弧度”两字常可略去。 3弧长公式：圆弧的长等于 圆弧所对圆心角的弧度数的 绝对值与半径的积 l=r 4.扇形面积公式 ：S= l r (l是扇形的弧长，r是扇形的半径) 5.
4、弧度的意义：将任意角的集合和实 数集R之间建立一一对应关系. 三.任意角的三角比的定义： 1.锐角的三角比的定义： nsinA= ncosA= ntgA= nctgA= 2任意角的三角比的定义：设是任意大小的 角，终边上任一点P的坐标是(x,y)，它与原 点的距离是r(r0)，那么的六个三个函数定 义为： 角的顶点与始边分别和坐标原点以及x 正半轴重合，终边上一点P(x,y)，P到原点 的距离为r,(r= ) 在直角坐标系中，任意一个角都对应着 一条射线oM。于是，角的六种三角比只 与射线oM的位置有关,另一方面，两点确定 一条直线，可以知道，平面上任一点P与原 点o（0，0）就唯一确定了射线
5、oM；因此 ，任意角的三角比仅与角的终边位置有关 ，而与终边上所取的点P的位置无关。 3三角函数值的符号 各三角函数值在各象限的符号如下图 所示： 4特殊角的三角函数值 5.三角函数的定义域 sin |R cos |R tg|R，k+/2,kZ ctg |R，k，kZ sec |R，k+/2，kZ csc |R，k，kZ 终边在x轴正半轴 终边在x轴负半轴 终边在x轴 终边在y轴正半轴 终边在y轴负半轴 终边在y轴 例1 ：集合M=|= ， N=|= ， 那么集合M与N的关系是（ ） (A)M N; (B)M=N; (C)M N; (D)不确定； 例2：终边在坐标轴上的角的集合 。 例3：把-
6、 表示成2k+，使|最 小的的值是 。 C 例4：若是第三象限的角，则/2是第几 象限的角 ；2是第几象限的角 。 例5：已知扇形OAB的圆心角为1500，内 切圆的面积为36cm2，求弧AB 的长和 扇形OAB的面积。 例6：已知角与的终边关于y轴对称， 则角与的关系 . 例7：已知扇形的周长为20cm，求它的 面积的最大值。 例8：已知角的终边经过点P（2，-3）, 求的六个三角函数值 例9（1）将11230化成弧度制。 （2）将 化成角度制。 （3）10 约等于多少弧度（保留四个 有效数字）。 （4）3弧度约等于多少度（精确到整 数度）。 4 9 解： （1） 11230 弧度 （2）
7、弧度 =8 （3） 1 0.017453弧度， 10 10 0.017453=0.17453 0.1745弧度 （4） 1弧度 57.3 ， 3弧度 3 57.3 =171.9 172 5 8 4 9 4 9 180 说明 在掌握角度制、弧度制的互化 的同时，也应记住近似互化公式 。（上述计算过程，也可以用计 算器来完成）。 例10、 在0 360 (或02 ）的范围 内找出一个与以下各角终边相同的 角，并判别下列各角分别属于哪个 象限 （1）-546 （2）1998 （3）-21.3 （4）-5 解：（1）设所求的角是 ，与-5460角有相 同终边的角是 k36005460，k Z， 而0
8、3600， 0 k360054603600， 解得，546/360 k 1(546/360)， 即1(186/360) k 2+(186/360)， 其中k Z ，所以k=2, 于是2360054601740， 又因为1740与-5460终边相同， 所以-5460属于第二象限。 （1）的另解：546720 174 2360 174 以下分析同上。 （2）1998 5 360 198 ， 198 1998属于第三象限。 （3）21.3 22 0.7 11 2 + (7)/ 10 （7）/10，21.3 属于第二象限 （4）1弧度57.3 ， 5弧度5 57.3286.5 5弧度1 360 73.
9、5 73.5 ， -5属于第一象限角。 说明：（1）的两种解法揭示了 k3600+ 等价于 = -k3600 ， k Z（弧度制情况类同）。 掌握终边相同的角的表示的方法是 ：“大角”化“小角”，负角 化非负角 。 （4）体现了角度制、弧度制近似值互 化的重要性。 例11. 下列各区间能表示第一象限角的集合是（ ） （A）( 2l ,2l + /2 ) （B） ( 2k,2k+ /2 k Z （C） ( m， m + /2 )，m是偶数 （D） ( 4n， 4n + /2) nZ 答案：表示第一象限角的集合是 ( m， m + /2 )，m是偶数 说明 象限角的区间表示应注意： 1、区间中的字
10、母取值范围。 2、区间的开、闭性。 3、表示区间的左端的数应小于该区间 的右端的数。这里D表示的集合是 第一象限角的集合的真子集。 例5 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与 x轴的正方向重合， 的终边上一点P（ 5a,-12a）,(a0)。 求Sin,cos ,tg的值。 分析： 根据三角比的定义，应先求出r,注 意隐含条件r0 。 解： 0, r= (5a)2+(-12a)2 =13|a|=-13a sin= = cos= =- tg= =- 5a -12a 5 12 -13a 5a 5 13 例6 已知：角的顶点与坐标原点重 合，始边与x正半轴重合，且的 终边上一点P到原点的距离为34， Sin=-8/17 ，求点P的坐标。 说明： 任意角的三角比是用坐标定义的， 因此，应特别注意终边上的点的坐 标的符号关系。 与的终边互为反向延长线 与 关系 在周角内找一个与以下角的终边相 同的角，并判别下列各角分别属于 哪个象限. 解: 是第二象限角,则是第几象限角 .解: 第一、二、四象限.
