圆锥曲线中一类垂直问题的探究_孙登

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1、教学月刊中学版 教学参考2013年第5期 数值. 即要证 ak+1= 1 ak + a1 ，势必要证 ak 1 1-a 对一 切 nN*都成立， 这样， 问题转化成只需用数学归 纳法证明： 1 an 1 1-a 对一切 nN*都成立. 证明：当 n = 1 时， a1= 1 + a1 ，而 1 - a21 ， 1 a 1 1-a ， 即 1 a1 1 1-a 成立. 设 n = k（k1 ）时不等式成立，即 1 ak 1 1-a ， 那么， 当 n = k+ 1 时， ak+1= 1 ak + a1 - a+ a = 1 ， 而 ak1 ， 1 ak 1 ， ak+1= 1 ak + a1 a

2、， 因为 1 - a21 ， 1 + a 1 1-a ，所以 ak+11 + a 1 1-a . 由、 知 1 an 1 1-a ， 故不等式 an1 对一 切 nN*都成立. 评析： 有些要证的数列不等式难于处置或没有 思路时， 可考虑是否将命题变换一下， 换一些与之 相关的命题， 也就是寻找过渡命题， 从而获得解决 问题的办法. 圆锥曲线的定义、 方程和性质， 无不体现着代 数形式与几何性质的和谐统一， 其中存在的诸多定 值问题也绝非偶然， 而是由圆锥曲线的定义及特性 所决定的. 近年高考经常考到圆锥曲线中的一些垂 直问题. 探索圆锥曲线中一类垂直问题的性质， 既 能拓展学生的思维， 又能

3、把握高考动态， 进而回归 课本， 达到复习提高的效果. 先看椭圆中一类垂直问题的探究. 当然，此处 的垂直是指椭圆上两点与椭圆中心之间的连线互 相垂直. 问题 （改编人 教版选修 4 - 4第 1 5页习题与2 0 0 9 年山东理科高考 题 ） 已知椭圆方程 为x 2 8+ y2 4= 1 ， 如图 1 所示， A， B 分别 为椭圆上的两点， 且 OAOB （O 为坐标原点 ） ， 判断 1 OA 2+ 1 OB 2是否为定值， 若是， 求出该定值； 若不是， 请说明理由. 我们可以引导学生用直接法、 代数法、 方程法 或极坐标法等方法求得 1 OA 2+ 1 OB 2的值为定 值 3 8

4、 . 一、 引导探究， 拓展思维 探究 1 上述结论在一般的标准方程中成立 吗？ 此结论对焦点在 y 轴上的椭圆成立吗？ 结论：已知椭圆方程为x 2 a2+ y2 b2= 1 ， A， B 分别为 椭圆上的两点， 若 OAOB， 则 1 OA 2+ 1 OB 2= 1 a2+ 1 b2. 探究 2 此问题的逆命题成立吗？ （1 ） 当 OA 或 OB 所在的直线的斜率有一个为 0 时， 不妨设 OA 所在的直线的斜率为 0 ， 则 OA= a， 孙登毛光寿 （永嘉中学， 浙江永嘉325100 ） 图 1 y x2 2 姨 2 A OB 备课参考 61 教学月刊中学版 教学参考2013年第5期

5、于是得 OB= b， 从而有 OAOB； （2 ） 设 OA所在的直线斜率为 k10 ， OB所在的 直线斜率为 k20 ， 由 y= k1x， x2 a2+ y2 b2= 1 ，得 x2= a2b2 a2k1 2 + b2 ， y2=a 2 b2k1 2 a2k1 2 + b2 . 所以 OA 2 =a 2 b2（k1 2 + 1 ） a2k1 2 + b2 ；同理可得 OB 2 = a2b2（k2 2 + 1 ） a2k2 2 + b2 ，所以 1 OA 2+ 1 OB 2= a2k1 2 + b2 a2b2（k1 2 + 1 ）+ a2k2 2 + b2 a2b2（k2 2 + 1 ）=

6、 a2+b2 a2b2 ， 化简得 k1k2= 1 . 所以逆命题不成立的 （其实， 反例可以直接在 上题特殊数据中举出 ） . 探究 3 已知双曲线中心为 O， 实轴、 虚轴的长 分别为 2 a， 2 b （ba0 ） ， A， B 分别为双曲线上的两 点， OAOB， 请探究 1 OA 2+ 1 OB 2是否为定值？ 探究 4 已知双曲线中心为 O， 实轴、 虚轴的长 分别为 2 a， 2 b （ba0 ） ， A， B 分别为双曲线上的两 点， 1 OA 2+ 1 OB 2= b2-a2 a2b2 ， 试研究： OAOB 是 否成立？ 探究 5 已知抛物线 y2= 2 px（p0 ） ，

7、 A， B 分别 为抛物线上的两点， OAOB， 探究直线AB有何性质？ 二、 链接高考， 把握动态 通过学生编题和探究，密切联系有关的高考 题， 让学生比较所编题目与高考题有何异同、 能否 转化. 从而使学生体验到自己的创造性成果与高考 题是如此接近. 既让学生感受到漫步在高考题中其 乐无穷， 又能准确把握高考动态. 高考题 1 （2 0 0 7 年天津理 2 2 ） 设椭圆x 2 a2+ y2 b2= 1 （ab0 ） 的左、 右焦点分别 为 F1， F2， A 是椭圆上的一点， AF2F1F2，原点 O 到 直线 AF1的距离为 1 3 OF1. （）证明 a= 2姨b； （） 设 Q1

8、， Q2为椭圆上的两个动点， OQ1OQ2， 过 原点 O 作直线 Q1Q2的垂线 OD， 垂足为 D， 求点 D 的轨迹方程. 高考题 2（2 0 0 9 年山东理科 2 2 节选 ） （ ） 的结论得到椭圆方程 C 为x 2 8+ y2 4= 1 ； （） 是否存在 圆心在原点的圆， 使 得该圆的任意一条 切线与椭圆 C 恒有 两个交点 A 和 B， 且 O 姨姨 A O 姨姨 B ？ 若存在， 写出该圆的方程； 若 不存在， 说明理由. 高考题 3（2 0 1 0 年陕西文 2 0 ） （ ）的结论得到椭圆 C 的方程为x 2 4+ y2 3= 1 ； （） 设 n 为过原点的直线， l

9、 是与 n 垂直相交 于 P 点与椭圆相交于 A 和 B 两点的直线， O 姨姨 P = 1 ，是否存在上 述直线 l 使O 姨姨 A O 姨姨 B = 0 成立？ 若存在， 求出直 线 l 的方程；若不存 在， 请说明理由. 高考题 4（2 0 1 2 年上海理 2 2 ） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C1 2 x2- y2= 1 . （1 ） （略 ） ；（2 ） 设斜率为 1 的直线 l 交 C1于 P， Q 两点， 若 l 与圆 x2+ y2= 1 相切， 求证： OPOQ；（3 ） 设 椭圆 C24 x2- y2= 1 ，若 M， N 分别是 C1， C2上的动点， 且

10、 OMON， 求证： O 到直线 MN 的距离是定值. 三、 归纳提升， 回归课本 椭圆上两点与椭圆中心之间的连线互相垂直 问题， 得到的结论是否已经有更精确的提法？ 我们把它们归纳为椭圆、 双曲线的 9 0 中心角 性质： 直角三角形的直角顶点在中心， 斜边的端点 在椭圆 （双曲线） 上， 则中心在斜边上的射影轨迹 是圆. 如果直角顶点在圆锥曲线上， 会有何性质呢？ 探 究得到， 椭圆、 双曲线、 抛物线的直周角性质： 以直角 为定点的椭圆 （双曲线、 抛物线 ） 内接直角三角形的 斜边必过定点， 且定点在斜边的中点轨迹上， 且当直 角顶点在椭圆 （双曲线、 抛物线 ） 上运动时， 其对应的

11、 定点在一新的椭圆 （双曲线、 抛物线 ） 上运动. 由直周角联想到圆里的直径所对圆周角， 圆上 A1 A2 F2 B1 F1 B2 F A B l O x n 图 3 图 2 y x A H O B 备课参考 62 教学月刊中学版 教学参考2013年第5期 动点对直径端点的斜率积为定值 - 1 ，那么椭圆上 动点对直径端点的斜率积是否为定值呢？可得到 圆、 椭圆、 双曲线直径性质动点对直径端点的斜率 积为定值， 椭圆上动点对直径端点的斜率积为定值 KAP KBP= - b2 a2， 双曲线则有结论 K AP KBP= b2 a2. 链接高考 （2 0 1 2 年天津卷理 1 9 ） 设椭圆x

12、 2 a2+ y2 b2 = 1（ab0 ） 的左、 右顶点分别为 A， B， 点 P 在椭圆 上且异于 A， B 两点， O 为坐标原点.（ ） 若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 - 1 2， 求椭圆的离心率. 可直接利用结论 - b2 a2= - 1 2指导解题，进而得 到答案. 问题探究已知圆的方程为 x2+ y2= 1 ， P（1 2， 3姨 2 ） 为圆上一定点， A， B 为圆上两个动点， 直线 PA， PB 的倾斜角互补， 则直线的斜率为 （） . 3姨 3 . 1 2 . 3姨. 2 变式探究已知椭圆方程为 x2 4+ 3y2 3 = 1 ， P （1 ， 1 ） 为椭圆上

13、一定点， A, B 为椭圆上两个动点， 直线PA， PB的倾斜角互补， 直线AB的斜率是定值吗？ 推广探究 1 过圆锥曲线上一定点作两条倾 斜角互补的弦， 则两弦的另一端点连线斜率是否为 定值？ 推广探究 2 直线 l 是过圆锥曲线 C 顶点 A 且垂直于 A 所在对称轴的直线， M 是 l 上异于 A 的 任意一点， 过 M 引直线交曲线 C 于 P， Q 两点， 则斜 率 AP， AQ 之和是否为定值？ 圆锥曲线中的探究性学习， 教材中有无可供探 究的直接线索呢？ 贯穿起来看， 课本已经提供了很 好的素材. 已知点 A， B 的坐标分别是（- 1 ， 0 ） 、（1 ， 0 ） ， 直 线

14、 AM， BM 相交于点 M， 求满足下列条件的点 M 的 轨迹； 直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率的商是 2 .（选修 2 - 1 ， 2 . 2 . 1 练习 4 ） ； 直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率的差是 2 .（选修 2 - 1 ， 习题 2 . 4 ， B组 T 3 ） 直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率的和是 2 .（选修 2 - 1 ， 第 2 章复习参考题， B组 T 5 ） 已知ABC 的两个顶点 A， B 的坐标分别是 （ - 5 ,0 ） ，（ 5 ,0 ） ， 且AC， BC所在直线斜率之积等于m （ m 0 ） ， 试求顶点 C 的轨迹方程.（选修

15、 2 - 1 ， 第 2 章复 习参考题， A组 T 1 0 ） 链接高考如平面内与两定点连线的斜率之积 等于非零常数的点的轨迹， 加上此两点所成的曲线 可以是圆、 椭圆或双曲线.（ ） 求曲线的方程， 并讨 论曲线的形状与值的关系. 因此， 从一道椭圆的高考题出发， 围绕圆锥曲 线中一类垂直的问题，展开多种角度的拓展探究， 引导学生积极编题、 链接高考， 然后注意提升、 回归 课本， 能使学生认识到以本为本、 理解数学本质、 探 索数学规律的重要性. “匀变速直线运动的位移与时间关系” 是高中 物理一直以来存在的一个重难点. 主要原因在于本 节的公式繁多， 并且学生刚刚进入高中， 对高中物 理学习的深广度还未能充分适应. 认真探讨本节教 学的问题可以有效避免分化点的出现. 一、 传统教材中的科学性错误 对位移公式 s= v0t+ 1 2at 2 ， 曾有一种传统的推导 胡扬洋 （首都师范大学物理系， 北京100048 ） 备课参考 63