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1、大题专项突破二 中的三角函数与解三角形 从近五年的高考试题来看,高考对三角函数与解三角形的考查呈 现出较强的规律性,每年的题量和分值要么三个小题15分,要么一 个小题一个大题17分.在三个小题中,分别考查三角函数的图象与 性质、三角变换、解三角形;在一个小题一个大题中,小题要么考 查三角函数的图象与性质,要么考查三角变换,大题考查的都是解 三角形. 题型一题型二题型三 题型一 正弦定理、余弦定理与三角形面积的综合问题 例1在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足a=3bcos C. (2)若a=3,tan A=3,求ABC的面积. 解:(1)由a=3bcos C结合正弦定理,得
2、2Rsin A=32Rsin Bcos C. A+B+C= ,sin A=sin(B+C)=3sin Bcos C,即sin Bcos C+cos Bsin C=3sin Bcos C.cos Bsin C=2sin Bcos C. 题型一题型二题型三 (2)(方法一)由A+B+C= , 得tan(B+C)=tan( -A)=-3, 根据tan C=2tan B,得tan C,tan B同为正,故tan B=1,tan C=2. tan A=3, 题型一题型二题型三 (方法二)由A+B+C= ,得tan(B+C)=tan( -A)=-3, 根据tan C=2tan B,得tan C,tan B
3、同为正,故tan B=1,tan C=2. a=3bcos C=3,bcos C=1, abcos C=3. absin C=abcos Ctan C=6. 题型一题型二题型三 解题心得正弦定理和余弦定理是解三角形时用到的两个重要定 理,其作用主要是将已知条件中的边角关系转化为纯边或纯角的关 系,使问题得以解决. 题型一题型二题型三 对点训练1(2017四川广元模拟,文18)在ABC中,a,b,c分别是角 A,B,C的对边,已知3(b2+c2)=3a2+2bc. 题型一题型二题型三 例2已知在ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD的面积 是ADC面积的2倍. 在ABD和ADC中,由余
4、弦定理知 AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB, AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 解题心得对于在四边形中解三角形的问题或把一个三角形分为 两个三角形来解三角形的问题,分别在两个三角形中列出方程,组 成方程组,通过加减消元或者代入消元,求出所需要的量;对于含有 三角形中的多个量的已知等式,化简求不出结果,需要依据题意应 用正弦定理、余弦定理再列出一个等式,由此组成方程组通过消元 法求解. 题型一题型二题型三 对点训练2(2017江苏无锡
5、一模,15)在ABC中,a,b,c分别为角 A,B,C的对边.若acos B=3,bcos A=1,且A-B= . (1)求c的值; (2)求角B的大小. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 题型二 正弦定理、余弦定理与三角变换 的综合 例3(2017天津,文15)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 已知asin A=4bsin B,ac= (a2-b2-c2). (1)求cos A的值; (2)求sin(2B-A)的值. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 解题心得三角形有三条边三个角共六个元素,知道其中三个(其 中至少知道一个边)可求另外三个;若题目要求的量是含三
6、角形内 角及常数的某种三角函数值,在解题时往往先通过正弦、余弦求出 内角的三角函数值再应用和角公式及倍角公式通过三角变换求得 结果. 题型一题型二题型三 (1)求角B的大小; (2)若AC=7,AD=5,DC=3,求AB的长. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 题型三 正弦定理、余弦定理与三角变换 及三角形面积的综 合 例4(2017山西孝义考前热身,文17)在ABC中,角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,且满足 acsin B=a2+b2-c2. (1)求角C的大小; (2)若bsin(-A)=acos B,且 ,求ABC的面积. 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 解题心得在
7、解三角形中,若已知条件是由三角形的边及角的正弦 函数、余弦函数构成的,解题方法通常是通过正弦定理、余弦定理 把边转化成角的正弦,使已知条件变成了纯粹的角的正弦函数、余 弦函数关系,这样既实现了消元的目的,又可利用三角变换化简已 知条件. 题型一题型二题型三 对点训练4(2017辽宁沈阳三模,文17)如图,已知ABC中,D为BC 上一点, (1)求AD的长; (2)若ABD的面积为14,求AB的长. 1.在历年的高考试题中,三角中的解答题一般考查简单三角函数式 的恒等变形、解三角形,有时也考查正弦定理、余弦定理的实际应 用.特别是涉及解三角形的问题,经常出现的题型有:正弦定理、余 弦定理与三角变换的综合;正弦定理、余弦定理与三角形面积的综 合;正弦定理、余弦定理与三角变换及三角形面积的综合.把握住 高考命题规律,有针对性的训练是提高成绩的有效措施.
