《周世勋 习题答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《周世勋 习题答案（96页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、量子力学考试大纲 一绪论（3） 1了解光的波粒二象性的主要实验事实； 2掌握德布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设。 二波函数和薛定谔方程（12） (1)理解量子力学与经典力学在关于描写微观粒子运动状态及其运动规律时的不同 观念 。 (2)掌握波函数的标准化条件：有限性、连续性、单值性 (3)理解态叠加原理以及任何波函数(x，t)按不同动量的平面波展开的方法及其物 理意义 (4)了解薛定谔方程的建立过程以及它在量子力学中的地位；薛定谔方程和定态薛定 谔方程的关系；波函数和定态波函数的关系 (5)对于求解一维薛定谔方程，应掌握边界条件的确定和处理方法 (6)关于一维定态问题要求如下： a掌握一维
2、无限阱的求解方法及其物理讨论； b掌握一维谐振子的能谱及其定态波函数的一般特点： c了解势垒贯穿的讨论方法及其对隧道效应的解释 三力学量用算符表达（17） (1)掌握算符的本征值和本征方程的基本概念；厄米算符的本征值必为实数；坐标算 符和动量算符以及量子力学中一切可观察的力学量所对应的算符均为厄米算 符 (2)掌握有关动量算符和角动量算符的本征值和本征函数，它们的归一性和正交性的 表达形式，以及与这些算符有关的算符运算的对易关系式 (3)电子在正点电荷库仑场中的运动提供了三维中心力场下薛定谔方程求解的范例， 学生应由此了解一般三维中心力场下求解薛定谔方程的基本步骤和方法，特别是分离变 量法 (
3、4)掌握力学量平均值的计算方法将体系的状态波函数(x)按算符F 的本征函数 展开是这些方法中常用的方法之一，学生应掌握这一方法计算力学量的可能值、概率和 平均值 理解在什么状态下力学量F 具有确定值以及在什么条件下， 两个力学量GF 和 同 时具有确定值 (5)掌握不确定关系并应用这一关系来估算一些体系的基态能量 (6)掌握如何根据体系的哈密顿算符来判断该体系中可能存在的守恒量如：能量、动 量、角动量、宇称等 四态和力学量的表象（10） (1)理解力学量所对应的算符在具体的表象下可以用矩阵来表示；厄米算符与厄米矩 阵相对应；力学量算符在自身表象下为一对角矩阵； (2)掌握量子力学公式的矩阵形式
4、及求解本征值、本征矢的矩阵方法 (3)理解狄拉克符号及占有数表象 五微扰理论（16） (1)了解定态微扰论的适用范围和条件： (2)对于非简并的定态微扰论要求掌握波函数一级修正和能级一级、二级修正的计 算 (3)对于简并的微扰论，应能掌握零级波函数的确定和一级能量修正的计算 (4)掌握变分法的基本应用； (5)关于与时间有关的微扰论要求如下： a了解由初态 i 跃迁到末态 f 的概率表达式，特别是常微扰和周期性微扰下的 表达式； b理解由微扰矩阵元 Hfi0 可以确定选择定则； c理解能量与时间之间的不确定关系：Et d理解光的发射与吸收的爱因斯坦系数以及原子内电子由 i 态跃迁到 f 态的辐
5、射 强度均与矩阵元 fi r 的模平方 fi r 2 成正比，由此可以确定偶极跃迁中角量子数和磁量 子数的选择定则 (5)了解氢原子一级斯塔克效应及其解释 *六、散射问题（8） 七自旋和全同粒子（15） (1)了解斯特恩格拉赫实验电子自旋回转磁比率与轨道回转磁比率 (2)掌握自旋算符的对易关系和自旋算符的矩阵形式(泡利矩阵)与自旋相联系的测 量值、概率、平均值等的计算以及本征值方程和本征函数的求解方法 (3)了解简单塞曼效应的物理机制 (4)了解 L-S 藕合的概念及碱金属原子光谱双线结构和物理解释 (5)根据量子力学的全同性原理、多体全同粒子波函数有对称和反对称之分掌握玻 色子体系多体波函数
6、取交换对称形式，费米子体系取交换反对称形式，以及费米子服从 泡利不相容原理 (6)理解在自旋与轨道相互作用可以忽略时，体系波函数可写为空间部分和自旋部分 乘积形式对于两电子体系则有自旋单重态和三重态之分前者自旋波函数反对称，空 间波函数对称；后者自旋波函数对称，空间波函数反对称 (7)作为一个具体的实例:了解氦原子能谱有正氦和仲氦之分的物理机制 教材： 量子力学教程 （周世勋） 第二章习题解答 p.52 2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令 )r () r () r () r ( m2 i e ) r (e ) r (e ) r (e ) r ( m2 i )( m2
7、i J e ) r ( ) t (f ) r () tr ( * Et i Et i * Et i Et i * Et i ）（）（ ， 可见tJ与 无关。 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： ikrikr e r e r 1 )2( 1 )1( 21 从所得结果说明 1 表示向外传播的球面波， 2 表示向内(即向原点) 传播的球 面波。 解：分量只有和rJJ 21 在球坐标中 sinr 1 e r 1 e r r0 r mr k r mr k r r ik rrr ik rrm i re rr e r e rr e rm i m i J ikrikrikrikr 3 0 2 0 22
8、0 1 * 1 * 111 ) 11 ( 1 ) 11 ( 1 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 )( 2 ) 1 ( rJ1 与同向。表示向外传播的球面波。 r mr k r mr k r) r 1 ik r 1 ( r 1 ) r 1 ik r 1 ( r 1 m2 i r)e r 1 ( r e r 1 )e r 1 ( r e r 1 m2 i )( m2 i J)2( 3 0 2 0 22 0 ikrikrikrikr * 2 * 222 可见，rJ 与 2 反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。 补充：设 ikx ex )(，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？
9、 dxdx* 波函数不能按1)( 2 dxx方式归一化。 其相对位置几率分布函数为 1 2 表示粒子在空间各处出现的几率相同。 2.3 一粒子在一维势场 ax ax x xU ， ， ， 00 0 )( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解：txU与)(无关，是定态问题。其定态 S方程 )()()()( 2 2 22 xExxUx dx d m 在各区域的具体形式为 ：)()()()( 2 0 111 2 22 xExxUx dx d m x ：)()( 2 0 22 2 22 xEx dx d m ax ：)()()()( 2 333 2 22 xExxUx dx d m ax 由于(1
10、)、(3)方程中，由于)(xU，要等式成立，必须 0)( 1 x 0)( 2 x 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为0)( 2)( 2 22 2 2 x mE dx xd 令 2 2 2 mE k，得 0)( )( 2 2 2 2 2 xk dx xd 其解为kxBkxAxcossin)( 2 根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得 )0()0( 12 )()( 32 aa 0 B 0sinkaA ), 3, 2, 1( 0sin 0 nnka ka A x a n Ax sin)( 2 由归一化条件 1)( 2 dxx 得1sin 0 22 a xdx a
11、n A 由 mn a b a xdx a n x a m 2 sinsin x a n a x a A sin 2 )( 2 2 2 2 2 mE k ), 3 , 2 , 1( 2 2 2 22 nn ma En 可见 E是量子化的。 对应于 n E 的归一化的定态波函数为 axax axxe a n a tx tE i n n , 0 0,sin 2 ),( # 2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是 a A 1 证： ax axax a n A n , 0 ),(sin （2.6-14） 由归一化，得 aA ax a n n aA aA dxax a nA x A dxax a
12、 n A dxax a n Adx a a a a a a a a a a n 2 2 2 22 2 22 2 )(sin 2 )(cos 22 )(cos1 2 1 )(sin1 归一化常数 a A 1 # 2.5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 解： 22 2 1 2 2 )( x xex 22 22 2 3 22 2 11 2 2 4)()( x x ex exxx 22 22 2)( 32 3 1x exx dx xd 令0 )( 1 dx xd ，得 xxx 1 0 由)( 1 x的表达式可知，xx0，时，0)( 1 x。显然不是最大几率的位 置。 22 22 )251( 4
13、 )22(2)62( 2)( 4422 3 32222 3 2 1 2 x x exx exxxx dx xd 而 0 14 2 )( 3 2 1 2 1 2 edx xd x 可见 1 x是所求几率最大的位置。 # 2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(xUxU，证明粒子的 定态波函数具有确定的宇称。 证：在一维势场中运动的粒子的定态 S-方程为 )()()()( 2 2 22 xExxUx dx d 将式中的)( xx以代换，得 )()()()( 2 2 22 xExxUx dx d 利用)()(xUxU，得 )()()()( 2 2 22 xExxUx dx d 比较、式可知，)()(xx和都是描写在同一势场作用下的粒子状态 的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此)()(xx和之间只能相差一 个常数c。方程、可相互进行空间反演)(xx而得其对方，由经 xx反演，可得， )()(xcx 由再经xx 反演，可得，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 )()(xcx 乘 ，得 )x()x(c)x()x( 2 可见，1 2 c 1c 当1c时，)x()x(，)(x具有偶宇称， 当1c时，)
