《第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根) 第五专题 矩阵的数值特征 （行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数） 一、行列式 已知Apq, Bqp, 则|Ip+AB|=|Iq+BA| 证明一：参照课本194页，例4.3. 证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质； 从而Ip+AB，Iq+BA中不等于1的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积，因此|Ip+AB|和|Iq+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当
2、多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义：tr(A)?aii?i，etrA=exp(trA) i?1i?1nn 性质： 1. tr(?A?B)?tr(A)?tr(B)，线性性质； T2. tr(A)?tr(A)； 3. tr(AB)?tr(BA)； ?14. tr(PAP)?tr(A)； HH5. tr(xAx)?tr(Axx),x为向量； kktr(A)?,tr(A)?6. ?i?i; i?1i?1nn 从Schur定理（或Jordan标准形）和（4）证明； 7. A?0,则tr(A)?0,且等号成立的充要条件是A=0； 8. A?B(即A?B
3、?0),则tr(A)?tr(B)，且等号成立的充要条件是A=B（A?B?i(A)?i(B)）； 9. 对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得Ak=0,则tr(A)=0（从Schur定理或Jordan标准形证明）。 若干基本不等式 对于两个mn复矩阵A和B，tr(AHB)是mn维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz不等式 x,y2x,xy,y 得 定理：对任意两个mn复矩阵A和B |tr(AHB)|2tr(AHA)tr(BHB) 这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。特别当A和B为实对称阵或Hermit矩阵时 0| tr(AB)
4、| 定理：设A和B为两个n阶Hermite阵,且A0，B0，则 0tr(AB)1(B)tr(A) tr(A)tr(B) 1(B)表示B的最大特征值。 证明： tr(AB)= tr(A1/2BA1/2) 0，又因为 A1/21(B)I-BA1/20，所以1(B)tr(A)A1/2BA1/2，得 tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)tr(1(B) A) =1(B) tr(A)tr(A)tr(B) 推论：设A为Hermite矩阵，且A>0，则 tr(A)tr(A-1)n 另外，关于矩阵的迹的不等式还有很多，请参考矩阵论中不等式。 三、矩阵的秩 矩阵的秩的概念是由Sylvester于186
5、1年引进的。它是矩阵的最重要的数字特征之一。下面讨论有关矩阵秩的一些性质和不等式。 定义：矩阵A的秩定义为它的行（或列）向量的最大无关组所包含的向量的个数。记为rank(A) 性质： 1. rank(AB)?min(rank(A),rank(B)； 2. rank(A?B)?rank(A,B)?rank(A)?rank(B)； HHrank(AA)?rank(A)?rank(A)； 3. 4. rank(A)?rank(XA)?rank(AY)?rank(XAY)，其中X列满秩，Y行满秩（消去法则）。 定理（Sylvester）：设A和B分别为mn和nl矩阵，则 rank(A)?rank(B)
6、?n?rank(AB) ?min(rank(A),r a Sylveste定理是关于两个矩阵乘积的秩的不等式。其等号成立的充要条件请参考王松桂编写的矩阵论中不等式，三个矩阵乘积的秩的不等式也一并参考上述文献。 四、相对特征根 定义：设A和B均为P阶实对称阵，B>0，方程 |A-B|=0的根称为A相对于B的特征根。 性质：|A-B|=0等价于|B-1/2AB-1/2-I|=0 (因为B>0，所以B1/2>0) 注：求A相对于B的特征根问题转化为求B-1/2AB-1/2的特征根问题或AB-1的特征根。因B-1/2AB-1/2是实对称阵，所以特征根为实数。 定义：使(A-iB)li
7、=0的非零向量li称为对应于i的A相对于B的特征向量。 性质： 设l是相对于的A B-1的特征向量，则 A B-1l=l 或 A (B-1l)=B( B-1l) B-1l 为对应的A相对于B的特征向量 （转化为求A B-1的特征向量问题）。 设l是相对于的B-1/2AB-1/2的特征向量，则 B-1/2AB-1/2l=l 可得 A (B-1/2l)=B(B-1/2l) 则B-1/2l 为对应的A相对于B的特征向量 （转化为求B-1/2AB-1/2对称阵的特征向量问题）。 五、向量范数与矩阵范数 向量与矩阵的范数是描述向量和矩阵“大小”的一种度量。先讨论向量范数。 1. 向量范数定义：设V为数域
8、F上的线性空间，若对于V的任一向量x，对应一个实值函数x，并满 足以下三个条件： （1）非负性 x?0，等号当且仅当x=0时成立； （2）齐次性 ?x?x,?k,x?V; （3）三角不等式x?y?x?y,x,y?V。 则称x为V中向量x的范数，简称为向量范数。定义了范数的线性空间定义称为赋范线性空间。 例1. ? n x?C n ，它可表示成x?1?2?n? T ，?i?C， 2? x2?i? ?i?1? 就是一种范数，称为欧氏范数或2-范数。 证明： 2? （i）非负性 x2?i? ?i?1? n ?0， x 2 当且仅当?i?0?i?1,2,?,n?时，即x0时， （ii）齐次性 ?2?
9、?x2?i? ?i?1? n 0 ?2? ?i? ?i?1? T n?x2 （iii）三角不等式 y?1 ?2?n? ，?i?C T x?y?1?1?2?2?n?n? x?y2?i?i i?12 n 2 ?i?i?i?i?2Re?i?i?i?i?2?i?i 222 ? 22 x?y2?x2?y2?2?i?i i?1 222 n ?x2?y2?x2?y2?2x2y2 2 2 2 根据H?lder不等式： ?p?aibi?ai?i?1?i?1? n n n ?q?11b?i?，p,q?1,?1,ai,bi?0 pq?i?1?n x ? 2 2?2? y2?i?i? ?i?1?i?1? n ?i?i
10、 i?1 n x?y2?x2?y2 ?2?n? T 2. 常用的向量范数（设向量为x?1 1-范数：x 1 ） ?i； i?1 1?i?n n -范数：x?max?i； p? P-范数：xp?i? （p>1, p=1, 2,?,）; ?i?1? n 2-范数：x2?xx ? H ? ; 椭圆范数(2-范数的推广): x A ?xAx ? H ? ，A为Hermite正定阵. ?2?wi?i?i?1? n 加权范数： x w ， 当A?W?diag?w1w2?wn?，wi?0 证明： x p 显然满足非负性和齐次性 ?2?n? T （iii）y?1 p? xp?i? ?i?1? n p?
11、x?yp?i?i ?i?1? p?1 p? yp?i? ?i?1?n p n nn ? x?y p ? p ?i?i?i?i i?1 i?1 ?i?i p?1 ?i?i i?1 n p?1 ?i?i?i i?1 n ?i 应用H?lder不等式 ? ii?1n ii?1 n p?1 i ?p?1?q? ?i?i?i ? ?i?1?p?1?q?i?i?i ? i?1? n n p? ?i?i?1?p? ?i?i?1?n n ? p?1 i 11 ?1?p?1?q?p pq ? n ?i i?1 n ?p p? ?i?i?i1? n ?n ?i? 1 ?i? p ?i n 1i1 ?p ? ? p?i?i ?i?1?p? ?i?i?1? p n p? ?i?i?1? n 即 x?yp?xp?y 3. 向量范数的等价性 定理 设 、? n
