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1、1 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 1 上讲补充：动力学矩阵和色散关系上讲补充：动力学矩阵和色散关系 由于势能的导数是实数，可以得到由于势能的导数是实数，可以得到 ()( )qq * , , jj DD jj = 进而得到本征值的对称关系进而得到本征值的对称关系 ( )()qq= 22 ll ( )()qq= nn EE对比： 可以证明（对本征值方程取复共轭，利用本征 值的反演对称），本征矢也有 可以证明（对本征值方程取复共轭，利用本征 值的反演对称），本征矢也有 ( )()qq= )( , *)( , l j l j cc http:/10.45.24
2、.132/jgche/固体物理学固体物理学 2 纵振动纵振动 横振动横振动 声学质心运动声学质心运动 光学 原子的相对运动 光学 原子的相对运动 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 3 声学模声学模 原子以相同振幅平行振动原子以相同振幅平行振动 LA 0=q TA http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 4 光学模光学模(q=0) 相对振动相对振动 0=q LO TO http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 5 声学、光学模声学、光学模(布里渊区边界布里渊区边界) 通过位移的分析，也可得到通过位
3、移的分析，也可得到 a q = LO TO TA LA http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 6 第第25讲、晶格振动的量子理论讲、晶格振动的量子理论 1. 一维单原子链解的讨论一维单原子链解的讨论 2. 简正坐标：一维情况简正坐标：一维情况 3. 简正坐标：三维情况简正坐标：三维情况 4. 晶格振动的量子化晶格振动的量子化 2 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 7 1、一维单原子链解的讨论、一维单原子链解的讨论 设问：那么，这个解到底表示什么？设问：那么，这个解到底表示什么？ 位移与频率位移与频率(q)有关有关 * 如果
4、位相差如果位相差2pi的整数倍时，位移完全相等的整数倍时，位移完全相等 而振动频率与而振动频率与n无关！无关！ * 这表示所有的原子都同时在做的频率为这表示所有的原子都同时在做的频率为的振动的振动 )2( 11 2 2 nnn n xxx dt xd m+= + 解解 2 sin2)( qa m q = ( )tqqnai n Aex = 取整数l aN l q , 2 = 方程方程 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 8 讨论：位移？讨论：位移？ 位移与格点位移与格点 * 不同格点原子的位移，由不同格点原子的位移，由Bloch定理决定，差一个相 因子 定理
5、决定，差一个相 因子 * 这说明，各个原子的振动并不是独立的这说明，各个原子的振动并不是独立的 晶格振动是一种集体的振动！晶格振动是一种集体的振动！ * 对应某个给定频率，需要对应某个给定频率，需要N个互相有关联的位移来 描写在不同原胞中原子具有这个频率的集体振动， 这说明振动是互相有关的 个互相有关联的位移来 描写在不同原胞中原子具有这个频率的集体振动， 这说明振动是互相有关的 * 或者说，提到某个频率的振动，就得与这或者说，提到某个频率的振动，就得与这N个的位 移联系起来 个的位 移联系起来 ( )tqqnai n Aex = ( ) 个原胞共有为整数NnAex tqqnai n , ,
6、= http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 9 讨论：位移？讨论：位移？ 位移与波矢位移与波矢 * 波矢的取值由周期性边界条件决定波矢的取值由周期性边界条件决定 * 这是振动的状态数目，一个状态这是振动的状态数目，一个状态q对应对应s个频率，个频率，s即 自由度，一维单原子， 即 自由度，一维单原子，s=1 这些振动互相之间独立，没有关系这些振动互相之间独立，没有关系 * 简谐振动简谐振动 设问：那么多解，那么，原子到底怎么振动？设问：那么多解，那么，原子到底怎么振动？ * 或问：原子在任意时刻或问：原子在任意时刻t，到底处在什么位置？，到底处在什么位置？ 原胞
7、数个值共NN N l N l Na q, , 22 , 2 M2时的振动情况时的振动情况 6 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 31 解解 运动方程和尝试解分别为运动方程和尝试解分别为 () () 12222122 2121221 + + += += nnnn nnnn xxxCxM xxxCxM & & & & ()tianiq n tinaiq n Bex Aex + + = = 12 12 2 2 代入后即得代入后即得 ()() ()() =+ =+ 021 012 2 2 2 1 BMCAeC BeCAMC iqa iqa http:/10.45.
8、24.132/jgche/固体物理学固体物理学 32 很容易得到很容易得到 ()qaMMMMMM MM C cos 21 2 2 2 121 21 2 2+= + +=qa M M M M MMM MM C cos 1 2 2 1 2 121 21 2 21 +qa M M MMM MM C cos 1 2 121 21 2 1 利用利用M1M2，得到，得到 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 33 对声学支对声学支 ()qaMM MM C cos 22 21 2 = 声学 ()qa M C cos=1 1 2 2 1 qa M C sin= 声学 http
9、:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 34 对光学支对光学支 () +=qa M M M C cos12 1 2 2 2 光学 += 2 1 2 2 1 2 2 qa M M M C cos += 2 1 2 2 1 2 2 qa M M M C cos 光学 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 35 在在B区边界，对光学支区边界，对光学支 2 2 M C = 光学 振幅比为振幅比为 01112 2 1 = BCA M M C)( 所以，所以，A=0。即。即M1原子静止，而原子静止，而M2原子以上述 频率振动 原子以上述 频率振动
10、http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 36 在在B区边界，对声学支区边界，对声学支 1 2 M C = 声学 振幅比为振幅比为 ()01211 1 2 =B M M CAC)( 所以，所以，B=0。即。即M2原子静止，而原子静止，而M1原子以上述 频率振动 原子以上述 频率振动 7 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 37 本讲要点本讲要点 晶格振动是一种集体振动晶格振动是一种集体振动称为格波称为格波 * 格波可以不是简谐的，如是非谐的，可以展开为简 谐振动的迭加；在简谐近似下，格波就是简谐波， 这时格波之间的没有相互作用
11、格波可以不是简谐的，如是非谐的，可以展开为简 谐振动的迭加；在简谐近似下，格波就是简谐波， 这时格波之间的没有相互作用 独立的简谐振动模式独立的简谐振动模式声子声子简谐振动的 能量量子格波能量?能量量子化?声子 简谐振动的 能量量子格波能量?能量量子化?声子 * 如果某种格波如果某种格波l(q)被被nl个声子占据，这种格波的能 量就是 个声子占据，这种格波的能 量就是 )q( lll nh += 2 1 * 声子是遵从玻色统计声子是遵从玻色统计 1 1 = Tk l Bl e n / )q( )q( h * 声子的能量和准动量分别为声子的能量和准动量分别为 l hqh http:/10.45.
12、24.132/jgche/固体物理学固体物理学 38 概念要点概念要点 声子声子 * 晶体中原子的集体振动晶体中原子的集体振动 * 声子能级声子能级 * 声子能量的动量声子能量的动量 * 声子数按能量分布声子数按能量分布 1 1 = Tk l Bl e n / )q( )q( h l hqh )q( lll nh += 2 1 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 39 思考问题思考问题 比较简谐近似中的声子与金属中自由电子气， 有什么差别？ 比较简谐近似中的声子与金属中自由电子气， 有什么差别？ http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固
13、体物理学 40 习题习题 1、证明动力学矩阵是厄密矩阵，即证明、证明动力学矩阵是厄密矩阵，即证明 ( )( )qq jj DD jj , * , = 2、设有一维简单晶格，晶格常数为、设有一维简单晶格，晶格常数为a，原子质量 为 ，原子质量 为m，在平衡点附近两个原子间相互作用势能 可表示成 ，在平衡点附近两个原子间相互作用势能 可表示成 322 0 6 1 2 1 2 1 rrraaUrU+ +=)( 求色散关系。求色散关系。 http:/10.45.24.132/jgche/固体物理学固体物理学 41 课堂练习课堂练习 设有晶格常数为设有晶格常数为a的正方形 结构的单电子原子组成的 金属， 的正方形 结构的单电子原子组成的 金属， *试用金属费米面作图法画出 费米面（徒手作图即可，但 需标出布里渊区边界及费米 面半径的值）； 试用金属费米面作图法画出 费米面（徒手作图即可，但 需标出布里渊区边界及费米 面半径的值）； *假定温度改变时，由于原子 的微小位移而发生相变，如 图，试画出费米面。 假定温度改变时，由于原子 的微小位移而发生相变，如 图，试画出费米面。
