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1、全国第二届部分高校研究生数模竞赛题 目 仓库容量有限条件下的随机存储管理模型 摘 要：本题是一个以仓库管理为背景,在库存容量有限、到货时间随机等现实条件下的，集存储量分配、最佳订货点选择于一体的数学建模问题。问题1提出了一个针对单商品仓库的最佳订货点选择问题，我们以最小化单个“到货-订货”周期的日平均损失为优化目标，分别建立了一个离散型数学模型和一个连续型数学模型，并比较分析了二者的适用范围。问题2提出了一个实际求解问题，根据问题域规模，我们选择了问题1所建立的离散模型进行求解，得到三种商品的最佳订货点：康师傅碗面，心相印手帕纸，中汇香米。问题3在问题1的基础上进一步引入了多商品共存和有限仓库
2、体积两个条件，要求确定各商品的存储分配和最佳统一订货点，根据各参数之间的潜在关系，我们提出了两种存储量分配方案，并据此在问题1所建两个模型的基础上建立了相应的离散型和连续型两个数学模型。在问题4中，利用问题3建立的离散模型结合“可变步长搜索”策略进行了具体求解，结果如下： 2.92.21.205.93.8问题5加入了销售随机和订货情况可变两个复杂现实条件，我们在前述模型的基础上进行了相应调整并作了简要讨论。参赛密码 （由组委会填写）参赛队号 1543 16仓库容量有限条件下的随机存储管理模型1问题重述仓库是物流系统中企业储存原料、半成品及成品的场所。一方面，将商品储存在仓库中意味着中止或中断商
3、品的流动，必然会导致企业运营成本的增加。另一方面，为了降低企业因缺货而导致的销售损失，必须保证一定的商品库存量，当实际存储量低于这一阀值时，需向供应链上游订货。由于实际到货日期存在一定的波动性，如何选择仓库最佳订货点以保证总损失费用最小即构成了本题的第一二问。第三四问则是针对多商品共存和有限仓库容量这些实际存储条件而提出的各商品存储比例和仓库最佳订货点的最优化定值问题。本题最后一问则需综合考虑仓库实际存储条件，构建一个通用的决策模型。2问题分析-问题1：题中以参数的形式定义了一个日提货量固定、单商品双仓库系统（一个本地仓库，一个租用仓库），要求建立一个寻求最优订货点使得系统总损失费用最小的数学
4、模型。根据系统日提货量固定这一特点，可用一个递归定义的分段函数表示系统日损失量，进而得出表示系统总损失的单目标优化函数。-问题2：将题中给出的实际数据代入问题1得到的优化模型进行求解，得到各商品的最优订货点。-问题3：在问题1定义的仓库系统基础上，提出多商品共存和有限仓库容量两个条件，并以体积代替数量，要求建立一个寻求最优总订货点以及两个仓库中各商品最优存储比例使得系统总损失费用最小的数学模型。根据商品各参数与其存储比例的潜在关系，提出两种分配方案，然后利用问题1求得的模型，得到本题的目标优化函数。-问题4：将题中给出的实际数据代入问题3得到的优化模型求解，具体可采用“可变步长遍历搜索”策略，
5、得到总最优订货点和两个仓库中各商品的最优存储量。-问题5：在问题3的基础上，进一步引入随机销售和可变订货两个现实因素，要求为此建立数学模型并加以讨论。由于问题1、问题3所建模型都是基于常量提货（销售）速率，故需要对前述模型进行一定的修正。3模型假设1) 假设提货先从租用仓库中提取，直至租用仓库被提空再从本地仓库中提取。2) 假设每日库存量检查及订货发生在提货前，而所订货物到库发生在提货后。基于该假设，问题1、2的订货条件可表述为：；问题3、4的订货条件可表述为：。订货提货到货库存检查图- 1 仓库管理日程3) 假设，即去除一值。该假设是为了保证表- 2 自定义符号表中的非负性。对各模型最终求解
6、结果并无影响，因为若，即表示每日都需订货，结合假设1，可知这种情况已包含于，但最终求解结果中需补上这一值。4符号说明符号含义r，某商品的销售速率（件/日）；某商品的单件体积（立方米/件）；订货费（元/次），为一常数；，某商品的本地仓库存储费（元/件日）；，某商品的租用仓库存储费（元/件日）；，某商品的缺货损失费（元/件日）；Q，本地仓库和租用仓库的总库存量；，本地仓库的库存量；最优订货点；表- 1 预定义符号表符号含义，表示全部库存被提完所需天数；，表示租用库存被提完所需天数；，表示“满仓”至“订货”所需天数；，即；，即；存储时间函数；各商品的存储优先级；各商品在总库存体积中所占比例，；表-
7、2 自定义符号表5模型建立与求解-问题1为论述方便，可将仓库“满仓”日（即上一个“到货”日）至下一个“到货”日定义为一个周期T，即。1X：满仓日存储量Q：订货日提货后存储量=L：到货日提货后存储量：到货日存储量为（天数）图- 2 周期示意图1 根据T的定义：，T所含天数至少为1，故图中时间轴从1开始。模型A离散型结合题中给定参数，可递归分段定义T中单日损失函数如下：即表示T中第t天的损失费用，其中参数t的分段含义如下表：分段区间含义“满仓”当日的损失；租用仓库被提完前的日损失；租用仓库剩余量不足日提取量r时的日损失，；租用仓库剩余量为0时的日损失，；本地仓库被提完前的日损失；本地仓库剩余量不足
8、日提取量r时的日损失，本地仓库剩余量为0时的日损失，缺货时的日损失；表- 3 日损失函数f(t)的分段区间说明根据题意，交货时间X随机分布（概率分布函数为）。定义函数表示订货时间为，交货时间为X的情况下T的总损失。由此可得，对于任一选定，T的总损失函数为考虑到的非负性，可知为的增函数，从而也是的增函数。若将作为模型的目标优化函数，则欲使仓库总损失最小就要取的最小值0，也即优化函数有固定解，这显然是不符合题意的。故模型的目标优化函数应取T的日平均损失函数：将式代入式，得到模型A的最终目标优化函数：Min s.t. 2 根据表- 2 自定义符号表中定义及假设2。再根据表- 2 自定义符号表中的定义
9、，确定最优订货点：模型B连续型观察式，含两个求和操作，求解不方便。故考虑将此离散模型连续化。模型B假设1：假设时间t、存储量Q和都可连续变化。模型B假设2：假设提货过程在时间上是连续的，即。基于上述两个假设，根据X的取值范围，分段重构式。图- 3图- 4图- 5图- 61) （表示“到货”日仓库尚未缺货）a) （如图-3，表示租用仓库尚未被提空）b) （如图-4、图-5，表示租用仓库已被提空，本地仓库尚未缺货）综合式、式可得：2) （如图-6，表示“到货”日仓库已缺货）将代入式、式，化去积分符号后可得模型B的3 表示订货时间为，交货时间为X的情况下T的总损失。的最终形式：类似模型A，可得到模型
10、B的最终目标函数和最优订货点表达式：Min s.t. 两种模型的分析模型A观察式可知，当X分布较广（即X可取值较多）或者的取值范围较大（即Q值较大）时4 对应式中两个求和操作。，式求解困难。因此，此模型适用于问题域规模较小的情况，具体求解可采取某种遍历搜索策略。模型B图- 7 模型AB对照图由上图可知，模型B其实是对模型A的近似逼近，带有一定的误差量，但优化函数形式较好，求解方便。因此，模型B可与模型A互补，适用于那些问题域较大的情况，微分求解即可。-问题2由于题中给出的各商品实际数据规模较小，根据问题1的结论，宜采用模型A（离散型）结合遍历解空间（）策略求解。其中，可用实际交货时间序列中各天
11、数的出现频率表示。将各商品的实际参数值分别代入、，遍历搜索解空间后找到各自的最优订货时间如下表：商品r碗面12100.010.020.9540602手帕纸150.030.041.5040601香米200.060.081.2520400表- 4 问题2中各商品最优订货时间解将上表各商品的最优订货时间代入，可求得各商品的最优订货点：-康师傅精装巧碗香菇炖鸡面：-心相印手帕纸10小包装：-中汇香米5KG装：-问题3定值方案A损失来自两个方面，一个是存储损失，另一个是缺货损失。考虑图- 2 周期示意图中的到货日，无论此时仓库是积压还是缺货都说明有额外损失，库存为0才是最理想的情况。由此可知，若按提货体
12、积来分配各商品的库存量是一个相当直观可行的方案，这样到货日各商品库存就能同时趋向0。易得如下分配表达式：定值方案B结合各参数的实际意义，可找到如下4条潜关系潜关系1：商品i日提货体积越大，则该商品在总库存体积中所占比例越大。潜关系2：单位体积的商品i缺货损失越大，则该商品在总库存体积中所占比例越大。潜关系3：单位体积的商品i本地存储费用越大，则该商品在总库存体积中所占比例越小。潜关系4：单位体积的商品i租用存储费用越大，则该商品在总库存体积中所占比例越小。基于上述4条潜关系，可定义各商品的存储优先级，化简得到：将归一化后即得各商品在总库存体积中所占比例：根据表- 2 自定义符号表中的定义，将代
13、入求出各商品的最终表达式为：确定各商品的后，结合问题1中所建模型，可相应建立如下两个离散型和连续型模型。模型A离散型由于问题1所给条件是单商品仓库且按商品件数计算损失，而问题3所给条件是多商品仓库且按商品体积计算损失，故需对、进行一定的修正，具体来说即用代替Q，代替，代替r，代替，代替，代替，同时表- 1 预定义符号表中相应符号5 例外，因为各商品共享同一个 。也要加上下标i。由于此时仓库是多商品仓库，故模型A的目标函数应是针对所有商品而言，易得如下模型A的最终目标函数和最优订货点表达式：Min s.t. ，模型B连续型类似模型A，重构、得到如下两式：据上可得模型B的最终目标函数和最优订货点表达式：Min s.t. ，-问题4商品rv碗面120.05100.010.020.95610手帕纸150.040.030.041.50香米200.10.060.081.25表- 5 问题4各商品实际参数值类似问题2，本题宜
