《初等数学研究第三篇答案李长明周焕山编习题三1至23题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初等数学研究第三篇答案李长明周焕山编习题三1至23题（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、习题三1、已知半径为r的圆为内接等腰梯形ABCD。它的下底AB是圆O的直径，上底CD的端点在圆周上。（1）写出梯形的周长y和腰长x间的函数关系式，并求其定义域；（2）当腰长为何值时，该等腰梯形的周长有最大值，并求出最大值。解：（1）作于E 连DB，则 又 又，且，即。（2），所以当腰长x=r时，周长y有最大值5r.2、设函数定义在R上，当x0时，,且对于任意，有又当时，求证：（1） （2）对于任意，均有证明：（1）对任意，有 令m=n=0,则有 即. 或 若则对于任意m0,有和题设矛盾。因此，（2）由题设和（1）的结论，当时，假设，则，因而。但是 所以，.3、判断下列各组函数是不是同一函数，并
2、说出理由。（1）.（2）解：（1）是同一函数。因为定义域相同：且对每个x,对应值也相等。（2）不是同一函数。因为当x1，使对于有：即但此式不能成立。因为当M1时，总有使，即，所以无上界。11、设函数和具有同一定义域D，是有界函数，但没有上界。求证：与的和在定义域D上无上界。证明：设M是的上界，则对于任意因无上界，所以对于任意给定的p0，都存在使所以所以，与的和在D上无上界。12、讨论函数的单调性。解：设，则因指数函数是增函数，故的增减性就取决于的增减性。被开放数所以定义域为-2,4.又定义域被划分为增减性不同的两个区间-2,1和1，4.当时，则有： 又 即因此，函数在区间-2,1上递增，同理可
3、证：在区间1，4上递减。13、判断下列函数的奇偶性：（1） （2）（3） （4）（5） （6）解：（1）是奇函数。（2）是偶函数。 （3） 是非奇非偶函数。（4）设则 是非奇非偶函数。（5）设，则是偶函数。（6）设则是偶函数。14、设是实数集上奇函数，判断（其中）的奇偶性。解：设则是奇函数。又是实数集上的奇函数在实数集上是偶函数。15、已知判断它的奇偶性，并求它的单调区间。解：函数定义域为（-1，1）。设则在定义域上为奇函数。且则当 当， 在（-1，1）是减函数。16、设（1）确定的定义域和奇偶性；（2）求它的反函数；（3）求它的值域；（4）求证在其定义域上是增函数。解：（1）函数的定义域为R
4、又 在R上是奇函数。（2）由有互换，有（3）的值域是R.（4）且，则 在R上是增函数。17、设是奇函数，当时，求当时，的表达式。解：设，则所以又是奇函数，所以，当时， 18、设判断函数的奇偶性。解： 是奇函数。19、设且满足（1）比较和的大小；（2）求证：解：（1）由 同理求得，因此，（2）设 20、设且试比较与的大小。解： 21、求的递减区间。解： 而当时，是增函数。所以，的递减区间就是的递减区间。即为22、设是第二象限的角，求的值。解：这里是正负号的取舍，取次于所在区间因不可能在第一象限，所以必定为奇数设，则此时， 23、证明：的最小正周期是分析：首先要验证是函数的周期，然后证明的正周期不能比小，用反证法。证明：是的周期。假设是的周期，即对，有成立令得：
