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1、数学与统计学院2013届毕业论文分类号 编 号 毕业论文题 目 矩阵初等变换的应用 学 院 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 姓 名 雷高龙 班 级 09数应2班 学 号 298010112 研究类型 研究综述 指导教师 贾凤玲 讲师 提交日期 2013年5月19日 原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名： 年 月 日 论文指导教师签名：矩阵初等
2、变换的应用雷高龙（天水师范学院，数学与统计学院，甘肃 天水，741000）摘 要 矩阵的初等变换是线性代数中的重要工具，本文通过具体的例子，总结了矩阵的初等变换在数字矩阵，分块矩阵等的应用.关键词 初等变换；分块矩阵；最大公因式；矩阵方程；二次型Applications of matrix elementary transformationLei Gaolong(School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741000,Gansu)Abstract The elementary trans
3、formations of matrix is very important tool, this paper discusses the applications of the elementary transformation in mathematical matrix and block matrix etc.Keywords elementary transformation, block matrix, the greatest common factor, matrix equation, quadratic form目录0引言11预备知识12初等变换在数字矩阵中的应用.12.1
4、计算矩阵的单位阵12.2利用矩阵的初等变换判断矩阵的可逆性22.3利用矩阵的初等变换求逆矩阵22.4利用矩阵的初等变换求矩阵的秩32.5判断向量组的线性相关性32.6求向量组的一个极大无关组与向量组的秩42.7初等变换求线性方程组.52.8初等变换化二次型为标准形.63初等变换在分块矩阵中的应用73.1分块矩阵的初等变换及其性质73.2 分块矩阵初等变换的应用94 矩阵初等变变换的其他应用114.1 利用矩阵的初等变换求多个多项式的最大公因式114.2 利用矩阵的初等变换解多元一次不等式12参考文献15矩阵的初等变换的应用0引言矩阵的初等变换在线性代数中发挥着非常重要的作用，也是线性代数的教学
5、重点.本文讨论了初等变换在数字矩阵、分块矩阵等方面的应用.1预备知识矩阵的初等变换是指对矩阵实施以下三种变换.（1）互换矩阵中任意两行（列）的位置；（2）用数域中的一个非零数乘矩阵中的每一行（列）；（3）把矩阵中的某一行（列）的倍加到另一行（列），其中是数域中的任一个数.注：（1）矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,（2）矩阵的初等变换不改变行（列）向量组的线性相关性.2初等变换在数字矩阵中的应用.2.1计算矩阵的单位阵例把矩阵化为单位阵.解.2.2利用矩阵的初等变换判断矩阵的可逆性利用初等变换将矩阵为阶梯形，若对应的行列式不为零则矩阵可逆，且行列式的值是主对角线上各元素之积.解=.显然0，故可逆，
6、又由于上述初等变换过程中曾进行过一次两行互换，故=-（-13）16=312.2.3利用矩阵的初等变换求逆矩阵设为介可逆矩阵，将与组成一个行列矩阵做一系列行初等变换即可求出,用这种方法求可逆矩阵，应注意的是只能进行行初等变换.例求，已知= .解 由于 =. 所以= .2.4利用矩阵的初等变换求矩阵的秩利用初等变换求矩阵的秩，是利用初等变换不改变矩阵的秩，将矩阵化为阶梯形矩阵，从而求原矩阵的秩.例求.已知 .解 由于 . 因此=4.2.5判断向量组的线性相关性维向量组, , , 线性相关的充要条件是以, , , 为列向量的矩阵的秩小于向量的个数，反之，维向量组1, 2, , s线性无关的充要条件是
7、：以1, 2, , s为列向量的矩阵的秩等于向量的个数.因此判断一个向量, , , 的相性相关性可通过矩阵的初等变换讨论矩阵的秩.例判断下列向量的线性相关性. (1) (1,-2,1,-5), (2,-1,3,1), (4,-3,-1,6) (2) （2，-1,3,1），（4,-2,5,4），=2,-1,4,-1)解（1）因为 . 3（向量的个数）.所以向量组，线性无关. (2) , =23（向量的个数）.所以，向量组，线性相关.2.6求向量组的一个极大无关组与向量组的秩例设向量组=（1，-1,-1,3），=（-1,1，-3，-1），=（-1，-3,1，-1），=（-3，-1，-1,1），求向
8、量组， 的秩与此向量组的一个极大无关组，并把其于向量用极大无关组线性表示.解 因为. 所以，秩（，）=3，且向量组的一个极大无关组为，有初等变换知.2.7初等变换求线性方程组. 求线性方程组的解可以采用对增广矩阵作初等变换的方法，把矩阵化为阶梯矩阵，由与的秩是否相等来判断它是否有解，以及有解时是有唯一解还是无穷多解.在此过程中只需对增广矩阵做初等行变换.例.求非齐次性方程组. 解= .所以线性方程组有无穷多解，且线性方程组含有两个自由未知量，则基础解系中含有两个线性无关的向量.方程组等价于.令=，得到0=.方程组所对的齐次线性方程组为.令=，得到1=，=，得到2=.所以方程组的通解为=0+1+
9、2.2.8初等变换化二次型为标准形.形如,其中, 为实对称矩阵，称为实二次型.而实二次型恒可经满秩的线性变换化为标准形.例将二次型化为标准形=x2+4xy-4xz+4y2-2yz化为标准形.解 = .所以，二次型的标准形为3初等变换在分块矩阵中的应用3.1分块矩阵的初等变换及其性质为方便起见，我们以常用的22分块矩阵做定义.定义1 对分块矩阵实行下列三种初等变换：(1)互换分块矩阵的某两行(列)；(2)用一个非奇异矩阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)；(3)用一个非零矩阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)加至到另一行(列)上，分别称上述三种初等行(列)变换为分块矩阵的初等行(列)变换.定义2 对
10、阶单位矩阵作22分块，即 然后对其做相应的初等行（列）变换所得到的新矩阵为分块单位矩阵.由定义1和定义2 可得分块矩阵具有以下形式：(1)分块初等对换阵(2)分块初等倍乘阵，(3)分块初等倍加阵，其中P, Q分别是m阶和n阶可逆方阵，且为非零阵.性质 分块初等矩阵都是可逆的，且(1) ;(2) ， ;(3) ， ;证明 因为 =; =, =;(3) =; =.所以分块矩阵都是可逆的.定理 对22分块矩阵=作分块初等行（列）变换，相当于用相应的分块初等矩阵左（右）乘矩阵（要可乘，可加）.证明 记=的分块形式与分块单位矩阵有同样的分块形式，则用分块矩阵的乘法可得 (1) =;(2) =,=;(3)
11、 =, =.右乘情况可类似证明得到相应结果，这里不再证明.3.2 分块矩阵初等变换的应用定理 设n阶方阵=（其中），M 是非奇异阵的充要条件是：矩阵（,）=经过有限次初等变换化为（）,则有.证明 因为非奇异，所以，（）为分块初等矩阵，则=，其中=（）与有同样的分块，于是. （1）同时. (2)因为分块初等矩阵的逆还是分块初等矩阵，比较（1）和（2）可知，在通过分块初等行变换把分块可逆矩阵M 化为分块单位矩阵时，对分块单位矩阵施行同样的分块初等行变换，就得到M的逆矩阵M-1.对分块可逆矩阵M和分块单位矩阵施行分块初等列变换可得到类似结果.于是M是非奇异矩阵的充要条件是：矩阵（,）经过有限次初等变
12、换化为.例 设分别为和阵，且是阶非奇异矩阵，证明是非奇异的，并求其逆.证明 考虑阶矩阵,由定理得,由于+AB是n阶非奇异矩阵，所以,所以由此可知是非奇异的，且.推论 当为阶矩阵且非奇异，则也非奇异，且 4 矩阵初等变变换的其他应用4.1 利用矩阵的初等变换求多个多项式的最大公因式我们在求多项式的最大公因式时一般采用的是辗转相除法. 而辗转相除法的实质就是反复利用带余除法. 设有两个多项式,= , .如果引入多项式矩阵, 则对多项式矩阵进行初等行变换可化为. 根据最大公因式的性质, 矩阵的初等行变换不会改变两个多项式的最大公因式. 由此结论, 我们可以利用矩阵的初等变换来求多个多项式的最大公因式.定理1 设多项式矩阵经过初等变换化为，则，且为与的最大公因式.证明 由于对多项式矩阵进行上述三种初等行变换不会使多项式与的最大公因式发生改变, 因此多项式矩阵经过初等行变换可以化为，=（，0）=（，）.即存在一系列初等矩阵，使得：=.于是=， =.即=,.其中为与的最大公因式.由两个多项式的情形, 可以对多个多项式的情形应用
