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1、3-1力对点的矩3-2力偶与力偶矩3-3平面力偶系的合成与平衡第3章力矩与平面力偶系3-4力的平移原理力对物体作用时可以产生移动和转动两种效应。力的移动效应取决于力的大小和方向，为了度量力的转动效应，需引入力矩的概念。主要研究内容：(1)力矩和力偶的概念；(2)力偶的性质；(3)平面力偶系的合成与平衡。3-1力矩的概念和计算1、力对点之矩这表明，力F使物体绕O点转动的效应，不仅与力的大小，而且与O点到力的作用线的垂直距离d有关，故用乘积Fd来度量力的转动效应。由经验可知，加在扳手上的力越大或离螺钉中心越远，则转动螺钉就越容易。AFBd(1)用扳手拧螺母；(2)开门，关门；该乘积Fd根据转动效应
2、的转向取适当的正负号称为力F对点O之矩，简称力矩，以符号MO(F)表示。即O点称为力矩的中心，简称矩心；O点到力F作用线的垂直距离d，称为力臂。乘积Fd称为力矩的大小。“”使物体逆时针方向转动时力矩为正；“”使物体顺时针方向转动时力矩为负。力矩的单位：国际制Nm，kNm工程制公斤力米（kgfm）应注意：在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。力矩的性质：(1)力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变；OFd图3-2(a)(2)如果力的作用线通过矩心，即力臂等于零，则力对该点的矩为零；反之，如果一个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此
3、力的作用线必通过该点；Fo图3-2(b)(3)互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零；OF1F2图3-2(c)(4)如果力的大小等于零，则力对任一点的矩等于零；(5)力对矩心O点的矩与O点的位置有关，同一个力对不同的矩心，其力矩是不同的（包括数值、正负都可能不同）。OFAld平面力对点之矩（力矩）力矩作用面，O称为矩心，O到力的作用线的垂直距离h称为力臂。两个要素：1.大小：力F与力臂的乘积2.方向：转动方向力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负.常用单位Nm或kNm.小结（3）力的作用线通过矩心时，力矩等于零；（4）互成
4、平衡的二力对同一点之矩的代数和等于零。（2）力对任一点之矩，不会因该力沿其作用线移动而改变，因为此时力和力臂的大小均未改变；（1）力对O点之矩不仅取决于力的大小，同时还与矩心的位置有关；2、合力矩定理定理：平面力系的合力对于平面内任一点的矩，等于各分力对于该点之矩的代数和。用数字式表示为：上式称为合力矩定理。合力矩定理建立了合力对点之矩与分力对同一点之矩之间的关系。这个定理也适用于有合力的其它力系。合力矩定理证明表达式：证明：由图得而OxydxyFFxFyAq-qr图3-3则可得：Mo(F)=Mo(Fx)+Mo(Fy)解：根据力对点之矩的定义正号表示扳手绕O点作逆时针方向转动.应该注意，力臂是
5、OD，而不是OA.例3-1扳手所受力如图，已知F=200kN，l=0.4m，=120，试求力对O点之矩.例3-2如图所示，。试分别求F1、F2对A点的矩。解：力F1使杆AB绕A点逆时针转动力F2将使AB杆绕A点顺时针转动解：（1）根据定义求MA(F)例3-3简支刚架如图所示，已知F、a、b和。试计算F对A点的矩。（2）利用合力矩定理求MA(F)例3-4如图所示，已知大圆轮半径为R，小圆轮半径为r，在小圆轮最右侧B点处受一力F的作用。试计算力F对大圆轮与地面接触A点的矩。解：由于F对点A的力臂不易确定，故先将力F分解为两个正交分力Fx与Fy，然后利用合力矩定理来求出F对点A的矩在日常生活和工程实
6、际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如：（图a）司机转动驾驶汽车时两手作用在方向盘上的力；（图b）工人用丝锥攻螺纹时两手加在扳手上的力；（图c）以及用两个手指拧动水龙头所加的力等等。3-2力偶与力偶矩1、力偶和力偶矩(1)力偶的概念作用在同一个刚体上的大小相等、方向相反、作用线又不重合的两个平行力所组成的力系叫做力偶。并记作（F，F）。可用图3-4表示FFd力偶臂力偶作用面图3-4力偶作用面力偶中两力所在平面。力偶臂力偶中两力作用线之间的垂直距离。（2）力偶矩力偶矩力偶对其作用面内任一点之矩，以表示，一般简记为M。正负：逆时针转向为正，反之则为
7、负。力偶矩的单位为（牛顿米）。（1）大小：力与力偶臂的乘积（2）方向：转动方向（3）力偶作用面在空间的方位力偶矩的三个要素：1、力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。2、力偶中的两个力对其作用面内任一点的力矩的代数为一个常数，并恒等于力偶矩，而与矩心位置无关。力偶对刚体只产生转动效应，而不产生移动效应力偶的两个力在其作用面内任一坐标轴上投影的代数和均为零；则力偶没有合力，力偶不可能不能与一个力等效，也不可能与一个力平衡。力与力偶是静力学的二基本要素。（3）力偶的性质由于矩心O是任取的，因此，力偶矩与矩心的位置无关。这也正是力偶矩与力矩（它与矩心位置有关）的主要区别3、平面力偶的等效定理在同
8、一平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩大小相等、转动方向相同，则两力偶必等效.这就是平面力偶的等效定理。两个重要推论：推论1力偶可以在其作用平面内任意移动或转动，而不改变它对物体的转动效应ABM(a)ABMC(b)图3-10推论2在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对物体的转动效应，其中F1d=F2D注意：上述结论只适用于刚体，而不适用于变形体。ABdF1F1(a)ABDF2F2(b)图3-11推论一只要保持力偶矩不变，力偶可在作用面内任意移动或转动，其对刚体的作用效果不变。保持力偶矩不变，分别改变力和力偶臂大小，其作用效果不变。推论二力偶的作用效
9、果取决于三个因素：构成力偶的力、力偶臂的大小、力偶的转向。故在平面问题中用一带箭头的弧线来表示如图所求，其中箭头表示力偶的转向，m表示力偶矩的大小。力偶与力矩的区别和联系n力偶是自由量可以在作用面内任意移动和转动的，与矩心的位置无关；力矩是定位量，定位于矩心，与矩心的位置有关。n力偶矩不标矩心，而力矩一定要标明矩心。n力偶是一个基本的力学量，力矩只是力使物体绕某点转动效应的度量。n力偶矩与力矩量纲相同。3-3平面力偶系的合成与平衡平面力偶系：作用在物体上同一平面内的两个或两个以上的力偶称为平面力偶系。1、合成(1)两个力偶的情况F1F1d1d2F2F2=F11F22F22F11ddFRFR=这
10、样得到新的力偶(FRFR)则M=FRd=(F11-F22)d=F11d-F22d=M1+M2(2)任意个力偶的情况M=M1+M2+Mn或M=MiM1M2Mn图3-13即M是由原两个力偶合成而得平面力偶系可合成为一个合力偶，且合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即2、平衡条件平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零，即Mi=0利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。两力偶作用在板上，尺寸如图，已知F1=F2=1.5kNF3=F4=1kN求作用在板上的合力偶矩。180mmF1F2F3F480mm解：由式M=M1+M2则M=F10.18F30.08=-350Nm负号表明转
11、向为顺时针。图3-14例题3-5长为4m的简支梁的两端A、B处作用有二个力偶，大小各为M1=16Nm，M2=4Nm，转向如图。试求A、B支座的约束力。解：作AB梁的受力图，如图(b)所示。AB梁上作用有二个力偶组成的平面力偶系，在A、B处的约束力也必须组成一个同平面的力偶（FA，FB）才能与之平衡。例题3-6FBFAM1M2AB(b)d604mABM1M2(a)图3-15由平衡方程M=0得-M1+M2+FBlcos60=0解得故FB=6NFA、FB为正值，说明图中所示FA、FB的指向正确。FA=FB=6NFBFAM1M2AB(b)d如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和BD上分别作用着矩
12、为M1和M2的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，q=30，不计各杆自重，试求M1和M2间的关系。BODqM1M2A例题3-7解：因为杆AB为二力杆，故其反力FAB和FBA只能沿A，B的连线方向。分别取杆OA和DB为研究对象。因为力偶只能与力偶平衡，所以支座O和D的约束力FO和FD只能分别平行于FAB和FBA，且与其方向相反。BODqM1M2A例题3-7BDM2FDFBAOM1FOFABA因为所以求得写出杆OA和DB的平衡方程：M=03-4力的平移定理力的平移定理：作用于刚体上的力可以平行移动到刚体上的任意一指定点，但必须同时在该力与指定点所决定的平面内附加一力偶，附加
13、力偶的矩等于原力对指定点的矩。FF附加力偶AB刚体力的平移定理只适用于刚体力的平移定理表明，可以将一个力分解为一个力和一个力偶；反过来，力的平移定理的逆定理也是成立的，即也可以将同一平面内的一个力F和一个力偶M合成为一个力。应该注意，力的平移定理只适用于刚体，而不适用于变形体，并且只能在同一刚体上平行移动。例1已知梁长，；若不计梁的自重，试求支座A、B的约束力。解：（1）选梁AB为研究对象（2）画受力图（3）列平衡方程解得：FA、FB为正值，说明图中的假设方向是正确的。例2如图所示，在直角折杆AB上作用一矩为M的力偶。若不计各构件自重，试求支座A和C的约束力。解：（1）选AB为研究对象（2）画
14、受力图（3）列平衡方程解得：（方向如图所示）（方向如图所示）例3在图所示机构中，套筒A穿过摆杆O1B，用销子连接在曲柄OA上。已知OA长为r，其上作用有矩为M1的力偶。在图示位置，机构平衡，试求作用于摆杆O1B上的力偶矩M2(各构件的自重不计)。解:(1)分别选曲柄OA（包括套筒）、摆杆O1B为研究对象。（2）画受力图OA（包括套筒）摆杆O1B注意到，、，曲柄OA：（3）列平衡方程摆杆O1B：解得:【本章小结】一、平面内的力对点O之矩是代数量一般以逆时针转向为正，反之为负.二、力偶和力偶矩力偶是由等值、反向、不共线的两个平行力组成的特殊力系。力偶没有合力，也不能用一个力来平衡。平面力偶对物体的作用效应决定于力偶矩M的大小和转向。力偶对平面内任一点的矩等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。四、平面力偶系的合成与平衡合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即平面力偶系的平衡条件为三、同平面内力偶的等效定理在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等彼此等效.力偶矩是平面力偶作用的唯一度量。【本章小结】
